Fiche de révision : Résolution d'équations différentielles linéaires

📋 Plan du Cours

1. Définition et résolution d’une équation différentielle
2. Solutions et démonstration de la forme générale de y′ = ay
3. Résolution d’équations y′ = ay avec conditions initiales et propriétés des solutions
4. Résolution d’équations différentielles linéaires du premier ordre y′ = ay + b
5. Utilisation des conditions initiales pour déterminer la solution particulière de y′ = ay + b
6. Exemple d’équation y′ = 3y + 2x − 3 et détermination d’une solution particulière
7. Déduction de l’ensemble des solutions à partir d’une solution particulière pour y′ = ay + h

📖 1. Définition et résolution d’une équation différentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• L'équation différentielle 𝑦′ : Une équation dans laquelle l'inconnue est une fonction 𝑦 et où interviennent sa dérivée première 𝑦′.

📝 Points essentiels

• Résoudre une équation différentielle consiste à trouver toutes les fonctions solutions de cette équation.
• Vérifier qu’une fonction donnée est solution d’une équation différentielle consiste à vérifier que sa dérivée satisfait l’équation.

💡 À retenir

Une équation différentielle relie une fonction à sa dérivée, et résoudre cette équation revient à identifier toutes les fonctions compatibles avec cette relation.

📖 2. Solutions et démonstration de la forme générale de y′ = ay

🔑 Notions clés & Définitions

• 𝑦’ − 4𝑦 + 3 : Exemple 4- Soit (E) : 𝑦’ − 4𝑦 + 3 = 0 On peut écrire (E) sous la forme 𝑦’
• Démonstration propriété : 3/3 *Démonstration propriété 3 ( à lire en autonomie): (1) Soit 𝑓(𝑥) = 𝑘 où 𝑘est un réel.

📝 Points essentiels

• La propriété d’additivité et d’homogénéité affirme que la somme et le produit par un scalaire de solutions de y' = ay sont aussi des solutions.
• (𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥))′ = 𝑔′(𝑥) − 𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥) + 𝑏 − (𝑎𝑓(𝑥) + 𝑏) = 𝑎(𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)) La fonction 𝑔 − 𝑓est solution de l’équation 𝑦′ = 𝑎𝑦, d’après la propriété 1, on a : (𝑔 − 𝑓)(𝑥) = Ce𝑎𝑥où C est un réel soit 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + Ce𝑎𝑥soit 𝑔(𝑥) = Ce𝑎𝑥 − 𝑏 𝑎 On vérifie que 𝑔(𝑥) = Ce𝑎𝑥 − 𝑏 𝑎 est bien solution de 𝑦′ = 𝑎𝑦 + 𝑏 et on en déduit que l’ensemble des solutions de 𝑦′ = 𝑎𝑦 + 𝑏 est l’ensemble des fonctions 𝑓définies su rℝ par 𝑓(𝑥) = Ce𝑎𝑥 − 𝑏 𝑎 où C est un réel.

💡 À retenir

La propriété d’additivité et d’homogénéité affirme que la somme et le produit par un scalaire de solutions de y' = ay sont aussi des solutions.

📖 3. Résolution d’équations y′ = ay avec conditions initiales et propriétés des solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Exercices : Exercice 1+ n° 37, 39, 42 p 305, n° 106, 108 p 308, en autonomie : n°141 et 142 p 313 2.

📝 Points essentiels

• Il existe une infinité de solutions pour y′ = ay, chacune correspondant à une valeur différente de C.
• ✓ Déterminer la solution particulière d’une équation différentielle du type 𝑦’= 𝑎𝑦 ou 𝑦’= 𝑎𝑦+h lorsqu’on donne une condition initiale.

💡 À retenir

Une condition initiale unique permet de sélectionner une solution particulière parmi l'ensemble infini des solutions exponentielles de l'équation y′= ay, en fixant la valeur de la fonction à un point donné.

📖 4. Résolution d’équations différentielles linéaires du premier ordre y′ = ay + b

🔑 Notions clés & Définitions

• L’équation 𝑦’ : Équation différentielle où la dérivée première de la fonction y est égale à une combinaison linéaire de y et d'un terme constant, avec des coefficients qui ne dépendent pas de la variable indépendante.
• Donner une solution de cette : Donner une solution de cette équation.

📝 Points essentiels

• L’équation y′ = ay + b admet une solution constante particulière y = -b/a.
• Cette équation est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

💡 À retenir

L'ajout d'un terme constant b modifie la solution générale en une somme d’une solution constante particulière et d’une solution exponentielle.

📖 5. Utilisation des conditions initiales pour déterminer la solution particulière de y′ = ay + b

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

• Pour y′ = ay + b, une condition initiale y(x_0) = y_0 détermine une unique solution particulière.
• Il existe une unique solution vérifiant la condition initiale donnée.
• Cependant, on va souvent trouver dans les exercices une condition dite initiale que la solution devra remplir ce qui amènera à déterminer la constante C.
• La solution constante est 𝑓(𝑥) = − 𝑏 𝑎.

💡 À retenir

La condition initiale fixe précisément la solution particulière dans le cadre des équations linéaires du premier ordre avec terme constant.

📖 6. Exemple d’équation y′ = 3y + 2x − 3 et détermination d’une solution particulière

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle : relation mathématique qui lie une fonction inconnue y(x) à ses dérivées, ici sous la forme y′ = 3y + 2x − 3. Elle est dite non homogène en raison de la présence du terme en x dans le second membre, ce qui empêche la solution de se limiter à une solution de l’équation homogène associée.

