Fiche de révision : Outils scientifiques : analyse

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et langage mathématique
2. Calcul algébrique et équations
3. Applications et propriétés des fonctions
4. Fonctions usuelles
5. Exponentielle, logarithme et puissances
6. Fondements de la trigonométrie
7. Fonctions trigonométriques
8. Nombre dérivé et tangente
9. Règles de dérivation
10. Variations et applications
11. Bijections et fonctions réciproques
12. Bijection monotone et dérivée inverse
13. Fonction arctangente
14. Équations trigonométriques
15. Primitives usuelles et composées
16. Intégrales, parties et aires
17. Modèle de refroidissement des laitues

📖 1. Ensembles et langage mathématique

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : une collection d’objets tous distincts appelés ses éléments
• Quantificateur existentiel : Le quantificateur existentiel $\exists x \in E,\ P(x)$ signifie que la proposition $P(x)$ est vraie pour au moins un élément de E.
• Quantificateur universel : Le quantificateur universel $\forall x \in E,\ P(x)$ signifie que la proposition $P(x)$ est vraie pour tout élément de E.
• Équivalence : L’équivalence $A \Leftrightarrow B$ signifie que A implique B et que B implique A.

📝 Points essentiels

• Les ensembles usuels sont emboîtés selon $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

⇒ relie une implication, ⇔ exige les deux sens

📖 2. Calcul algébrique et équations

📝 Points essentiels

📌 Une fraction de dénominateur non nul peut être simplifiée, additionnée après mise au même dénominateur, ou multipliée en multipliant les numérateurs et les dénominateurs.

📐 Formule — Pour un trinôme $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, le discriminant vaut $\Delta=b^2-4ac$.

• Si $\Delta>0$, le trinôme possède deux racines réelles distinctes, se factorise par $a(x-r_1)(x-r_2)$ et change de signe aux racines.

• Si $\Delta=0$, le trinôme possède une racine double $r=-\frac{b}{2a}$ et se factorise par $a(x-r)^2$.

• Si $\Delta<0$, le trinôme n’a pas de racine réelle et son signe est constant, égal à celui de a.

• Pour résoudre une équation avec une fraction, il faut d’abord exclure les valeurs qui annulent les dénominateurs.

💡 Astuce mémo

Domaine valide → transformation → solutions

📖 3. Applications et propriétés des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : associe à chaque élément x d’un ensemble de départ E un unique élément f(x) d’un ensemble d’arrivée F
• Domaine de définition : l’ensemble des réels pour lesquels son expression est définie
• Image d’une application : L’image d’une application f:E→F est l’ensemble $\operatorname{Im}(f)=\{f(x)\ ;\ x\in E\}$.
• Composition : Pour f:E→F et g:F→G, la composée g∘f est définie par $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.
• Fonction continue : Une fonction f est continue en a si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$, et elle est continue sur son domaine si elle l’est en tout point.
• Fonction paire : Une fonction définie sur un intervalle symétrique est paire si $f(-x)=f(x)$, ce qui correspond à une symétrie du graphe par rapport à l’axe des ordonnées.

📖 4. Fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : définie sur ℝ par $f(x)=ax+b$, où a est le coefficient de proportionnalité et b l’ordonnée à l’origine
• Fonction inverse : La fonction inverse est définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\frac1x$ et sa dérivée est $f'(x)=-\frac1{x^2}$.
• Fonction racine carrée : La fonction racine carrée est définie sur $[0,+\infty[$ par $r(x)=\sqrt{x}$ et est dérivable sur $]0,+\infty[$ avec $r'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}$.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction affine est croissante si $a>0$ et décroissante si $a<0$.

💡 Astuce mémo

Affine → puissance → inverse → racine

📖 5. Exponentielle, logarithme et puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est notée $f(x)=e^x$, où le nombre d’Euler vérifie $e\simeq2.71828182846$.
• Logarithme népérien : Le logarithme népérien est la fonction $\ln:]0,+\infty[\to\mathbb{R}$ qui associe à tout réel positif x l’unique réel dont l’exponentielle vaut x.
• Fonction puissance réelle : Pour α∈ℝ, la fonction puissance réelle est définie sur $]0,+\infty[$ par $x^\alpha=e^{\alpha\ln x}$ et sa dérivée vaut $\left(x^\alpha\right)'=\alpha x^{\alpha-1}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les propriétés algébriques de l’exponentielle comprennent $e^x e^y=e^{x+y}$, $\frac{e^x}{e^y}=e^{x-y}$ et $(e^x)^n=e^{nx}$.

