Fiche de révision : Principes fondamentaux de la dérivation

📋 Plan du Cours

1. Approximation affine en √x
2. Dérivée en un point
3. Fonction dérivée
4. Tangente à la courbe
5. Opérations sur dérivées
6. Dérivée composition
7. Dérivée inverse
8. Dérivées fonctions usuelles
9. Extremums locaux
10. Théorème de Rolle
11. Sens de variation

📖 1. Approximation affine en √x

🔑 Notions clés & Définitions

• Approximation affine : Technique consistant à approcher une fonction par sa tangente en un point donné, permettant d'estimer la valeur de la fonction à proximité de ce point. Dans ce contexte, la meilleure approximation est la tangente à la courbe en ce point (voir propriété 2, section 4).

• Coefficient directeur de la tangente (a) : Limite du taux d’accroissement de la fonction en un point, calculée par lim x→x₀ (f(x) − f(x₀)) / (x − x₀). Pour la fonction √x en x=1, ce coefficient est a = 1/2 (voir définition 1, section 2).

• Taux d’accroissement : Rapport (f(x) − f(x₀)) / (x − x₀), représentant la pente moyenne de la fonction entre x et x₀. La limite de ce rapport quand x tend vers x₀ donne la dérivée en ce point (voir définition 1, section 2).

📝 Points essentiels

• La meilleure approximation affine de la fonction f(x) = √x en x=1 est la tangente à la courbe en ce point, dont l’équation est y = (1/2) x + 1/2 (voir propriété 2, section 4).
• Le coefficient directeur de cette tangente est obtenu par la limite du taux d’accroissement : lim x→1 (√x − 1) / (x − 1) = 1/2 (voir définition 1, section 2).
• Cette approximation permet d’estimer √(1,01) en utilisant la formule : √(1,01) ≈ (1/2) × 1,01 + 1/2 ≈ 1,005, valeur proche de celle calculée par la calculatrice (voir exemple dans le contenu source).
• La limite du taux d’accroissement correspond à la dérivée de √x en x=1, qui est f′(1) = 1/2 (voir section 2, définition 1).
• La méthode d’approximation affine est utile pour estimer la valeur de √x proche d’un point, en utilisant la tangente comme meilleure approximation locale (voir propriété 2, section 4).

💡 À retenir

L’approximation affine d’une fonction en un point, donnée par sa tangente, permet d’obtenir une valeur approchée précise en utilisant la limite du taux d’accroissement, qui correspond à la dérivée en ce point.

📖 2. Dérivée en un point

🔑 Notions clés & Définitions

Nombre dérivé en un point (limite du taux d’accroissement) :
Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ contenant $x_0$. La fonction $f$ est dérivable en $x_0$ si la limite du taux d’accroissement
$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ existe et est finie. Cette limite, appelée nombre dérivé de $f$ en $x_0$, représente la pente de la tangente à la courbe en ce point.

Condition de dérivabilité en un point :
Une fonction $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si le taux d’accroissement $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ admet une limite finie quand $x \to x_0$. La dérivabilité implique la continuité en ce point (voir section 3).

Exemple de dérivabilité et non-dérivabilité de $\sqrt{x}$ en 0 :

• Sur $\mathbb{R}_+^*$, $\sqrt{x}$ est dérivable avec $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
• En $x=0$, la limite du taux d’accroissement est infinie, donc $\sqrt{x}$ n’est pas dérivable en 0.

📝 Points essentiels

• La définition formelle du nombre dérivé en un point repose sur la limite du taux d’accroissement, ce qui donne une interprétation géométrique : la pente de la tangente à la courbe en ce point (voir propriété 2).
• La dérivabilité en un point implique la continuité en ce point (voir propriété 1). La réciproque n’est pas toujours vraie, comme pour la fonction valeur absolue en 0.
• La fonction $\sqrt{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$, mais pas en 0, car la limite du taux d’accroissement tend vers $+\infty$.
• La limite du taux d’accroissement en un point $x_0$ est le nombre dérivé $f'(x_0)$, qui peut être positif, négatif ou nul, selon la pente de la tangente.
• La formule de la dérivée en un point permet de calculer la pente de la tangente et d’approcher la valeur de la fonction à proximité de ce point.

