Fiche de révision : Signaux et dipôles électriques

📋 Plan du Cours

1. Électronique et systèmes audio
2. Transmission radio et modulation
3. Alimentations et régulation linéaire
4. Grandeurs et modèles des circuits
5. Mesure et référence des tensions
6. Classification, périodicité et représentation fréquentielle des signaux
7. Valeur efficace des signaux périodiques
8. Puissance et énergie électriques
9. Décibels et niveaux de puissance
10. Distorsion harmonique des signaux
11. Dipôles, caractéristiques électriques et modèles linéaires actifs ou passifs
12. Dipôles non linéaires et fonctionnement

📖 1. Électronique et systèmes audio

🔑 Notions clés & Définitions

• Électronique : Étude et utilisation du courant électrique dans le vide, les gaz ou les semi-conducteurs, notamment pour créer et former des signaux électriques et des supports d’information.
• Impédance : Mesure l’opposition d’un circuit électrique au passage d’un courant alternatif.

📝 Points essentiels

• Un système audio comprend notamment un microphone, un amplificateur et un haut-parleur.

📐 Formule - Sans amplificateur, la tension aux bornes du haut-parleur vérifie $V_{HP}=e_{micro}\frac{Z_{HP}}{Z_{HP}+R_{micro}}$.

• Dans l’exemple audio, l’impédance du microphone est de 600 Ω et celle du haut-parleur de 8 Ω.

📖 2. Transmission radio et modulation

★ À maîtriser

• Un amplificateur audio est favorablement adapté lorsque son impédance de sortie est très inférieure à celle du haut-parleur, son gain est grand et son impédance d’entrée très supérieure à celle du microphone.

• Le préamplificateur présente une forte impédance d’entrée, un gain et éventuellement des corrections par filtres, tandis que l’amplificateur de puissance présente une faible impédance de sortie et un gain unitaire.

• La modulation déplace le signal audio vers les hautes fréquences afin de permettre la transmission radio et le partage du milieu de transmission entre plusieurs dispositifs.

Compléments

• La bande passante audio citée en exemple est de 20 Hz à 20 kHz.

📌 La transmission hertzienne nécessite des antennes de dimension approximativement égale à un quart de la longueur d’onde, soit 75 km à 1 kHz.

• La modulation d’amplitude s’obtient en décalant le signal à transmettre puis en le multipliant par une porteuse haute fréquence, ce qui déplace son spectre autour de celui de la porteuse.

📌 La modulation AM est simple à réaliser mais très sensible aux parasites et aux bruits, tandis que la modulation FM fait varier la fréquence de la porteuse selon le signal modulant, résiste mieux aux parasites et aux bruits, mais occupe davantage le spectre et nécessite une circuiterie plus complexe.

• La bande de radiodiffusion FM indiquée est de 88 à 108 MHz.

💡 Astuce mémo

AM multiplie la porteuse ; FM en fait varier la fréquence.

📖 3. Alimentations et régulation linéaire

★ À maîtriser

• Un pont diviseur résistif alimenté par une pile d’environ 9 V peut fournir 3,3 V à vide, mais la tension baisse et dépend de l’activité de la charge lorsque celle-ci consomme un courant variable.

• Le pont diviseur est pratiquement inapplicable comme alimentation, sauf si le courant consommé est constant et connu.

• Les régulateurs linéaires sont, tandis que les régulateurs à découpage offrent un meilleur rendement et sont étudiés en conversion d’énergie.

Compléments

• Les circuits électroniques tirent leur énergie de sources continues dont les tensions peuvent différer, par exemple quelques dizaines de volts pour un amplificateur audio de puissance et 3,3 V ou 5 V pour des composants numériques.

• Les commutations d’une porte logique provoquent des impulsions de courant de plusieurs dizaines de milliampères, et son courant moyen dépend de son activité.

📐 Formule - La tension de charge du pont diviseur s’écrit $V_{alim}(t)=3.3\,\mathrm{V}-(R_1\parallel R_2)i(t)$.

📌 Diminuer les résistances du pont diviseur limite la chute de tension, mais entraîne une forte dissipation thermique.

