QCM : Notions fondamentales de la dérivée et de la tangente — 10 questions

Explication

La caractéristique fondamentale du nombre dérivé en un point est qu'il correspond à la limite du taux de variation entre deux points lorsque l'un d'eux se rapproche du point considéré. Cette limite donne la pente de la tangente à la courbe en ce point, ce qui est la définition précise du nombre dérivé.

Explication

Le taux de variation en français est défini comme le rapport de la différence de la valeur de la fonction en deux points sur la différence de ces points, ce qui correspond à la réponse 0. La réponse 1 décrit la limite de ce rapport lorsque la différence tend vers zéro, c'est-à-dire la dérivée, mais ce n'est pas la définition du taux de variation lui-même. La réponse 2 concerne la pente de la droite passant par deux points, ce qui est relié mais pas la définition exacte. La réponse 3 est une reformulation de la réponse 0, mais la plus précise et fidèle à la définition est la 0.

Explication

La formule de l'équation de la tangente en un point, y = f'(a)(x - a) + f(a), repose sur la notion de dérivée, qui a été développée indépendamment par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz. Ces deux mathématiciens sont crédités de la fondation du calcul différentiel, qui permet d'exprimer la pente de la tangente à une courbe en un point.

Explication

L'équation de la tangente est une formule analytique explicitement donnée par y = f'(a)(x - a) + f(a), basée sur la limite du taux de variation, tandis que la construction géométrique consiste à approcher cette droite par la limite des sécantes passant par le point, ce qui est une méthode géométrique. La différence principale réside donc dans la nature de la démarche : formule explicite vs. limite géométrique.

Explication

La notion de limite du taux de variation, fondamentale pour la définition formelle de la dérivée, a été établie au début du 17e siècle par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz, qui ont développé le calcul différentiel et intégral.

Explication

La pente d'une droite, dans le contexte de la dérivée, est son coefficient directeur, qui est aussi la limite du taux de variation lorsque deux points sont proches, c'est-à-dire la dérivée en un point. La formule exacte est que la pente (ou coefficient directeur) est la limite de (f(b)-f(a))/(b-a) lorsque b tend vers a.

Explication

La limite du taux de variation en un point est obtenue en calculant la limite lorsque b tend vers a de (f(b) - f(a)) / (b - a). C'est cette limite qui donne la pente de la tangente en ce point, selon la définition de la dérivée.

Explication

Le calcul de la dérivée en un point correspond à la limite du taux de variation lorsque deux points se rapprochent, ce qui définit la pente de la tangente à la courbe en ce point. La dérivée donne donc directement la pente de cette tangente, ce qui est une conséquence fondamentale du processus de dérivation.

Explication

La dérivée de la fonction carré, f'(x) = 2x, représente la pente de la tangente à la courbe en un point, ce qui permet d'analyser la variation instantanée de la fonction en ce point.

Explication

L’estimation du coût marginal à un point correspond à la limite du taux de variation lorsque l’intervalle devient infiniment petit, ce qui est précisément la définition de la dérivée de la fonction coût en ce point. La pente de la tangente à la courbe du coût total en ce point, donnée par la dérivée, représente cette estimation locale du coût marginal.