💡 À retenir

La dérivée en un point est la limite du taux d’accroissement, représentant la pente de la tangente à la courbe en ce point, et sa existence nécessite que cette limite soit finie. La dérivabilité implique la continuité, mais pas l’inverse.

📖 3. Fonction dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée (définition) : La fonction dérivée d'une fonction f, notée f' ou df/dx, associe à chaque point x d’un intervalle la limite du taux d’accroissement de f en ce point, si cette limite existe. Elle représente la pente de la tangente à la courbe en ce point.
  Source : AUTEUR (date) : « La fonction dérivée est la fonction qui, à chaque point x, associe la limite du taux d’accroissement de f en x. »

• Fonction dérivée (exemple) : Pour la fonction f : x → √x définie sur R+, la fonction dérivée est f'(x) = 1 / (2√x). Elle est calculée en utilisant la limite du taux d’accroissement en un point x, c’est-à-dire lim_{h→0} (f(x+h) - f(x)) / h.
  Source : AUTEUR (date) : « La dérivée de √x sur R+ est donnée par f'(x) = 1 / (2√x). »

• Dérivabilité en un point : Une fonction f est dérivable en un point x₀ si le taux d’accroissement (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) admet une limite finie lorsque x tend vers x₀. La limite est alors la dérivée en x₀, notée f'(x₀).
  Source : AUTEUR (date) : « La fonction f est dérivable en x₀ si le taux d’accroissement admet une limite finie quand x tend vers x₀. »

• Lien entre dérivabilité et continuité : Si une fonction f est dérivable en x₀, alors elle est continue en x₀. La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque n’est pas toujours vraie.
  Source : AUTEUR (date) : « Si f est dérivable en x₀, alors f est continue en x₀. »

📝 Points essentiels

• La dérivée d’une fonction f en un point x₀ est définie comme la limite du taux d’accroissement :
  $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
  si cette limite existe et est finie.
  Source : AUTEUR (date) : « La dérivée en un point est la limite du taux d’accroissement. »

• La fonction dérivée est une nouvelle fonction, notée f' ou df/dx, qui est définie sur l’intervalle où f est dérivable. Elle peut être calculée à partir des formules de dérivation usuelles ou par limite.
  Source : AUTEUR (date) : « La fonction dérivée est la fonction qui, à chaque point, donne la limite du taux d’accroissement. »

• La dérivabilité en un point implique la continuité en ce point, mais la continuité seule ne garantit pas la dérivabilité (exemple : valeur absolue en 0).
  Source : AUTEUR (date) : « La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse. »

• La dérivée permet d’étudier le comportement local de la fonction : sens de variation, extremums, concavité, etc.
  Source : AUTEUR (date) : « La dérivée est un outil essentiel pour analyser la variation locale d’une fonction. »

💡 À retenir

La fonction dérivée, en associant à chaque point la pente de la tangente, permet d’étudier précisément le comportement local d’une fonction, en reliant la limite du taux d’accroissement à la pente instantanée.

📖 4. Tangente à la courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Lien entre dérivabilité et continuité : Si une fonction f est dérivable en un point x₀, alors elle est continue en ce point (voir propriété 1). La dérivabilité implique donc la continuité, mais la réciproque n’est pas toujours vraie.

• Équation de la tangente en un point dérivable : Si f est dérivable en x₀, l’équation de la tangente à la courbe en ce point est donnée par :
  y = f(x₀) + (x - x₀)f′(x₀) (voir propriété 2).

• Interprétation géométrique de la tangente : La tangente en un point x₀ est la meilleure approximation affine locale de la courbe en ce point, c’est-à-dire une droite qui "touche" la courbe en ce point et partage la même pente f′(x₀).

📝 Points essentiels

• La dérivabilité en x₀ entraîne la continuité en x₀, mais la continuité seule ne garantit pas la dérivabilité (exemple : valeur absolue en 0).

• L’équation y = f(x₀) + (x - x₀)f′(x₀) est obtenue en utilisant la limite du taux d’accroissement (voir référence à la dérivée en un point).

• La tangente représente la meilleure approximation affine locale de la fonction en un point dérivable, ce qui facilite l’estimation de valeurs proches de x₀ (exemple : approximation de √(1,01) autour de 1).

• La dérivée en un point, lorsqu’elle existe, donne la pente de la tangente en ce point, liant ainsi la notion géométrique à la notion analytique.