📌 Une capacité de découplage, toujours nécessaire, réduit les discontinuités de tension, mais la tension d’alimentation moyenne reste inférieure à 3,3 V et dépend de l’activité de la porte.

💡 Astuce mémo

Courant variable → chute de tension → alimentation instable.

📖 4. Grandeurs et modèles des circuits

★ À maîtriser

📌 En électronique basse fréquence, on considère surtout le courant I et la tension V lorsque les dimensions du circuit sont très petites devant la longueur d’onde.

📌 Un modèle à constantes localisées convient lorsque les dimensions du circuit sont très petites devant la longueur d’onde, tandis qu’un modèle à constantes réparties est nécessaire sinon.

Compléments

• En tout point d’un circuit électronique, le signal comprend les grandeurs électromagnétiques E, H, I et V, liées par les équations de Maxwell et les relations constitutives des milieux.

📐 Formule - La longueur d’onde vérifie $\lambda=\frac{c}{f}$.

• À 10 MHz, la longueur d’onde est de 30 m, et à 1 GHz, elle est de 30 cm.

📌 Dans le modèle à constantes localisées, un fil sans impédance constitue une équipotentielle.

📌 Dans une branche série, le courant est identique en tout point de la branche.

📖 5. Mesure et référence des tensions

🔑 Notions clés & Définitions

• Tension : La différence de potentiel $V_{AB}=V_A-V_B$.
• Masse : Un point du montage choisi comme référence pour les potentiels.

📝 Points essentiels

📌 Les conducteurs externes des voies A et B d’un oscilloscope coaxial et de son entrée de synchronisation externe sont reliés ensemble ; il est donc judicieux de choisir ce point commun comme masse du montage mesuré.

📌 Pour mesurer la caractéristique courant-tension d’un dipôle à l’oscilloscope en mode X-Y, on applique la tension du dipôle à la voie A et la tension aux bornes d’une résistance, proportionnelle au courant, à la voie B ; les masses du GBF et de l’oscilloscope doivent être flottantes l’une par rapport à l’autre.

📖 6. Classification, périodicité et représentation fréquentielle des signaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Signal périodique : Se reproduit à l’identique à intervalles de temps réguliers de durée T.

★ À maîtriser

📌 Un signal déterministe est connu a priori, par exemple par une loi mathématique, tandis qu’un signal aléatoire n’est connu qu’a posteriori après enregistrement, comme un bruit ou un signal informatif.

• Un signal périodique se décompose en une somme infinie de fonctions sinusoïdales selon la série de Fourier.

📐 Formule - La décomposition de Fourier d’un signal périodique s’écrit $V(t)=V_0+\sum_{k=1}^{+\infty}V_k\cos(k\omega t+\phi_k)$, où V_0 est la composante continue, V_k l’amplitude harmonique de rang k et $\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$.

Compléments

• La période T est la durée d’un motif élémentaire, et la fréquence f est le nombre de répétitions de ce motif par seconde, exprimé en hertz.

📐 Formule - La fréquence et la période sont liées par $f=\frac{1}{T}$.

• Un signal non périodique d’énergie finie peut être représenté par une décroissance exponentielle, par exemple $V(t)=V_0e^{-t/T}$ pour t > 0.

📐 Formule - La composante continue est la valeur moyenne du signal sur une période : $V_0=\langle V\rangle=\frac{1}{T}\int_{\tau}^{\tau+T}V(t)\,dt$.

• Dans la série de Fourier, le rang 1 est le fondamental et les rangs supérieurs sont les harmoniques ; les représentations temporelle et spectrale donnent la même information.

📖 7. Valeur efficace des signaux périodiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur quadratique moyenne : La valeur quadratique moyenne, ou valeur efficace, d’un signal périodique est la valeur d’un signal continu qui dissipe la même puissance dans une résistance.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un signal périodique de période $T$, $V_{\mathrm{eff}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{\tau}^{\tau+T}V^2(t)\,dt}$.

Compléments

📐 Formule - Pour un signal périodique décomposé en série de Fourier, $V_{\mathrm{eff}}^2=V_0^2+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}V_k^2$.

