Fiche de révision : Quadripôles et amplificateurs opérationnels

📋 Plan du Cours

1. Chaîne de mesures et conditionneurs
2. Représentation des quadripôles
3. Matrices des quadripôles
4. Associations de quadripôles
5. Fonction de transfert à vide
6. Mode commun et amplificateur opérationnel
7. Application à l’amplificateur réel

📖 1. Chaîne de mesures et conditionneurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Amplificateur opérationnel idéal : possède une impédance d’entrée différentielle infinie, un courant d’entrée nul, une tension différentielle d’entrée nulle, une impédance de sortie nulle, une amplification différentielle infinie, une bande passante infinie et un gain constant pour f ∈ [0, +∞[.

📖 2. Représentation des quadripôles

🔑 Notions clés & Définitions

• Quadripôle : Un quadripôle est un dispositif comportant deux accès, appelés accès 1 et accès 2, dont les tensions et courants d’entrée et de sortie sont reliés par des paramètres caractéristiques.

📝 Points essentiels

• Dans la convention utilisée pour les quadripôles, les courants d’entrée Ie et de sortie Is sont orientés entrants.

📖 3. Matrices des quadripôles

★ À maîtriser

📐 Formule — La matrice d’impédance vérifie $V_e=Z_{11}I_e+Z_{12}I_s$ et $V_s=Z_{21}I_e+Z_{22}I_s$, soit $[V]=[Z][I]$.

📐 Formule — La matrice d’admittance vérifie $I_e=Y_{11}V_e+Y_{12}V_s$ et $I_s=Y_{21}V_e+Y_{22}V_s$.

📐 Formule — La matrice de transmission, dans l’ordre des quadripôles, vérifie $V_e=AV_s-BI_s$ et $I_e=CV_s-DI_s$, avec $[T]=\begin{pmatrix}A&B\C&D\end{pmatrix}$.

Compléments

📐 Formule — La matrice hybride vérifie $V_e=h_{11}I_e+h_{12}V_s$ et $I_s=h_{21}I_e+h_{22}V_s$.

📐 Formule — La matrice de chaîne vérifie $V_s=aV_e-bI_e$ et $I_s=cV_e-dI_e$, avec [t]=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}.

💡 Astuce mémo

Z-Y-h-T : impédance, admittance, hybride, transmission

📖 4. Associations de quadripôles

★ À maîtriser

• Les quadripôles peuvent être associés en série, en parallèle ou en cascade, selon que les tensions, les courants ou l’ordre des dispositifs sont combinés.

Compléments

• Dans une association en cascade, le courant de sortie du premier quadripôle est lié au courant d’entrée du second par le choix de signe $I''_1=-I'_2$.

💡 Astuce mémo

Série, parallèle, puis cascade

📖 5. Fonction de transfert à vide

★ À maîtriser

📐 Formule — À vide, la fonction de transfert est définie par $H(p)=\frac{V_2}{V_1}$ avec $I_2=0$.

📐 Formule — À vide, les fonctions de transfert s’écrivent $H(p)=\frac{Z_{21}}{Z_{11}}$ pour la matrice d’impédance, $H(p)=-\frac{Y_{21}}{Y_{22}}$ pour la matrice d’admittance et $H(p)=-\frac{h_{21}}{D_h}$ pour la matrice hybride.

Compléments

📐 Formule — À vide, les fonctions de transfert s’écrivent $H(p)=\frac{1}{A}$ pour la matrice de transmission et $H(p)=\frac{D_t}{d}$ pour la matrice de chaîne.

📖 6. Mode commun et amplificateur opérationnel

★ À maîtriser

📐 Formule — La tension différentielle d’entrée est définie par $V_{ed}=V_{e2}-V_{e1}$ et la tension d’entrée en mode commun par $V_{ec}=\frac{V_{e2}+V_{e1}}{2}$.

📐 Formule — Pour un amplificateur idéal, la tension de sortie vérifie $V_s=G_d(V_{e2}-V_{e1})$, où Gd est le coefficient de proportionnalité différentiel.

📐 Formule — Le gain en tension en mode différentiel est $G_d=\frac{A_1+A_2}{2}$.

📐 Formule — Le taux de réjection en mode commun est $TRMC=2\frac{A_2+A_1}{A_2-A_1}$ et la tension de sortie vérifie $V_s=G_d\left(V_{ed}+\frac{1}{TRMC}V_{ec}\right)$.

📌 Lorsque A2 = A1, l’amplificateur est idéal du point de vue du mode commun, le TRMC devient infini et la tension de sortie est proportionnelle à Ved.

Compléments

📐 Formule — Dans un dispositif rarement symétrique, la sortie vérifie $V_s=A_2V_{e2}-A_1V_{e1}$, avec $V_{e2}=V_{ec}+\frac{V_{ed}}{2}$ et $V_{e1}=V_{ec}-\frac{V_{ed}}{2}$.

💡 Astuce mémo

Mode différentiel utile, mode commun parasite

📖 7. Application à l’amplificateur réel

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un amplificateur opérationnel idéal en montage inverseur, le gain est $T=\frac{V_s}{V_e}=-\frac{Z_2}{Z_1}$.

Compléments

• L’étude du montage inverseur réel consiste à associer plusieurs quadripôles en parallèle et en cascade, puis à exploiter leurs matrices pour déterminer le comportement global.

• L’étude en quadripôle de l’amplificateur opérationnel réel permet de représenter le montage inverseur avec les impédances Z1, Z2 et Ru.

📊 Tableaux de synthèse

Représentations matricielles