Fiche de révision : Filtres d’ordre 1 et AOP

📋 Plan du Cours

1. Impédances des blocs électroniques
2. Fonction de transfert et Bode
3. Coupure et types de filtres
4. Filtres passe-bas et passe-haut
5. Propriétés et limites des filtres
6. Structure et régimes de l’AOP
7. Modèle idéal et limites réelles
8. Mode commun et courant de sortie

📖 1. Impédances des blocs électroniques

🔑 Notions clés & Définitions

• Impédance d’entrée : L’impédance d’entrée d’un bloc correspond à ce que le montage amont ressent électriquement de la présence de ce bloc.
• Impédance de sortie : L’impédance de sortie d’un bloc influence électriquement ce que ressent le montage aval.

★ À maîtriser

📐 Formule — La tension d’entrée du second bloc vérifie $V_{e,2}=\frac{Z_{e,2}}{Z_{s,1}+Z_{e,2}}V_{s,1}$.

📌 Pour découpler deux blocs, il faut vérifier $|Z_{e,2}|\gg|Z_{s,1}|$ ; dans ce cas, si $V_{s,1}=H_1V_{e,1}$ et $V_{s,2}=H_2V_{e,2}$, alors $V_{s,2}=H_1H_2V_{e,1}$.

Compléments

• La résistance de sortie d’un GBF vaut 50 Ω, tandis que la résistance d’entrée d’un multimètre vaut environ 10 MΩ et celle d’un oscilloscope 1 MΩ.

💡 Astuce mémo

Impédance de sortie élevée → tension d’entrée aval perturbée

📖 2. Fonction de transfert et Bode

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert : Le rapport complexe entre la tension de sortie et la tension d’entrée : $T(j\omega)=\frac{v_s}{v_e}$.
• Diagramme de Bode : Le diagramme de Bode représente le gain et la phase d’une fonction de transfert en fonction de la fréquence ou de la pulsation, avec un axe des fréquences logarithmique.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le module de la fonction de transfert est le rapport des amplitudes $|T(j\omega)|=\frac{V_s}{V_e}$ et son argument est le déphasage $\arg(T(j\omega))=\varphi_s-\varphi_e$.

📐 Formule — Le gain en décibels est défini par $G_{dB}(\omega)=20\log_{10}(|T(j\omega)|)$.

💡 Astuce mémo

Gain = amplitude ; phase = décalage temporel

📖 3. Coupure et types de filtres

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence de coupure : La fréquence de coupure correspond à une division par 2 de la puissance, soit une division par $\sqrt{2}$ du module et une baisse de 3 dB du gain.
• Bande passante : La bande passante est l’intervalle de fréquences où la puissance transmise reste supérieure ou égale à la moitié de la puissance maximale, soit où le module est supérieur ou égal au maximum divisé par $\sqrt{2}$.

📝 Points essentiels

📌 Un filtre passe-bas transmet les fréquences de 0 à sa fréquence de coupure, un passe-haut celles situées au-delà de sa fréquence de coupure, un passe-bande celles comprises entre deux fréquences de coupure, et un coupe-bande rejette celles comprises entre deux fréquences de coupure.

📖 4. Filtres passe-bas et passe-haut

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordre d’un filtre : L’ordre d’un filtre est le degré du polynôme au dénominateur lorsqu’il est écrit sous forme canonique.

★ À maîtriser

📐 Formule — La fonction de transfert d’un filtre passe-bas d’ordre 1 est $T(j\omega)=\frac{A_0}{1+j\omega/\omega_0}$, où $A_0$ est le gain statique et $\omega_0$ la pulsation propre.

📐 Formule — La fonction de transfert d’un filtre passe-haut d’ordre 1 est $T(j\omega)=\frac{A_0j\omega/\omega_0}{1+j\omega/\omega_0}$.

Compléments

• À basse fréquence, le passe-haut a une pente de +20 dB par décade et une phase de +π/2, tandis qu’à haute fréquence son gain vaut 20 log(A0) et sa phase tend vers zéro.

