Subdivision de [a,b] :
Une subdivision σ = (a_i)0≤i≤n d’un intervalle [a, b], avec a_0 = a, a_n = b, et a{i-1} < a_i pour tout i, est une famille finie de points de [a, b] permettant de découper l’intervalle en sous-intervalles.
Fonction en escalier :
Une fonction f : [a, b] → R est dite en escalier s’il existe une subdivision σ de [a, b] et des réels c_i tels que f ≡ c_i sur ]a_{i-1}, a_i[ pour chaque i, avec éventuellement une valeur fixée en chaque point a_i. Elle est donc constante par morceaux.
Intégrabilité au sens de Riemann :
Une fonction f : [a, b] → R est intégrable si, pour tout ε > 0, il existe deux fonctions en escalier φ_ε et ψ_ε telles que :
1. Quand l’approche rigoureuse de l’intégrale de Riemann a-t-elle été formellement établie ou popularisée ?
2. Comment peut-on définir une somme de Riemann associée à une subdivision d'un intervalle ?
3. Qui a formulé la définition de l'intégrale comme limite des sommes de Riemann associées à des subdivisions ?
Intégrale de Riemann — définition ?
Limite des intégrales de fonctions simples encadrantes.
Sommes de Riemann — rôle ?
Approcher l’intégrale via sommes sur subdivisions.
Continuité — condition pour intégrabilité ?
Fonction continue sur [a,b] est intégrable.
Propriété de Chasles — formule ?
$oxed{ extstyle orall a extless b extless c,\, extstyleig( extstyle ext{intégrale sur }[a,c]ig) = ig( ext{intégrale sur }[a,b]ig) + ig( ext{sur }[b,c]ig)}$
Fraction rationnelle — méthode d’intégration ?
Décomposition en éléments simples.
Produit cosinus-sinus — intégrale ?
Réduction par formules trigonométriques.
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