📐 Formule — Pour a>0 et b>0, les propriétés du logarithme sont $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ et $\ln\left(\frac ab\right)=\ln a-\ln b$.

📌 Les fonctions exponentielle et logarithme sont réciproques : $y=e^x\Longleftrightarrow x=\ln y$, avec y>0.

📌 Pour a>0, on a $\ln a<0$ si $0<a<1$ et $\ln a>0$ si $a>1$.

• Pour résoudre une équation exponentielle, on isole l’exponentielle puis on la ramène à la forme $e^X=B$ avec B>0, ce qui donne $X=\ln B$.

Compléments

📐 Formule — Pour a>0 et a≠1, la puissance de base a vérifie $a^x=e^{x\ln a}$ et le logarithme de base a vérifie $\log_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}$.

💡 Astuce mémo

L’exponentielle agit sur ℝ, le logarithme sur ]0,+∞[

📖 6. Fondements de la trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure en radian : La mesure d’un angle en mathématiques s’exprime en radians, avec la relation $\theta=\frac{\text{longueur de l’arc}}{R}$.
• Sinus, cosinus et tangente : Dans un triangle rectangle, le sinus est le rapport du côté opposé à l’hypoténuse, le cosinus est le rapport du côté adjacent à l’hypoténuse et la tangente vérifie $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
• Cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique est un cercle orienté de centre O et de rayon 1 sur lequel le point associé à l’angle α a pour coordonnées $(\cos\alpha,\sin\alpha)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout angle α, la relation fondamentale est $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$.

📐 Formule — Les formules d’addition sont $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ et $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$.

💡 Astuce mémo

Le cercle trigonométrique projette M sur Ox pour le cosinus et sur Oy pour le sinus.

📖 7. Fonctions trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction tangente : La fonction tangente est définie par $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ pour tout $x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$, avec $k\in\mathbb Z$.

★ À maîtriser

• La fonction sinus est impaire, 2π-périodique et vérifie $(\sin x)'=\cos x$.

• La fonction cosinus est paire, 2π-périodique et vérifie $(\cos x)'=-\sin x$.

Compléments

• La fonction tangente est impaire, π-périodique et vérifie $(\tan x)'=1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}$ sur son domaine de définition.

📐 Formule — Les formules d’angle double sont $\cos(2a)=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$ et $\sin(2a)=2\sin a\cos a$.

💡 Astuce mémo

Sinus est impair, cosinus est pair, tandis que tangente est impaire et π-périodique.

📖 8. Nombre dérivé et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Une fonction f est dérivable en a lorsque le taux d’accroissement $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite finie quand x tend vers a, cette limite étant la dérivée $f'(a)$.
• Tangente à une courbe : La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

📝 Points essentiels

📌 Toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue sur cet intervalle, mais une fonction continue en un point n’est pas nécessairement dérivable en ce point.

💡 Astuce mémo

La limite du taux d’accroissement donne la dérivée, qui donne la pente de la tangente.

📖 9. Règles de dérivation

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des fonctions dérivables u et v, on a $(u+v)'=u'+v'$, $(uv)'=u'v+uv'$ et $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ lorsque v ne s’annule pas.

📐 Formule — La dérivée d’une fonction composée vérifie $(f\circ u)'(x)=f'(u(x))u'(x)$.

📐 Formule — Les dérivées composées usuelles sont $(e^u)'=u'e^u$, $(\sin u)'=u'\cos u$, $(\cos u)'=-u'\sin u$ et $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ lorsque u est positif.

Compléments

📐 Formule — Les dérivées usuelles comprennent $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour x>0, $(1/x)'=-1/x^2$ et $(\ln x)'=1/x$ pour x>0.

💡 Astuce mémo

Somme, produit, quotient, puis composition.

📖 10. Variations et applications

★ À maîtriser

📌 Si f'(x)>0 sur un intervalle, f est strictement croissante sur cet intervalle, et si f'(x)<0, f est strictement décroissante.

📌 Si f admet un extremum local en a et est dérivable en a, alors f'(a)=0, mais f'(a)=0 ne suffit pas à garantir un extremum.