📐 Formule - Pour une sinusoïde pure d’amplitude $A$, la valeur efficace est $V_{\mathrm{eff}}=\frac{A}{\sqrt{2}}$.

• Dans le signal $V_A(t)=V_0+V_M\cos(\omega t+\phi)$, $V_0$ est la composante continue, $v_a(t)=V_A(t)-V_0$ la composante alternative, $V_a$ sa valeur efficace et $v_a=V_Me^{j\phi}$ son amplitude complexe.

📖 8. Puissance et énergie électriques

★ À maîtriser

📐 Formule - En notations réelles, la puissance instantanée cédée au dipôle est $p(t)=v(t)i(t)$.

📐 Formule - L’énergie dissipée entre $t_0$ et $t_1$ est $E_{t_0\to t_1}=\int_{t_0}^{t_1}p(t)\,dt$.

📐 Formule - Pour des tensions et courants sinusoïdaux de même pulsation, la puissance moyenne vaut $P=V_{\mathrm{eff}}I_{\mathrm{eff}}\cos\phi=\frac{V_0I_0}{2}\cos\phi=\frac{1}{2}\Re(vi^*)$.

Compléments

📐 Formule - La puissance moyenne entre $t_0$ et $t_1$ est $P_{t_0\to t_1}=\frac{E_{t_0\to t_1}}{t_1-t_0}$.

• Pour un signal périodique de période $T$, la puissance moyenne est la puissance moyenne calculée sur n’importe quelle période.

📐 Formule - Pour un signal non périodique, la puissance moyenne est $P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}p(t)\,dt$.

• Par extension, pour deux signaux périodiques de même période, la puissance moyenne est considérée comme la somme des puissances portées par chaque harmonique.

📖 9. Décibels et niveaux de puissance

🔑 Notions clés & Définitions

• Décibel : Le décibel exprime à la base un rapport de deux puissances selon $10\log_{10}(P_0/P_1)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour deux tensions sinusoïdales mesurées dans une même résistance, leur rapport de puissance en décibels vaut $20\log_{10}(V_0/V_1)$.

• Un rapport de puissances de 1000 correspond à 30 dB, tandis qu’un rapport de 0,001 correspond à −30 dB.

• Les niveaux de puissance sont 30 dBm = 1 W, 0 dBm = 1 mW et −90 dBm = 1 pW.

📐 Formule - Les niveaux référencés au watt et au milliwatt sont $P_{\mathrm{dBW}}=10\log_{10}(P/1\,\mathrm{W})$ et $P_{\mathrm{dBm}}=10\log_{10}(P/1\,\mathrm{mW})$.

📖 10. Distorsion harmonique des signaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Distorsion harmonique : La distorsion harmonique caractérise la linéarité ou la non-linéarité d’un circuit à partir des composantes harmoniques de son signal de sortie.

★ À maîtriser

• Une entrée sinusoïdale de pulsation $\omega$ produit en sortie un signal périodique de période $2\pi/\omega$, qui n’est pas nécessairement sinusoïdal.

📌 Si au moins une harmonique de rang $k>1$ est présente dans le signal de sortie, celui-ci est distordu et le circuit est non linéaire.

Compléments

• La composante continue $V_0$ de la sortie peut être éliminée par un filtrage passe-haut et n’est pas considérée comme gênante dans l’analyse de la distorsion.

📐 Formule - Le THD en puissance est le rapport de la puissance des harmoniques de rang $k>1$ à celle du signal débarrassé de sa composante continue, soit $\mathrm{THD}=\frac{\sum_{k=2}^{\infty}V_k^2}{\sum_{k=1}^{\infty}V_k^2}$.

• Le THD peut aussi être exprimé comme le rapport des tensions efficaces des mêmes signaux ; il s’exprime en décibels avec $10\log_{10}$ pour le rapport de puissances et $20\log_{10}$ pour le rapport de tensions.

📖 11. Dipôles, caractéristiques électriques et modèles linéaires actifs ou passifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle : Un dipôle est un composant électrique muni de deux bornes de connexion.