💡 À retenir

La tangente à la courbe en un point dérivable est une droite qui représente la meilleure approximation affine locale de la fonction en ce point, et son équation s’obtient directement via la dérivée en ce point.

📖 5. Opérations sur dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• (f + g)' = f' + g'
  Règle de dérivation de la somme : La dérivée de la somme de deux fonctions dérivables est la somme de leurs dérivées.

• (λf)' = λf'
  Dérivée d'une fonction multipliée par une constante : La dérivée d'une fonction multipliée par un scalaire λ est λ fois la dérivée de la fonction.

• (fg)' = f'g + fg'
  Règle du produit : La dérivée du produit de deux fonctions dérivables est la somme du produit de la dérivée de la première par la seconde, et de la première par la dérivée de la seconde.

• (1/f)' = -f'/f²
  Dérivée de l'inverse : La dérivée de l'inverse d'une fonction f, dérivable et non nulle, est négative de la dérivée de f sur le carré de f.

• (f/g)' = (f'g - fg') / g²
  Règle du quotient : La dérivée du quotient de deux fonctions dérivables est le quotient de la différence entre le produit de la dérivée du numérateur par le dénominateur, et le produit du numérateur par la dérivée du dénominateur, sur le carré du dénominateur.

📝 Points essentiels

• La dérivée d'une somme ou d'une constante multipliée par une fonction est la somme ou la constante multipliée par la dérivée (règles linéaires).
• La règle du produit permet de dériver le produit de deux fonctions en utilisant la formule (fg)' = f'g + fg'.
• La dérivée de l'inverse d'une fonction f, si f est dérivable et f ≠ 0, est donnée par (1/f)' = -f'/f², ce qui est essentiel pour manipuler des fonctions rationnelles.
• La règle du quotient est une extension du produit, adaptée aux rapports de fonctions, fondamentale pour dériver des expressions rationnelles.

💡 À retenir

Les opérations de dérivation sur des fonctions dérivables suivent des règles simples et fondamentales : somme, produit, quotient, et multiplication par une constante, permettant de dériver rapidement des expressions complexes en combinant ces règles.

📖 6. Dérivée composition

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule de la dérivée de la composition :
  Si $f$ est dérivable en $x$ et $g$ est dérivable en $f(x)$, alors la dérivée de la composition $g \circ f$ en $x$ est donnée par :
  $(g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)$
  (Propriété 4)

• Condition de dérivabilité de la composition :
  La composition $g \circ f$ est dérivable en $x$ si et seulement si $f$ est dérivable en $x$ et $g$ est dérivable en $f(x)$. La dérivabilité de la composition repose donc sur celle de chaque fonction en leur point respectif.
  (Propriété 4)

• Démonstration intuitive basée sur le taux d'accroissement :
  La formule de la dérivée de la composition s’obtient en étudiant le taux d’accroissement :
  $\frac{g(f(x)) - g(f(x_0))}{x - x_0} \approx g'(f(x_0)) \cdot \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
  lorsque $x \to x_0$, illustrant que la variation de $g \circ f$ dépend du taux d’accroissement de $f$ et de la dérivée de $g$ en $f(x_0)$.

📝 Points essentiels

• La formule de la dérivée de la composition est une règle fondamentale en calcul différentiel, souvent appelée règle de la chaîne.
• La dérivabilité de $g \circ f$ nécessite que $f$ soit dérivable en $x$ et que $g$ soit dérivable en $f(x)$.
• La démonstration intuitive repose sur le taux d’accroissement, qui exprime la variation locale de la fonction composée en fonction de celles des fonctions de départ.
• La formule est valable dans tout contexte où les fonctions sont dérivables, ce qui permet d’étendre facilement le calcul de dérivées à des fonctions composées complexes.

💡 À retenir

La dérivée de la composition de deux fonctions dérivables est le produit de la dérivée de la fonction extérieure évaluée en la fonction intérieure par la dérivée de la fonction intérieure.

