QCM : Programme de mathématiques MP2I MPSI (59 questions)

Explication

La formation mathématique vise à la fois l’acquisition de connaissances et le développement de capacités intellectuelles et méthodologiques. Elle encourage également une attitude active de questionnement et de recherche.

Explication

Les six compétences comprennent chercher, modéliser, représenter, raisonner et argumenter, calculer et utiliser le langage symbolique, ainsi que communiquer à l’écrit et à l’oral. La mémorisation n’est pas citée comme une compétence autonome dans cette liste.

Explication

Une implication relie une condition à une conséquence. Sa contraposition relie la négation de la conséquence à la négation de la condition ; elle ne doit pas être confondue avec la réciproque, qui échange les deux termes sans les nier.

Explication

Les modes de raisonnement explicitement au programme sont la disjonction des cas, la contraposition, l’absurde et l’analyse-synthèse. La récurrence relève d’un autre type de raisonnement, traité séparément.

Explication

Le raisonnement par récurrence peut prendre trois formes : simple, double ou forte. Ces qualificatifs décrivent des variantes de la récurrence et non des modes comme l’absurde ou la contraposition.

Explication

Une relation d’équivalence est une relation binaire dont les classes d’équivalence partitionnent l’ensemble considéré. Une simple application ou une relation quelconque ne possède pas nécessairement cette propriété de partition.

Explication

Le pivot de Gauss utilise trois opérations élémentaires : échanger deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire non nul, ou ajouter à une ligne un multiple d’une autre. Ces opérations conservent l’ensemble des solutions, contrairement à une transformation arbitraire.

Explication

L’inégalité triangulaire réelle est $[0m|x+y|\leq |x|+|y|[0m$. Par ailleurs, pour tout réel x, on $a [0m|\sin(x)|\leq |x|[0m$ ; ces deux résultats sont distincts mais relèvent des inégalités fondamentales étudiées.

Explication

La partie entière de x est définie comme le plus grand entier qui lui est inférieur ou égal. L’arrondi répond à une autre règle, généralement fondée sur la proximité, tandis que les autres propositions attribuent à tort cette définition à des opérations voisines.

Explication

La forme trigonométrique d’un complexe non nul est $z = re^{iθ}$, avec r strictement positif égal au module et θ un argument. Le module n’est donc pas un argument, et r ne peut pas être nul pour un complexe non nul.

Explication

L’identité fondamentale est |z|² = z\overline z. Le module est un réel positif ou nul, tandis que le conjugué est un nombre complexe obtenu par symétrie par rapport à l’axe réel.

Explication

Les formules d’Euler donnent cos(t) $= (e^{it}+e^{-it})/2$ et sin(t) $= (e^{it}-e^{-it})/(2i)$. Les signes et le facteur 2i dans la formule du sinus sont essentiels.

Explication

Une application z ↦ az+b avec a non nul est une similitude directe. Les translations, homothéties et rotations en sont des cas particuliers, tandis qu’une application constante correspondrait à a = 0.

Explication

Une équation différentielle linéaire du premier ordre s’écrit y' + a(x)y = b(x), avec a et b continues sur un intervalle. Une dérivée seconde caractérise plutôt une équation du second ordre.

Explication

La variation de la constante construit les solutions de l’équation complète à partir des solutions de l’équation homogène associée. Elle ne consiste pas à résoudre directement une équation du second ordre.

Explication

La forme d’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est y'' + ay' + by = f(x). Les coefficients a et b sont constants, et le second membre peut dépendre de x.

Explication

Pour f continue, le théorème fondamental de l’analyse donne la dérivée de x ↦ $∫_{x0}^{x}$ f(t)dt égale à f(x). La borne inférieure fixe x0 n’altère pas cette dérivée.

Explication

La borne supérieure est le plus petit majorant d’une partie non vide et majorée de R, et cette borne existe toujours dans ce cadre. Elle ne doit pas nécessairement appartenir à la partie, contrairement à un maximum.

Explication

La borne supérieure est le plus petit des majorants, sans devoir appartenir à la partie. En revanche, un maximum doit être un élément de la partie ; la borne supérieure coïncide avec le maximum lorsque ce plus petit majorant appartient à la partie.

