Fiche de révision : Physique : énergies et électrostatique

📋 Plan du Cours

1. Quantité de mouvement et Newton
2. Travail et énergie cinétique
3. Énergies potentielles et conservation
4. Énergie mécanique et puissance
5. Grandeurs électrostatiques
6. Distributions continues et condensateur
7. Dipôle électrostatique
8. Modèle cinétique du gaz parfait
9. Pression et équation d’état
10. Énergie interne du gaz parfait
11. Équation d’état du gaz parfait
12. Énergie interne des gaz parfaits
13. Hydrostatique et poussée d’Archimède
14. Écoulement des fluides parfaits
15. Viscosité et pertes hydrauliques
16. Cycle cardiaque et compliance artérielle

📖 1. Quantité de mouvement et Newton

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantité de mouvement : D’un corps de masse m animé d’une vitesse v est le vecteur $\vec p=m\vec v$, exprimé en kg·m·s⁻¹.

★ À maîtriser

• Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures vérifie $\sum \vec F_{\mathrm{ext}}=\frac{d\vec p}{dt}$, et pour une masse constante $\sum \vec F_{\mathrm{ext}}=m\vec a$.

• Dans un système isolé où la somme des forces extérieures est nulle, la quantité de mouvement est constante.

Compléments

📐 Formule — Si la force extérieure résultante est constante, $\vec F=\frac{m(\vec v_f-\vec v_i)}{\Delta t}$.

💡 Astuce mémo

Force extérieure → variation de la quantité de mouvement

📖 2. Travail et énergie cinétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Travail d’une force : Pour une force constante sur le trajet AB, le travail vaut $W_{A\to B}=F\,AB\cos(\vec F,\overrightarrow{AB})$.

★ À maîtriser

• Une force colinéaire au déplacement et de même sens fournit un travail moteur positif, une force de sens contraire un travail résistant négatif, et une force perpendiculaire un travail nul.

📐 Formule — L’énergie cinétique d’un corps de masse m et de vitesse v vaut $E_c=\frac12mv^2$.

• Le théorème de l’énergie cinétique affirme que $E_c(B)-E_c(A)=\sum W_{A\to B}(\vec F_{\mathrm{ext}})$.

Compléments

• Le travail du poids entre A et B vaut $W_{A\to B}(\vec P)=mg(z_A-z_B)$ lorsque l’axe vertical est orienté vers le haut.

• Pour une force non constante colinéaire au trajet, le travail total se calcule par $W_{A\to B}=\int_A^B F(x)\,dx$.

📖 3. Énergies potentielles et conservation

🔑 Notions clés & Définitions

• Force conservative : Une force est conservative lorsque son travail entre A et B ne dépend pas du chemin suivi.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une force conservative, le travail vérifie $W_{A\to B}=E_p(A)-E_p(B)=-\Delta E_p$ et, en une dimension, $dE_p=-F\,dx$.

📐 Formule — Avec un axe vertical orienté vers le haut et l’origine de l’énergie potentielle à z=0, l’énergie potentielle de pesanteur vaut $E_p(z)=mgz$.

📐 Formule — L’énergie potentielle élastique d’un ressort de raideur k déformé de x vaut $E_p=\frac12kx^2$ lorsque $E_p(0)=0$.

• Un minimum d’énergie potentielle correspond à un équilibre stable, tandis qu’un maximum correspond à un équilibre instable.

Compléments

📐 Formule — L’énergie potentielle gravitationnelle de deux masses M et m séparées par r, avec $E_p(\infty)=0$, vaut $E_p(r)=-\frac{GMm}{r}$.

💡 Astuce mémo

Minimum stable, maximum instable

📖 4. Énergie mécanique et puissance

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie mécanique : La somme de l’énergie cinétique et des énergies potentielles conservatives du système, soit $E_m=E_c+E_p$.

★ À maîtriser

📌 Si toutes les forces sont conservatives, l’énergie mécanique se conserve.

• En présence de forces non conservatives, la variation de l’énergie mécanique est égale au travail de ces forces : $\Delta E_m=W_{\mathrm{non\ conservative}}$.

📐 Formule — La puissance instantanée est $P=\frac{dW}{dt}=\frac{dE}{dt}$ et, pour une force et une vitesse quelconques, $P=\vec F\cdot\vec v$.