📖 7. Dérivée inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée de la fonction inverse : Si f est une bijection dérivable dont la dérivée ne s’annule pas en tout point de son domaine, alors la dérivée de sa fonction inverse en un point x s’exprime par (f⁻¹)'(x) = 1 / f'(f⁻¹(x)) (source : contenu source).
• Conditions nécessaires pour la dérivabilité de la fonction inverse : La fonction f doit être bijective, dérivable sur son domaine, et sa dérivée doit être strictement différente de zéro en tout point (voir propriété 5).
• Interprétation géométrique : La dérivée de la fonction inverse en un point correspond à l’inverse de la pente de la tangente à la graphique de f en l’image de ce point, ce qui implique que la courbe de la fonction inverse est la réflexion de celle de f par rapport à la droite y = x, et que la pente de la tangente à la graphique de f en un point est l’inverse de celle de la graphique de f⁻¹ en l’image de ce point (voir propriété 5).
• Dérivée de la fonction inverse (formule) : Si f est une bijection dérivable, avec f′(x) ≠ 0, alors pour tout x dans le domaine de f⁻¹, (f⁻¹)'(x) = 1 / f'(f⁻¹(x)) (source : contenu source).

📝 Points essentiels

• La formule (f⁻¹)'(x) = 1 / f'(f⁻¹(x)) est valable uniquement si f est bijective, dérivable, et que sa dérivée ne s’annule pas sur son domaine (voir propriété 5).
• La dérivabilité de f⁻¹ en x nécessite que f soit dérivable en f⁻¹(x) et que f′(f⁻¹(x)) ≠ 0.
• La relation géométrique indique que la pente de la tangente à la graphique de f⁻¹ en un point est l’inverse de la pente de la tangente à la graphique de f en l’image de ce point.
• La condition f′(x) ≠ 0 est essentielle pour que la fonction inverse soit dérivable en x, ce qui souligne l’importance de la non-annulation de la dérivée (voir propriété 5).
• La formule permet de calculer la dérivée de la fonction inverse à partir de celle de f, facilitant ainsi l’étude des inverses de fonctions dérivables.

💡 À retenir

La dérivée de la fonction inverse en un point est l’inverse de la dérivée de la fonction en l’image de ce point, sous réserve que cette dérivée ne s’annule pas, ce qui garantit la dérivabilité de l’inverse.

📖 8. Dérivées fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d'une fonction (f') : La dérivée en un point x₀, notée f′(x₀), est la limite du taux d’accroissement lorsque x tend vers x₀, c’est-à-dire f′(x₀) = limₓ→x₀ (f(x) − f(x₀)) / (x − x₀), si cette limite existe.
• Dérivée d'une fonction composée (g∘f)' : Si f est dérivable en x et g en f(x), alors la dérivée de la composition est (g∘f)'(x) = g'(f(x)) · f'(x), selon la formule de la dérivée de la composition.
• Dérivée d'une fonction puissance (xⁿ) : Pour n ∈ ℤ, la dérivée est (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹.
• Dérivée de la racine carrée (√x) : Sur R₊, elle est (√x)' = 1 / (2√x), selon (f(x) = √x) (voir tableau récapitulatif).
• Dérivée de la fonction logarithme (ln u) : Si u est dérivable et positive, alors (ln u)' = u'/u.
• Dérivée des fonctions trigonométriques :
  • (sin x)' = cos x
  • (cos x)' = -sin x
  • (tan x)' = 1 / cos² x (voir tableau).

📝 Points essentiels

• La dérivée d'une fonction permet d'étudier sa variation, ses extremums et sa concavité.
• La formule de la dérivée de la composition (g∘f)'(x) = g'(f(x)) · f'(x) est fondamentale pour dériver des fonctions composées, notamment pour les fonctions usuelles comme ln u, cos u, etc.
• La dérivée de la racine carrée (√x)' = 1 / (2√x) est valable sur R₊, mais n’est pas définie en 0, où la limite tend vers +∞.
• La dérivée du logarithme (ln u)' = u'/u nécessite que u soit positive et dérivable.
• Les dérivées des fonctions trigonométriques sont issues des limites fondamentales de la trigonométrie et de l’analyse infinitésimale.

💡 À retenir

Les dérivées des fonctions usuelles sont essentielles pour analyser leur comportement local et global, et leur formule s’appuie sur des limites fondamentales et la règle de la dérivation de la composition. La connaissance précise de ces formules permet d’étudier efficacement la variation et les extremums des fonctions.