Explication

Le théorème de la limite monotone garantit la convergence lorsqu'une suite est à la fois monotone et bornée. La monotonie seule ne suffit pas, comme le montre par exemple une suite monotone non bornée.

Explication

Le théorème des valeurs intermédiaires repose sur la continuité et garantit l’atteinte de toute valeur située entre deux valeurs prises par la fonction. La dérivabilité n’est pas le critère invoqué dans ce théorème.

Explication

Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint effectivement ses bornes. Cette conclusion peut échouer sur un intervalle qui n’est pas fermé, comme pour une fonction continue sur un intervalle ouvert.

Explication

La dérivabilité en un point signifie que le nombre dérivé y existe. Elle entraîne alors la continuité en ce point, mais la continuité seule ne suffit pas à assurer la dérivabilité.

Explication

Si la valeur absolue de la dérivée est majorée par K, l’inégalité des accroissements finis donne une variation de f contrôlée par K fois la distance entre les points. La fonction est donc K-lipschitzienne.

Explication

La division euclidienne s’écrit avec un quotient et un reste positif ou nul, strictement inférieur au diviseur positif. La borne de degré inférieur concerne le reste, et non le quotient.

Explication

L’algorithme d’Euclide calcule le PGCD en enchaînant des divisions euclidiennes. Son résultat direct est le PGCD, et non le PPCM.

Explication

Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 1. Le théorème de Bézout équivaut à cette propriété en affirmant l’existence d’une combinaison linéaire entière égale à 1.

Explication

Tout entier naturel non nul se factorise en produit de nombres premiers, et cette factorisation est unique à l’ordre des facteurs près. Les nombres premiers eux-mêmes correspondent à une décomposition comportant un seul facteur premier.

Explication

Un groupe possède une loi interne associative, un élément neutre et un inverse pour chacun de ses éléments. L’associativité seule ne suffit donc pas à définir un groupe.

Explication

Un morphisme de groupes respecte les lois de groupe. Son noyau est formé des éléments envoyés sur l’élément neutre, tandis que l’image regroupe les éléments effectivement atteints.

Explication

Un anneau est muni d’une addition et d’une multiplication, ces deux lois étant reliées par la distributivité. La présence d’inverses multiplicatifs pour tous les éléments non nuls relève de la définition d’un corps.

Explication

Un corps est un anneau commutatif dans lequel chaque élément non nul est inversible pour la multiplication. La commutativité et l’inversibilité des éléments non nuls sont donc deux caractéristiques essentielles.

Explication

Un système linéaire s’écrit en regroupant les coefficients dans A, les inconnues dans X et les seconds membres dans B, ce qui donne AX=B. Les autres propositions confondent cette écriture avec des formes non matricielles ou modifient la place des vecteurs.

Explication

La compatibilité de AX=B équivaut à l’appartenance de B à l’espace engendré par les colonnes de A, car cela signifie qu’une combinaison de ces colonnes donne B. Elle ne se confond pas avec l’inversibilité, qui concerne une matrice carrée possédant un inverse.

Explication

Dans un système compatible, toutes les solutions s’obtiennent en additionnant une solution particulière X₀ à une solution du système homogène associé. X₀ est fixé, tandis que Y parcourt l’ensemble des solutions homogènes.

Explication

Pour des matrices carrées de taille n≥2, le produit matriciel dépend généralement de l’ordre des facteurs, donc AB peut différer de BA. La commutativité est ainsi une propriété qui n’est pas générale dans cet anneau.

Explication

Un polynôme est notamment décrit par son degré, son coefficient dominant et son éventuel caractère unitaire. Le degré est une caractéristique du polynôme, et non de manière indistincte de la fonction qui lui est associée.

Explication

La division euclidienne fournit un quotient Q et un reste R vérifiant A=BQ+R, avec un degré du reste strictement inférieur à celui de B lorsque le reste est non nul. Cette contrainte porte sur le reste, pas sur le quotient.

Explication

Le théorème des racines affirme qu'a est racine de P si et seulement si P(a)=0, ce qui équivaut à la divisibilité de P par X−a. La divisibilité par X+a correspondrait à une racine −a, et non a.

Explication

Pour deux polynômes A et B avec B non nul, la division euclidienne donne un unique couple (Q,R) tel qu'A=BQ+R et deg(R)<deg(B). Cette unicité et l’inégalité de degré sont les éléments essentiels de la définition.

