Fiche de révision : Sections d'une sphère et cercles associés

📋 Plan du Cours

1. Section plane d’une sphère
2. Rayon du cercle de section
3. Grand cercle et tangence

📖 1. Section plane d’une sphère

🔑 Notions clés & Définitions

• Section plane : Intersection d’une sphère par un plan, décrite comme une figure dans ce plan.
• Cercle de section : Forme obtenue quand un plan coupe une sphère : la section est un cercle situé dans le plan.

📝 Points essentiels

• La section d’une sphère par un plan qui coupe la sphère est un cercle.
• La section de la sphère S par le plan P est le cercle du plan P, de centre H et de rayon r.

📖 2. Rayon du cercle de section

🔑 Notions clés & Définitions

• Rayon r du cercle de section : Longueur du segment joignant le centre H d’un cercle de section à un point du cercle.
• Distance OH : Distance entre le point O (centre de la sphère) et le point H (centre du cercle de section).

📝 Points essentiels

• En notant R le rayon de la sphère, on a $r=\sqrt{R^2-OH^2}$ via le triangle $OHM$ rectangle en H.
• Si le plan passe à la distance $OH=R$ du centre O, alors on obtient $r=0$ et H est l’unique point commun.

📖 3. Grand cercle et tangence

🔑 Notions clés & Définitions

• Grand cercle : Cercle d’une sphère obtenu quand un plan passe par le centre de la sphère.
• Plan tangent à la sphère : Plan qui touche la sphère en un seul point, sans la couper.

📝 Points essentiels

• Si le plan de section passe par le centre de la sphère, la section est un grand cercle de rayon R.
• Si $OH=R$, alors H est le seul point commun au plan P et à la sphère S, et le plan est tangent à la sphère en H.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le cas où le plan coupe la sphère (cercle de rayon $r>0$) avec le cas tangent (un seul point commun).
2. Oublier que la formule $r=\sqrt{R^2-OH^2}$ utilise $OH$ comme distance entre centres O et H.
3. Dire qu’un plan passant par le centre donne toujours un petit cercle au lieu d’un grand cercle de rayon R.
4. Penser que la tangence correspond à $OH=0$ plutôt qu’à $OH=R$ dans le schéma du cours.
5. Croire que le centre H du cercle de section est un point quelconque : c’est le centre du cercle obtenu dans le plan P.

✅ Checklist Examen

1. Savoir énoncer que la section d’une sphère par un plan qui coupe la sphère est un cercle.
2. Identifier la description de la section : cercle dans le plan P, de centre H et de rayon r.
3. Calculer le rayon du cercle de section à partir de $R$ et $OH$ en utilisant $r=\sqrt{R^2-OH^2}$.
4. Reconnaître le cas particulier $OH=R$ comme donnant une unique intersection en H.
5. Savoir dire que si le plan passe par le centre O, la section est un grand cercle de rayon R.
6. Relier le cas $OH=R$ à la notion de tangence et conclure que le plan est tangent en H.