📖 9. Extremums locaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Point critique : f'(x0) = 0. Selon THÉORÈME 1, si une fonction dérivable sur un intervalle admet un extremum local en x0, alors sa dérivée en ce point est nulle.
• Extremum local : Point x0 où la fonction atteint un maximum ou un minimum dans un voisinage.
  • Maximum local : il existe un intervalle J contenant x0 tel que, pour tout x ∈ J, f(x) ≤ f(x0).
  • Minimum local : il existe un intervalle J contenant x0 tel que, pour tout x ∈ J, f(x) ≥ f(x0).
• Lien entre extremum local et dérivée nulle : Selon THÉORÈME 1, si f est dérivable en x0 et admet un extremum local en ce point, alors f'(x0) = 0.
• Interprétation géométrique : La dérivée nulle en un point critique indique que la tangente à la courbe est horizontale en ce point, ce qui correspond à un sommet ou un creux local.

📝 Points essentiels

• La condition f'(x0) = 0 est nécessaire pour qu’un point critique soit un extremum local, mais pas suffisante (exemples de points plats sans extremum, voir section 3).
• La définition d’un maximum ou minimum local repose sur la comparaison de la valeur en x0 avec celles dans un voisinage.
• La propriété 1 précise que si f est dérivable en x0 et admet un extremum local, alors f'(x0) = 0 (THÉORÈME 1).
• La démonstration de ce théorème utilise le théorème des accroissements finis et la limite du taux d’accroissement, soulignant que la dérivée doit changer de signe ou s’annuler en un point critique pour un extremum.
• La réciproque n’est pas toujours vraie : une dérivée nulle en un point ne garantit pas un extremum (exemple : fonction x → x³).

💡 À retenir

Un extremum local se caractérise par un point critique où la dérivée s’annule, mais cette condition seule ne suffit pas à identifier un maximum ou un minimum ; un test supplémentaire (voir section 10) est nécessaire.

📖 10. Théorème de Rolle

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité sur [a; b] : La fonction f est continue sur l’intervalle fermé [a; b], c’est-à-dire que pour tout x dans [a; b], la limite de f en x est égale à f(x).
• Dérivabilité sur ]a; b[ : La fonction f est dérivable en tout point strictement intérieur de l’intervalle (a; b), ce qui implique que la limite du taux d’accroissement existe en chaque point x ∈ ]a; b[.
• Condition d’égalité des valeurs aux bornes : f(a) = f(b). Cela signifie que la fonction prend la même valeur aux extrémités de l’intervalle.
• Existence d’un point c où f'(c) = 0 : Sous les conditions du théorème, il existe au moins un point c dans ]a; b[ tel que la dérivée de f en c est nulle, c’est-à-dire que la tangente à la courbe en c est horizontale.
• Interprétation géométrique (Rolle) : La courbe de la fonction possède au moins un point où la tangente est horizontale, ce qui correspond à un extremum local ou un point d’inflexion.

📝 Points essentiels

• Le théorème de Rolle stipule que si une fonction f est continue sur [a; b], dérivable sur ]a; b[, et que f(a) = f(b), alors il existe un point c ∈ ]a; b[ tel que f′(c) = 0.
• La démonstration repose sur le fait que, si f n’est pas constante, elle doit atteindre un maximum ou un minimum local dans ]a; b[ (par le théorème de l’existence d’un extremum local), et en ce point, la dérivée s’annule.
• La condition d’égalité des valeurs aux bornes est essentielle ; sans elle, le théorème ne s’applique pas nécessairement (exemple : fonction croissante ou décroissante sans valeur identique aux extrémités).
• La continuité garantit l’existence d’un maximum ou minimum local (par le théorème de Weierstrass), et la dérivabilité assure que la tangente en ce point est horizontale.
• La interprétation géométrique est que la courbe possède au moins un point où la pente de la tangente est nulle, ce qui correspond à un sommet ou un point d’inflexion local.

💡 À retenir

Le théorème de Rolle affirme qu’une fonction continue sur un intervalle fermé, dérivable sur l’intervalle ouvert correspondant, et ayant la même valeur aux extrémités, possède au moins un point où sa pente est horizontale.

📖 11. Sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème des accroissements finis (TAF) : **"Soit f continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)." (source : contenu fourni). Ce théorème établit qu'il existe un point c où la pente de la tangente (f'(c)) est égale au taux moyen de variation entre a et b.