Compléments

📐 Formule — Pour une puissance constante, la variation d’énergie pendant la durée Δt vaut $\Delta E=P\,\Delta t$.

📐 Formule — Le rendement énergétique d’une machine vaut $r=\frac{E_{\mathrm{restituée}}}{E_{\mathrm{reçue}}}=\frac{P_{\mathrm{restituée}}}{P_{\mathrm{reçue}}}$; une machine recevant 100 W et restituant 60 W a un rendement de 60 %.

💡 Astuce mémo

Force non conservative → énergie mécanique dissipée

📖 5. Grandeurs électrostatiques

★ À maîtriser

📐 Formule — La loi de Coulomb donne la force exercée par une charge q sur une charge q′ séparée de r : $\vec F=k\frac{qq'}{r^2}\vec u$, avec $k=\frac{1}{4\pi\varepsilon}$.

• En présence de plusieurs charges, la force électrostatique totale est la somme vectorielle des forces exercées par toutes les autres charges.

📐 Formule — Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle q à la distance r vaut $\vec E=k\frac{q}{r^2}\vec u$ et s’exprime en V·m⁻¹.

📌 Le champ d’une charge positive est radial sortant, tandis que celui d’une charge négative est radial rentrant.

📐 Formule — Le potentiel créé par une charge ponctuelle q à la distance r vaut $V=k\frac{q}{r}$.

📐 Formule — La relation locale entre champ et potentiel est $dV=-E\,dr$.

📐 Formule — L’énergie potentielle électrostatique d’une charge q′ placée dans le potentiel V créé par q vaut $E_p=q'V=k\frac{qq'}{r}$.

Compléments

📐 Formule — La force exercée sur une charge q′ placée dans un champ électrostatique E vérifie $\vec F=q'\vec E$.

• Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles.

💡 Astuce mémo

Force → champ → potentiel → énergie

📖 6. Distributions continues et condensateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution continue de charges : Une distribution continue est traitée en la décomposant en éléments infinitésimaux dq, dont les champs et potentiels élémentaires sont additionnés par superposition.
• Condensateur plan : Constitué de deux conducteurs plans de surface S, séparés par un isolant d’épaisseur e.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La densité surfacique de charge est $\sigma=\frac{dq}{ds}$ en C·m⁻², la densité linéique est $\lambda=\frac{dq}{dl}$ en C·m⁻¹ et la densité volumique est $\rho=\frac{dq}{dV}$ en C·m⁻³.

• Dans un condensateur plan idéal, le champ électrostatique est uniforme entre les armatures et nul à l’extérieur.

📐 Formule — Entre les armatures d’un condensateur plan, le champ et la tension vérifient $E=\frac{\sigma}{\varepsilon}=\frac{U}{e}$.

📐 Formule — La capacité d’un condensateur plan vaut $C=\frac{Q}{U}=\frac{\varepsilon S}{e}$ et s’exprime en farads.

📐 Formule — L’énergie stockée dans un condensateur chargé vaut $W=\frac12CU^2=\frac{Q^2}{2C}$.

📖 7. Dipôle électrostatique

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle électrostatique : Constitué de deux charges égales en valeur absolue et opposées, séparées par une distance AB.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le moment dipolaire du dipôle vaut $\vec p=q\overrightarrow{AB}$, s’applique au milieu de [AB] et s’exprime en C·m.

Compléments

📐 Formule — À grande distance, le potentiel créé par un dipôle vaut $V=\frac{kp\cos\theta}{r^2}$, où θ est l’angle entre le moment dipolaire et la direction d’observation.

📖 8. Modèle cinétique du gaz parfait

🔑 Notions clés & Définitions

• Gaz parfait : Le modèle du gaz parfait représente les molécules comme ponctuelles, sans énergie potentielle d’interaction, avec des collisions élastiques dans un espace homogène et isotrope.

📝 Points essentiels

• Dans un gaz parfait isotrope, la vitesse vectorielle moyenne est nulle, alors que la moyenne du carré de la vitesse est non nulle.