• Pour étudier les variations d’une fonction, on calcule sa dérivée, on résout f'(x)=0, on détermine le signe de f' puis on dresse le tableau de variations.

Compléments

• En physique, la vitesse instantanée est la dérivée de la position $v_x(t)=x'(t)$ et l’accélération est la dérivée de la vitesse $a_x(t)=v'_x(t)=x''(t)$.

💡 Astuce mémo

Le signe de la dérivée détermine le sens de variation, puis les extrema et les grandeurs physiques.

📖 11. Bijections et fonctions réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Bijection : Application dont tout élément de F admet un antécédent unique dans E.
• Bijection réciproque : Application f⁻¹:F→E qui associe à chaque élément de F son unique antécédent dans E.

★ À maîtriser

📌 La bijectivité dépend simultanément de la fonction, de l’ensemble de départ et de l’ensemble d’arrivée.

📌 Pour une bijection f, on a y=f(x) si et seulement si x=f⁻¹(y), ainsi que f⁻¹(f(x))=x et f(f⁻¹(y))=y.

Compléments

• La fonction x↦x² n’est pas bijective de R vers R, mais elle est bijective de [0,+∞[ vers [0,+∞[.

• Dans un repère orthonormé, les graphes de f et de f⁻¹ sont symétriques par rapport à la droite y=x.

💡 Astuce mémo

Bijection : un antécédent unique ; fonction non bijective : aucun ou plusieurs antécédents

📖 12. Bijection monotone et dérivée inverse

★ À maîtriser

📌 Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I induit une bijection de I sur J=f(I), dont la réciproque est continue, strictement monotone et de même sens de variation.

📌 Si f:I→R est continue et strictement monotone, alors pour tout y∈f(I), l’équation f(x)=y possède une solution unique dans I.

📐 Formule — Si f est dérivable en x₀ et si f′(x₀)≠0, alors sa réciproque est dérivable en y₀=f(x₀) et vérifie $(f^{-1})′(y₀)=\frac{1}{f′(x₀)}.$

Compléments

• La restriction de la fonction carré à [0,+∞[ a pour réciproque la fonction racine carrée, et pour tout x>0 on a $(\sqrt{x})′=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$

💡 Astuce mémo

Continuité + monotonie stricte → bijection, réciproque continue et de même variation

📖 13. Fonction arctangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Arctangente : Bijection réciproque de la tangente restreinte à ]−π/2,π/2[.

★ À maîtriser

• La fonction arctan est définie sur R, strictement croissante et à valeurs dans ]−π/2,π/2[.

📐 Formule — Pour tout x∈R, la dérivée de l’arctangente est $(\arctan x)′=\frac{1}{1+x^2}.$

📐 Formule — Si u est dérivable, alors la dérivée de arctan(u(x)) est $(\arctan(u(x)))′=\frac{u′(x)}{1+u(x)^2}.$

Compléments

• La fonction arctan est impaire et vérifie arctan(−x)=−arctan(x), avec des limites −π/2 en −∞ et π/2 en +∞.

💡 Astuce mémo

tan prend un angle dans ]−π/2, π/2[ ; arctan renvoie un réel vers cet intervalle

📖 14. Équations trigonométriques

📝 Points essentiels

📌 Pour a∈R, les solutions de l’équation tan x=a sont x=arctan(a)+kπ avec k∈Z.

📌 Pour tout réel x≠0, on a arctan(x)+arctan(1/x)=π/2 si x>0 et −π/2 si x<0.

💡 Astuce mémo

tan x = a → x = arctan(a) + kπ

📖 15. Primitives usuelles et composées

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Fonction F dérivable sur I telle que F′(x)=f(x) pour tout x∈I.

★ À maîtriser

📌 Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, et deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante réelle.