• Solution particulière : fonction spécifique qui vérifie une équation différentielle non homogène, distincte de la solution générale. Elle permet d’intégrer la contribution du second membre non homogène dans la solution globale.

• Méthode de détermination d’une solution particulière : procédé permettant de trouver une fonction qui satisfait l’équation non homogène. Elle peut reposer sur l’identification d’une solution connue ou sur l’essai de fonctions adaptées au second membre, en particulier lorsque celui-ci est polynomial, exponentiel ou trigonométrique.

📝 Points essentiels

• La fonction g(x) = - (2/3)x + 7/9 constitue une solution particulière de l’équation y′ = 3y + 2x − 3. Cela signifie que si l’on remplace y par g(x) dans l’équation, l’égalité est vérifiée. La détermination de cette solution particulière peut s’effectuer par identification, c’est-à-dire en cherchant une fonction dont la dérivée et la forme correspondent au second membre, ou par essai de fonctions adaptées, notamment lorsque le second membre est un polynôme.

• La solution générale de l’équation différentielle s’écrit comme la somme d’une solution particulière et d’une solution de l’équation homogène associée y′ = 3y. La solution homogène est trouvée en résolvant l’équation sans le second membre, ce qui donne une famille de solutions de la forme C·e^{3x}, où C est une constante arbitraire.

• La détermination d’une solution particulière peut se faire par identification, en proposant une fonction de même forme que le second membre (ici un polynôme en x), ou par essai de fonctions adaptées, en vérifiant si leur dérivée et leur expression permettent de satisfaire l’équation. Dans cet exemple, la fonction g(x) = - (2/3)x + 7/9 a été vérifiée comme solution particulière, illustrant cette méthode.

💡 À retenir

Pour résoudre une équation différentielle non homogène avec un second membre polynomial, il est efficace d’essayer une fonction polynomiale de degré approprié. La solution particulière ainsi trouvée, combinée à la solution de l’équation homogène, permet d’obtenir la solution générale complète.

📖 7. Déduction de l’ensemble des solutions à partir d’une solution particulière pour y′ = ay + h

🔑 Notions clés & Définitions

Pour tout réel, la solution d’une équation différentielle linéaire non homogène de la forme y′ = ay + h peut s’écrire comme la somme d’une solution particulière de cette équation et de la famille de solutions de l’équation homogène associée y′ = ay. La solution particulière, notée f₀, est une fonction spécifique qui vérifie l’équation y′ = ay + h. La famille complète des solutions est caractérisée par une constante réelle C, qui peut prendre n’importe quelle valeur, et qui permet de décrire toutes les solutions possibles.

📝 Points essentiels

• L’ensemble des solutions de l’équation y′ = ay + h est donné par la formule y(x) = Ce^{ax} + f₀(x), où f₀ est une solution particulière de l’équation. La fonction g(x) - f₀(x) constitue une solution de l’équation homogène y′ = ay. En effet, si f₀ est une solution particulière, alors en soustrayant cette solution de toute autre solution g(x), la différence g(x) - f₀(x) satisfait l’équation homogène y′ = ay. La constante C, qui appartient à l’ensemble des réels, détermine la famille complète des solutions, chaque valeur de C correspondant à une solution différente.

💡 À retenir

Toute solution d’une équation différentielle linéaire non homogène peut s’écrire comme la somme d’une solution particulière et de la famille de solutions de l’équation homogène associée, ce qui permet de déduire l’ensemble complet des solutions à partir d’une seule solution particulière.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre solution particulière et solution générale : la solution particulière ne contient pas la constante C.
2. Oublier que la solution générale d’une équation linéaire du premier ordre est la somme d’une solution particulière et de la famille exponentielle.
3. Négliger la vérification que la fonction proposée est bien une solution en substituant dans l’équation.
4. Confondre l’équation homogène associée et l’équation non homogène.
5. Mal appliquer la méthode d’essai pour une solution particulière, notamment pour les termes polynomiaux.
6. Oublier que la condition initiale permet de déterminer la constante C dans la famille des solutions.
7. Ignorer que pour une équation y′= ay + b, la solution constante particulière est y= -b/a.

✅ Checklist Examen

• Définir une équation différentielle et expliquer ce qu’elle relie.
• Expliquer comment vérifier qu’une fonction est solution d’une équation différentielle.
• Décrire la forme générale de la solution de y′= ay.
• Expliquer la propriété d’additivité et d’homogénéité pour ces solutions.
• Décrire comment résoudre l’équation y′= ay + b en trouvant une solution particulière.
• Expliquer comment utiliser une condition initiale pour déterminer une solution particulière.
• Donner un exemple d’équation y′= 3y + 2x − 3 et expliquer comment déterminer une solution particulière.
• Définir ce qu’est une solution particulière pour une équation non homogène.
• Expliquer comment déduire l’ensemble des solutions à partir d’une seule solution particulière pour y′= ay + h.
• Connaître les pages de référence pour les exercices mentionnés (p 305, 308, 313).
• Savoir que toute solution de y′= ay + h peut s’écrire comme somme d’une solution particulière et d’une famille exponentielle.
• Vérifier que la fonction proposée comme solution particulière satisfait bien l’équation donnée.