📐 Formule — La vitesse quadratique moyenne d’un gaz parfait vérifie $v_q=\sqrt{\langle v^2\rangle}=\sqrt{\frac{3k_BT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$, avec M en kg·mol⁻¹.

📐 Formule — L’énergie cinétique moyenne de translation d’une molécule vaut $\langle\varepsilon\rangle=\frac32k_BT=\frac12m v_q^2$.

📖 9. Pression et équation d’état

🔑 Notions clés & Définitions

• Pression : Le rapport $P=F/S$ entre la force de pression perpendiculaire exercée sur une paroi et la surface de cette paroi; son unité SI est le pascal.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation d’état du gaz parfait est $PV=nRT=Nk_BT$.

📐 Formule — La différentielle logarithmique de l’équation d’état s’écrit $\frac{dP}{P}+\frac{dV}{V}=\frac{dn}{n}+\frac{dT}{T}$.

Compléments

• Les équivalences utiles sont $1\,\mathrm{atm}\approx10^5\,\mathrm{Pa}=760\,\mathrm{mmHg}$, $1\,\mathrm{L}=10^{-3}\,\mathrm{m^3}$ et $T(\mathrm K)=T(°\mathrm C)+273{,}15$.

📐 Formule — Le nombre de moles d’un gaz vaut $n=\frac{m'}{M}$, où m′ est la masse du gaz et M sa masse molaire.

• Dans une enceinte fermée en transformation isotherme, une augmentation de volume de 2 % entraîne une diminution de pression de 2 %.

📖 10. Énergie interne du gaz parfait

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie interne : U d’un gaz parfait est l’énergie mécanique totale moyenne de ses constituants et se réduit à leur énergie cinétique, car l’énergie potentielle d’interaction est nulle dans le modèle.

★ À maîtriser

• L’énergie cinétique totale moyenne d’une molécule peut comprendre une contribution de translation, une contribution de rotation et une contribution de vibration.

Compléments

📐 Formule — Les contributions moyennes indiquées sont $\langle\varepsilon_{\mathrm{trans}}\rangle=\frac32k_BT$, $\langle\varepsilon_{\mathrm{rot}}\rangle=k_BT$ et $\langle\varepsilon_{\mathrm{vib}}\rangle=k_BT$.

📖 11. Équation d’état du gaz parfait

★ À maîtriser

📐 Formule — La température absolue vérifie $T(\mathrm{K})=T(\mathrm{°C})+273{,}15$.

• Pour une transformation d’un gaz parfait en enceinte fermée, la différentielle logarithmique donne $\frac{dP}{P}+\frac{dV}{V}=\frac{dT}{T}$.

Compléments

• Les conversions utiles sont $1\,L=10^{-3}\,m^3$, $1\,cm^3=1\,mL$ et $1\,atm=10^5\,Pa=760\,mmHg$.

• Lorsqu’un gaz parfait subit une augmentation isotherme de volume de 2 % dans une enceinte fermée, sa pression diminue de 2 %.

📖 12. Énergie interne des gaz parfaits

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie interne : D’un gaz parfait est l’énergie mécanique totale moyenne de tous ses constituants.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un gaz parfait monoatomique, l’énergie interne vaut $U=\frac{3}{2}Nk_BT=\frac{3}{2}nRT$.

📐 Formule — Pour un gaz parfait diatomique, $U=\frac{5}{2}Nk_BT=\frac{5}{2}nRT$ si la vibration est inactive et $U=\frac{7}{2}Nk_BT=\frac{7}{2}nRT$ si la température est très supérieure à 300 K.

Compléments

📐 Formule — L’énergie cinétique moyenne de rotation vaut $\langle\varepsilon_{rot}\rangle=k_BT$ pour deux degrés de liberté de rotation.

📖 13. Hydrostatique et poussée d’Archimède

🔑 Notions clés & Définitions

• Hydrostatique : Étudie les fluides en équilibre sous l’action de leur poids.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un fluide au repos, la pression vérifie $dP=-\rho g\,dz$.

📐 Formule — Dans un fluide incompressible, la différence de pression entre deux points A et B vaut $P_B-P_A=\rho g(z_A-z_B)$.

📐 Formule — La poussée d’Archimède exercée sur un corps immergé vaut $F_A=\rho V_i g$ vers le haut, où $V_i$ est le volume immergé.