📐 Formule — Si F est une primitive de f et G une primitive de g, alors $\int(\lambda f(x)+\mu g(x))\,dx=\lambda F(x)+\mu G(x)+C.$

📐 Formule — Pour une fonction u dérivable et une primitive F de f, on a $\int f(u(t))u′(t)\,dt=F(u(t))+C.$

Compléments

📐 Formule — Les primitives usuelles comprennent $\int e^x\,dx=e^x+C$, $\int\cos x\,dx=\sin x+C$, $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ et $\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C.$

💡 Astuce mémo

Une dérivée intérieure u′ permet d’intégrer directement une composée

📖 16. Intégrales, parties et aires

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale définie : Si F est une primitive de f sur [a,b], alors l’intégrale de f sur [a,b] est le nombre réel $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

★ À maîtriser

📌 Pour des fonctions u et v dérivables à dérivées continues, l’intégration par parties donne $\int u(t)v′(t)\,dt=u(t)v(t)-\int u′(t)v(t)\,dt.$

📌 L’intégrale est linéaire, positive pour une fonction positive, croissante par rapport à l’intégrande et additive selon la relation de Chasles.

• Si f est continue et positive sur [a,b], l’aire sous sa courbe vaut $\int_a^b f(x)\,dx.$

• Si u et v sont continues sur [a,b] avec u(x)≤v(x), l’aire comprise entre leurs courbes vaut $\int_a^b(v(x)-u(x))\,dx.$

Compléments

📐 Formule — Pour une fonction continue f, la fonction $F(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t)\,dt$ est l’unique primitive vérifiant F(x₀)=y₀.

💡 Astuce mémo

Une primitive est une fonction ; une intégrale sur [a,b] est le nombre F(b) − F(a)

📖 17. Modèle de refroidissement des laitues

★ À maîtriser

📐 Formule — La température des laitues pendant la panne est modélisée par $T(t)=22-ae^{-kt}$, où 22 °C est la température de l’air ambiant et où a et k sont des constantes.

• L’étude du modèle de refroidissement consiste à déterminer les constantes à partir de températures connues, calculer une température future, étudier les variations, puis déterminer le temps nécessaire pour atteindre 18 °C.

📐 Formule — Les fonctions étudiées incluent $f_1(t)=\frac{1}{1+e^{-\omega t}}$ et $f_2(z)=e^{2\cos\left(\frac{\pi z}{2}+\varphi\right)}$, où $\omega$ et $\varphi$ sont deux constantes réelles.

📐 Formule — Les fonctions dont le domaine et la dérivée doivent être déterminés comprennent $f_3(x)=x^2\ln x$ et $f_4(x)=\frac{1}{\sqrt{2-\cos x}}$.

📐 Formule — La fonction logarithmique étudiée est $f_4(x)=\ln(x^2-x)$, dont il faut déterminer le domaine de définition, le domaine de dérivabilité et la dérivée.

• Les exercices de primitives portent notamment sur la décomposition d’une fraction rationnelle, les expressions de la forme $\frac{t}{1+3t^2}$, les produits trigonométriques, les fonctions logarithmiques et les fonctions composées.

• Les intégrales définies proposées comprennent $\int_0^1\frac{e^x}{e^x+1}\,dx$, $\int_0^{\pi/4}\frac{\cos x}{1+\sin^2x}\,dx$ et $\int_0^1 3^x\,dx$.

📐 Formule — La fonction étudiée pour ses variations est $f(x)=x^3-3x+1$, définie sur $\mathbb{R}$.

• 🔄 L’étude suit trois étapes:

  1. construire le tableau de variation de f
  2. montrer que la restriction à [−1,1] est une bijection vers J
  3. étudier la fonction réciproque f⁻¹ sur J

• Les thèmes de rappel sont:

  • valeurs exactes d’expressions d’arctangente
  • primitives de l’exponentielle de base 2
  • caractérisation de y=arctan x
  • solutions de tan x=a
  • primitive définie par une intégrale
  • théorème de la bijection monotone

Compléments

📐 Formule — Une autre série de fonctions à dériver comprend $f_1(x)=\arctan\left(\frac{1}{x}\right)$, $f_2(x)=e^{-x}\cos(3x)$ et $f_3(t)=\frac{1}{1+e^{1/t}}$.

📐 Formule — Les autres calculs de primitives et d’intégrales comprennent $\int \frac{x}{\ln x}\,dx$, $\int \frac{2}{1+4x^2}\,dx$ et $\int_0^1\left(x^2-\sqrt{x}+\cos x\right)dx$.

• Pour une fonction continue f sur un intervalle I et un point a appartenant à I, la primitive de f qui s’annule en a doit être écrite sous forme intégrale.

💡 Astuce mémo

Panne du refroidissement → la température tend vers 22 °C

📊 Tableaux de synthèse

Fonctions de référence

Propriétés des fonctions trigonométriques