💡 Astuce mémo

Passe-bas : graves conservées ; passe-haut : aigus conservées

📖 5. Propriétés et limites des filtres

★ À maîtriser

📌 Un filtre est passif si $A_0=1$ et actif si $A_0\neq1$.

• Pour tout filtre d’ordre 1, la fréquence de coupure est égale à la fréquence propre : $f_c=f_0$ et $\omega_c=\omega_0$.

Compléments

• Les pentes asymptotiques d’un filtre d’ordre 1 valent toujours ±20 dB par décade, soit ±6 dB par octave lorsqu’on double la fréquence.

• Les filtres d’ordre 1 sont toujours stables et ne présentent pas de phénomène de résonance.

• Les filtres d’ordre 1 sont limités par leur pente d’atténuation de ±20 dB par décade, leur association en passe-bande souvent trop large et le fait que de nombreux systèmes réels sont d’ordre 2.

📖 6. Structure et régimes de l’AOP

🔑 Notions clés & Définitions

• Amplificateur opérationnel : L’amplificateur opérationnel est un composant actif alimenté électriquement, possédant une entrée non-inverseuse V+, une entrée inverseuse V− et une sortie Vs.

★ À maîtriser

📐 Formule — En posant $\varepsilon=V^+-V^-$, l’AOP est en régime linéaire si $|\varepsilon|<V_{sat}/A_0$ et sa sortie vérifie $V_s=A_0\varepsilon$.

📌 L’AOP est en saturation positive si $\varepsilon>V_{sat}/A_0$, avec $V_s=+V_{sat}$, et en saturation négative si $\varepsilon<-V_{sat}/A_0$, avec $V_s=-V_{sat}$.

Compléments

• La modélisation complète comprend:

  • les courants de polarisation i+ et i−
  • le courant de sortie is
  • la résistance d’entrée différentielle Re
  • la résistance de sortie Rs

• Le gain statique réel d’un AOP est très élevé, de l’ordre de 10^5 pour un TL082, ce qui place le changement de régime autour de ε=±0,1 mV.

💡 Astuce mémo

ε positif → saturation positive ; ε négatif → saturation négative

📖 7. Modèle idéal et limites réelles

★ À maîtriser

📌 Dans le modèle idéal, la résistance d’entrée est infinie, les courants d’entrée sont nuls, la résistance de sortie est nulle et le gain est infini.

📐 Formule — En régime linéaire, l’AOP réel se comporte comme un filtre passe-bas du premier ordre : $T(\omega)=\frac{V_s}{\varepsilon}=\frac{A_0}{1+j\omega/\omega_0}$.

📌 Le régime linéaire d’un AOP réel est atteint lorsque $|\varepsilon|$ reste inférieur à 0,1 mV, notamment grâce à une rétroaction négative.

Compléments

• Pour un TL082, la pulsation propre de l’AOP vaut environ 100 rad/s et sa fréquence de coupure est de l’ordre de 10 Hz.

💡 Astuce mémo

Rétroaction négative → ε faible → régime linéaire

📖 8. Mode commun et courant de sortie

🔑 Notions clés & Définitions

• Slew-rate : Le slew-rate est la vitesse maximale de variation de la sortie d’un AOP, exprimée en V/s ou en V/µs, et il limite la fréquence ou l’amplitude du signal de sortie.

★ À maîtriser

📐 Formule — La tension de sortie en présence de mode commun vérifie $V_s=A_dV_d+A_{mc}V_{mc}$, avec $V_d=V^+-V^-$ et $V_{mc}=\frac{V^++V^-}{2}$.

• Chaque AOP possède un courant de saturation de sortie isat au-delà duquel il ne peut plus délivrer de courant ; pour les AOP utilisés en TP, ce courant est typiquement de quelques dizaines de mA.

Compléments

• Même lorsque la même tension est appliquée aux deux entrées, la sortie réelle peut être non nulle en régime linéaire à cause de la non-symétrie de fabrication et des capacités parasites.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des filtres d’ordre 1