📌 Un corps flotte si sa masse volumique est inférieure ou égale à celle du fluide, et il coule si sa masse volumique est supérieure à celle du fluide.

Compléments

• Dans des vases communicants contenant le même liquide au repos, les surfaces libres sont à la même altitude car elles sont soumises à la même pression atmosphérique.

📐 Formule — Une hauteur d’eau de 10 m produit une différence de pression de $\Delta P=\rho gh=10^5\,Pa=1\,bar=760\,mmHg$.

📖 14. Écoulement des fluides parfaits

🔑 Notions clés & Définitions

• Débit volumique : Le volume de fluide traversant une section par unité de temps, avec $Q=\frac{dV}{dt}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — En régime permanent incompressible, la conservation du débit impose $Q=S_Av_A=S_Bv_B$.

📐 Formule — Le long d’une même ligne de courant, le théorème de Bernoulli impose $P+\rho gz+\frac{1}{2}\rho v^2=\mathrm{constante}$.

📐 Formule — La vitesse d’éjection d’un liquide parfait par un orifice situé à une profondeur h vaut $v_B=\sqrt{2gh}$.

• L’effet Venturi associe une augmentation de vitesse et une baisse de pression dans un rétrécissement, ainsi qu’une baisse de vitesse et une hausse de pression dans un élargissement.

Compléments

📐 Formule — Dans un tube de Pitot, la vitesse d’un liquide parfait vérifie $v=\sqrt{2g\Delta h}$.

💡 Astuce mémo

Rétrécissement : vitesse augmente, pression diminue

📖 15. Viscosité et pertes hydrauliques

★ À maîtriser

• Un fluide parfait ne présente pas de frottements, tandis qu’un fluide visqueux présente des frottements et des pertes d’énergie.

📐 Formule — La force de frottement entre deux couches voisines d’un fluide vaut $F=\eta S\frac{dv}{dy}$.

📐 Formule — Dans une conduite cylindrique, le profil de vitesse est parabolique, maximal au centre et nul aux parois, selon $v(r)=v_{max}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)$.

📐 Formule — La loi de Poiseuille s’écrit $\Delta P=P_A-P_B=\mathcal{R}Q$ avec $\mathcal{R}=\frac{8\eta l}{\pi R^4}$.

📐 Formule — Deux résistances hydrauliques en série s’additionnent selon $\mathcal{R}_{tot}=\mathcal{R}_1+\mathcal{R}_2$, tandis qu’en parallèle $\frac{1}{\mathcal{R}_{tot}}=\frac{1}{\mathcal{R}_1}+\frac{1}{\mathcal{R}_2}$.

Compléments

• La viscosité vaut 0,8 Pa·s pour la glycérine, $10^{-3}\,Pa\cdot s$ pour l’eau et appartient à l’intervalle $[3;5]\times10^{-3}\,Pa\cdot s$ pour le sang.

📐 Formule — La puissance hydraulique fournie à un fluide vaut $P=\Delta P\,Q$.

💡 Astuce mémo

Parfait sans frottement, visqueux avec pertes

📖 16. Cycle cardiaque et compliance artérielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Compliance artérielle : L’aptitude d’une artère à se déformer, définie par $C=\frac{dV}{dP}$.

★ À maîtriser

• Pendant la systole, le ventricule éjecte le sang dans l’aorte, dont le volume et le rayon augmentent sous l’effet de l’augmentation de pression.

• Le volume sanguin stocké dans l’aorte pendant la systole est restitué pendant la diastole, ce qui transforme un débit cardiaque discontinu en débit aortique continu variable.

• Les pertes de pression d’un circuit hydraulique peuvent provenir de la viscosité, d’un changement de section ou d’un changement d’altitude, et ces trois contributions peuvent se combiner.

Compléments

• Une artère purement rigide possède théoriquement une compliance $C=0$, tandis qu’une artère infiniment élastique possède $C=\infty$.

📐 Formule — Pour une artère infiniment élastique, le débit aortique devient continu et uniforme, de valeur moyenne $\frac{Q_ST_S}{T_C}$.

📊 Tableaux de synthèse

Grandeurs électrostatiques

Types de fluides et écoulements