Explication

La notation f=o(g) exprime que f est négligeable devant g au voisinage considéré. En revanche, f∼g signifie que le quotient f/g tend vers 1, ce qui traduit une équivalence asymptotique plutôt qu’une simple négligeabilité.

Explication

Un développement limité à l’ordre n représente la fonction par un polynôme de degré au plus n, accompagné d’un reste négligeable devant la puissance correspondante. Il ne s’agit donc pas d’une égalité polynomiale exacte en général.

Explication

La formule de Stirling donne l’équivalent n!∼√(2πn)(n/e)^n lorsque n tend vers +∞. Les expressions proposées avec une puissance de n différente ou sans le facteur radical ne correspondent pas à cette formule.

Explication

Un sous-espace vectoriel doit contenir le vecteur nul et être stable par combinaison linéaire. Un simple sous-ensemble peut ne pas posséder ces propriétés.

Explication

Une base est à la fois une famille génératrice et libre, ce qui assure l’existence et l’unicité de la décomposition de tout vecteur. Une famille seulement génératrice peut admettre plusieurs décompositions, tandis qu’une famille seulement libre ne décrit pas nécessairement tout l’espace.

Explication

La formule de Grassmann donne [dim(F+G)=dim F+dim G-dim(F∩G)]. La dimension de l’intersection doit donc être soustraite, et non ajoutée ou remplacée par celle de la réunion.

Explication

Le théorème du rang affirme que dim(E)=dim(ker u)+rg(u) lorsqu'E est de dimension finie. L’injectivité correspond au noyau nul, tandis que la surjectivité correspond à une image égale à l’espace d’arrivée.

Explication

L’injectivité se caractérise par un noyau réduit au vecteur nul, alors que la surjectivité se caractérise par une image égale à l’espace d’arrivée. Ces deux propriétés portent donc sur des objets différents.

Explication

Une matrice carrée est inversible si et seulement si son noyau est nul, si et seulement si ses colonnes engendrent Kⁿ, si et seulement si son rang vaut n. Les colonnes engendrant Kⁿ expriment donc une condition d’inversibilité, et non de non-inversibilité.

Explication

Deux matrices carrées sont semblables lorsqu’elles représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes. La similitude concerne donc un changement de base, tandis que l’équivalence s’applique plus généralement à une application entre deux espaces.

Explication

La signature est le morphisme de groupes de Sₙ vers {−1,1} qui associe −1 à toute transposition. L’identité, en revanche, a pour signature 1, et non −1.

Explication

Le déterminant est défini par l’unique forme n-linéaire alternée prenant la valeur 1 sur la base considérée. Cette définition porte sur une famille de n vecteurs exprimés dans cette base, et non sur une forme bilinéaire.

Explication

La continuité uniforme exige qu’un même δ convienne à tous les points du domaine pour chaque ε positif. La continuité simple peut, elle, utiliser un δ dépendant du point considéré.

Explication

Pour une fonction continue par morceaux sur [a,b], les sommes de Riemann convergent vers l’intégrale lorsque le nombre de subdivisions tend vers l’infini. Cette convergence ne concerne donc pas une limite lorsque n tend vers une valeur finie.

Explication

La relation de Chasles décompose l’intégrale sur [a,b] en deux intégrales, sur [a,c] et [c,b]. Le point c sert donc de point de coupure entre les deux sous-segments.

Explication

Le nombre de p-combinaisons parmi n éléments est donné par n!/[p!(n−p)!]. La formule ne comporte donc pas seulement n!/p!, qui correspondrait à une autre opération de dénombrement.

Explication

Lorsque P(B)>0, la probabilité de A sachant B est P(A∩B)/P(B). Le dénominateur correspond à l’événement conditionnant B, tandis que P(B|A) utiliserait P(A) au dénominateur.

Explication

L’indépendance est caractérisée par P(A∩B)=P(A)P(B). L’incompatibilité correspond plutôt à P(A∩B)=0 et ne doit pas être confondue avec l’indépendance.

Explication

L’espérance d’une variable aléatoire discrète est la somme des valeurs possibles pondérées par leurs probabilités. Elle ne correspond donc pas à une somme non pondérée ni à une somme des probabilités seules.