Fiche de révision : Racines carrées

📋 Plan du Cours

1. Définition et propriétés fondamentales
2. Carrés parfaits et approximations
3. Extraction manuelle et méthode de Héron
4. Racines d’un produit et d’un quotient
5. Racine carrée d’une puissance
6. Sommes et différences de radicaux
7. Comparaison d’expressions radicales
8. Rationalisation des dénominateurs
9. Équations du type x² égal a

📖 1. Définition et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Nombre réel positif dont le carré est a, noté $\sqrt{a}$.
• Condition d’existence : La racine carrée $\sqrt{a}$ existe dans les réels si et seulement si $a\ge 0$.

★ À maîtriser

📌 Pour $a\ge 0$, on a $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$ et $\sqrt{a^2}=|a|$.

Compléments

📌 Pour $a\ge 0$, l’égalité $\sqrt{a}=b$ équivaut à $b^2=a$ et $b\ge 0$.

• Les racines carrées de 9, 16, 121, 0,49 et $\frac{36}{81}$ sont respectivement 3, 4, 11, 0,7 et $\frac{2}{3}$.

💡 Astuce mémo

Aire du carré versus nombre positif dont le carré vaut a

📖 2. Carrés parfaits et approximations

🔑 Notions clés & Définitions

• Carré parfait : Entier naturel dont la racine carrée est un entier naturel.

★ À maîtriser

• Les carrés parfaits compris entre 0 et 20 sont 0, 1, 4, 9 et 16.

📌 La racine carrée exacte d’un entier non carré parfait ne peut pas être calculée sous forme décimale finie, car elle est irrationnelle.

Compléments

• Pour approcher une racine carrée à la main, on encadre d’abord le nombre entre deux carrés, puis on affine progressivement l’encadrement avec des décimaux.

💡 Astuce mémo

Encadrer, affiner, moyenner

📖 3. Extraction manuelle et méthode de Héron

★ À maîtriser

• 🔄 La méthode d’extraction manuelle consiste à:

  1. Découper le nombre en tranches de deux chiffres
  2. Choisir le plus grand chiffre compatible
  3. Soustraire le carré ou le produit correspondant
  4. Abaisser la tranche suivante
  5. Répéter jusqu’à la précision souhaitée

• Dans la méthode de Héron, à partir d’une approximation initiale $x_0$ de $\sqrt{a}$, on calcule $x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$ jusqu’à obtenir la précision souhaitée.

Compléments

• Pour approcher $\sqrt{60}$ avec $x_0=8$, on obtient $x_1=7{,}5$ puis $x_2=7{,}75$.

💡 Astuce mémo

Trancher, doubler, choisir, abaisser

📖 4. Racines d’un produit et d’un quotient

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tous réels positifs a et b, $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$.

• Pour simplifier $\sqrt{n}$, on cherche le plus grand carré parfait qui divise n, puis on extrait sa racine carrée.

📐 Formule — Pour a réel positif et b réel strictement positif, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Compléments

• On simplifie $\sqrt{72}$ en $\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}$.

💡 Astuce mémo

Produit et quotient se séparent sous le radical, somme et différence non

📖 5. Racine carrée d’une puissance

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a réel positif et n entier, $\sqrt{a^n}=a^{n/2}$, avec une simplification différente selon la parité de n.

📌 Pour un exposant pair, $\sqrt{a^{2k}}=a^k$.

📌 Pour un exposant impair positif, $\sqrt{a^{2k+1}}=a^k\sqrt{a}$.

Compléments

• On a $\sqrt{7^5}=7^2\sqrt{7}=49\sqrt{7}$.

💡 Astuce mémo

Exposant pair : moitié ; exposant impair : facteur restant

📖 6. Sommes et différences de radicaux

★ À maîtriser

📌 En général, $\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b$ et $\sqrt{a-b}\ne\sqrt a-\sqrt b$.

📌 Dans une somme de radicaux, on peut seulement additionner ou soustraire les termes qui possèdent des racines carrées identiques.

Compléments

📌 De même, $\sqrt{a^2+b^2}\ne a+b$ et $\sqrt{a^2-b^2}\ne a-b$ en général.

• On simplifie $8\sqrt{5}-2\sqrt{2}+2\sqrt{5}=10\sqrt{5}-2\sqrt{2}$.

💡 Astuce mémo

Les radicaux identiques s’additionnent, les radicaux différents non

📖 7. Comparaison d’expressions radicales

★ À maîtriser

📌 Pour a et b réels positifs, $a\le b$ si et seulement si $\sqrt a\le\sqrt b$.

• Pour comparer deux expressions radicales positives, on peut comparer leurs carrés, car la fonction carré conserve l’ordre sur les nombres positifs.

Compléments

• Pour comparer $\sqrt7$ et $4\sqrt3$, on compare leurs carrés 7 et 48, donc $\sqrt7<4\sqrt3$.

• Comme $\sqrt{2}-5<0$ et $\sqrt2>0$, on a $\sqrt2-5<\sqrt2$.

💡 Astuce mémo

Positivité → élévation au carré possible → comparaison

📖 8. Rationalisation des dénominateurs

★ À maîtriser

• Rationaliser un dénominateur consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par une expression qui supprime le radical du dénominateur.

📌 Pour un dénominateur de la forme $\sqrt b$, on amplifie par $\sqrt b$ afin d’obtenir un dénominateur égal à b.

📌 Pour un dénominateur de la forme $u+v$ ou $u-v$ contenant des radicaux, on utilise l’expression conjuguée afin d’appliquer une différence de deux carrés.

Compléments

• On rationalise $\frac{4}{\sqrt5}$ en $\frac{4\sqrt5}{5}$.

💡 Astuce mémo

Le radical du dénominateur est chassé par son facteur ou son conjugué

📖 9. Équations du type x² égal a

★ À maîtriser

📌 L’équation $x^2=a$ admet deux solutions distinctes $x=\sqrt a$ et $x=-\sqrt a$ si $a>0$.

📌 L’équation $x^2=0$ admet l’unique solution $x=0$.

📌 L’équation $x^2=a$ n’admet aucune solution réelle si $a<0$, car un carré est toujours positif ou nul.

Compléments

• Pour résoudre une équation comme $(x+2)^2=7$, on prend la racine carrée avec les deux signes, puis on isole x, ce qui donne $x=-2\pm\sqrt7$.

• L’équation $x^2+4x+7=0$ est impossible dans les réels, car elle se réécrit $(x+2)^2+3=0$.

💡 Astuce mémo

a positif : deux solutions ; a nul : une ; a négatif : aucune

📊 Tableaux de synthèse

Nombre de solutions de x² = a