• Lien entre dérivée et sens de variation : **"Si f′(x) ≥ 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle ; si f′(x) ≤ 0, alors f est décroissante." (source : contenu fourni). La dérivée indique le sens de variation locale d'une fonction.

• Critère de croissance, décroissance, constance : "f est croissante si et seulement si f′(x) ≥ 0, décroissante si et seulement si f′(x) ≤ 0, constante si et seulement si f′(x) = 0." (source : contenu fourni). La dérivée permet de caractériser précisément le comportement de la fonction.

• Exemple de contre-exemple : "La fonction x → x³ est strictement croissante partout, mais sa dérivée s’annule en 0, illustrant que la dérivée n’est pas toujours strictement positive pour une croissance stricte." (source : contenu fourni). La réciproque des critères n’est pas toujours vraie.

• Propriété de continuité et dérivabilité : "Si f est dérivable en x0, alors elle est continue en x0." (source : contenu fourni). La dérivabilité implique la continuité, mais l’inverse n’est pas toujours vrai.

📝 Points essentiels

• Le théorème des accroissements finis garantit l’existence d’un point c où la pente de la tangente est égale au taux moyen de variation entre deux points a et b. Il sert de lien fondamental entre la dérivée et le sens de variation locale ou globale d’une fonction.

• La relation entre la dérivée et le sens de variation est centrale : une dérivée positive ou nulle indique une fonction croissante ou constante, tandis qu’une dérivée négative ou nulle indique une décroissance ou constante. La dérivée est un outil pour analyser la monotonie.

• La caractérisation de la croissance, décroissance et constance par le signe de la dérivée est une règle essentielle en analyse : elle permet de tracer le tableau de variations d’une fonction et de prévoir son comportement.

• La limite de la dérivée en un point critique (f′(x0) = 0) est souvent associée à un extremum local, mais ce n’est pas une condition suffisante pour conclure à un extremum (voir section sur extremums).

• La continuité découle de la dérivabilité : toute fonction dérivable en un point est continue en ce point, mais la réciproque n’est pas toujours vraie.

💡 À retenir

La dérivée d’une fonction est le principal indicateur de son sens de variation : positive pour croître, négative pour décroître, nulle pour un éventuel extremum ou une fonction constante. Le théorème des accroissements finis établit un lien précis entre la variation moyenne et la dérivée en un point.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre limite du taux d’accroissement (lim x→x₀) de la différence par x−x₀ avec la valeur de la fonction en x₀.
2. Croire que la continuité implique la dérivabilité ; la réciproque est fausse (exemple : valeur absolue en 0).
3. Oublier que la dérivée en un point peut être nulle, positive ou négative, mais ne peut pas être infinie (sauf en cas de limite infinie, non dérivable).
4. Confondre la dérivée d’une fonction en un point et la dérivée globale ou la dérivée seconde.
5. Négliger que la dérivabilité en un point implique la continuité, mais pas l’inverse.
6. Confondre approximation affine et approximation par série de Taylor (plus précise, mais plus complexe).
7. Omettre que la dérivée d’une fonction classique (ex : √x) est souvent donnée par une formule simple, mais nécessite une limite pour la démonstration.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition de la limite du taux d’accroissement comme limite du (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) (Cauchy).
2. Savoir calculer la dérivée de √x : $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
3. Maîtriser l’équation de la tangente en un point : $y = f(x_0) + (x - x_0)f'(x_0)$.
4. Comprendre que la dérivabilité implique la continuité, mais pas l’inverse.
5. Savoir que la fonction dérivée est la limite du taux d’accroissement et qu’elle donne la pente de la tangente.
6. Être capable d’utiliser la dérivée pour déterminer le sens de variation d’une fonction.
7. Connaître le théorème de Rolle : si $f$ est continue sur [a, b], dérivable sur (a, b), et $f(a) = f(b)$, alors il existe $c \in (a, b)$ tel que $f'(c) = 0$.
8. Savoir que la dérivée seconde permet d’étudier la concavité.
9. Maîtriser la méthode d’approximation affine pour estimer √x proche d’un point.
10. Connaître la limite du taux d’accroissement pour la fonction √x en 1 : $1/2$.
11. Savoir que la dérivée de √x en x est positive pour x > 0.
12. Vérifier la maîtrise du vocabulaire : taux d’accroissement, dérivée, tangente, approximation affine, limite, continuité, dérivabilité.