★ À maîtriser

📌 Les conventions générateur et récepteur fixent les sens de référence des tensions et courants et ne déterminent pas la fonction réelle du dipôle.

• Un dipôle linéaire passif possède une caractéristique courant-tension linéaire passant par l’origine.

• Un dipôle linéaire actif possède une caractéristique affine ; ses représentations de Thévenin et de Norton décrivent respectivement une source de tension avec résistance interne et une source de courant avec conductance interne.

Compléments

• Les dipôles peuvent être linéaires ou non linéaires et sont représentés par leur caractéristique courant-tension $i(v)$.

📐 Formule - En convention récepteur, une résistance pure vérifie $v=Ri$ et un condensateur vérifie $i=C\frac{dv}{dt}$, soit $i=j\omega Cv$ en régime sinusoïdal.

📐 Formule - En convention récepteur, une inductance vérifie $v=L\frac{di}{dt}$, soit $v=j\omega Li$ en régime sinusoïdal.

📐 Formule - Dans le modèle de Thévenin, $v=e-Ri$ ; dans le modèle de Norton, $i=I_0-Gv$, avec $I_0=E/R$ et $G=1/R$.

📌 Les équivalences de Thévenin et de Norton ne sont valables que vues de l’extérieur du dipôle et lorsque $R$ et $G$ sont non nuls ; $R=0$ correspond à une source idéale de tension et $G=0$ à une source idéale de courant.

💡 Astuce mémo

Thévenin fixe la tension et laisse varier le courant ; Norton fixe le courant et laisse varier la tension.

📖 12. Dipôles non linéaires et fonctionnement

🔑 Notions clés & Définitions

• Point de fonctionnement : Le point de fonctionnement d’un circuit est l’intersection des caractéristiques des dipôles associés, dont au moins un est actif.
• Fonctionnement petit signal : Le fonctionnement petit signal étudie une faible variation autour d’un point de fonctionnement continu en linéarisant la caractéristique du dipôle non linéaire.

📝 Points essentiels

• Une diode à semi-conducteurs peut être idéalisée par un modèle à segments avec un seuil d’environ 0,6 V ou par une diode idéale sans seuil.

• Une caractéristique non linéaire de source peut comporter une zone où la tension reste approximativement constante et une autre où le courant reste approximativement constant.

• Un point de fonctionnement dont les caractéristiques des dipôles ne varient pas dans le temps est dit statique, de repos ou de polarisation.

• Le point de fonctionnement n’est pas nécessairement unique lorsque les caractéristiques courant-tension présentent plusieurs intersections.

📐 Formule - La résistance dynamique au point de fonctionnement est $R_{\mathrm{dyn}}=\left(\frac{dI}{dU}\right)^{-1}\approx\frac{\Delta U}{\Delta I}$.

📐 Formule - Dans le circuit incrémental décrit, la variation de courant vérifie $\Delta I=\frac{e}{R_{\mathrm{dyn}}+R_g}$.

• La résistance dynamique dépend du point de fonctionnement statique, et le modèle petit signal permet de remplacer l’étude du dipôle non linéaire par celle d’un circuit linéaire.

📌 Dans un schéma petit signal, une source continue de tension est remplacée par un court-circuit et une source continue de courant par un circuit ouvert.

📐 Formule - Pour une diode à semi-conducteurs, $i=I_s\left(e^{v/V_T}-1\right)$ et la résistance dynamique au point de fonctionnement vaut approximativement $R_{\mathrm{dyn}}=V_T/I_0$ lorsque le courant de fonctionnement est grand devant $I_s$.

• La tension thermodynamique est $V_T=kT/q$ et vaut environ 25 mV à 300 K, avec $k=1{,}38\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}$ et $q=1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm{C}$.

• Le courant inverse de saturation $I_s$ est très faible, de l’ordre du picoampère, et le courant continu de fonctionnement $I_0$ est souvent choisi très supérieur à $I_s$.

• Pour construire la caractéristique d’une association en série, on additionne les tensions des dipôles à courant commun ; pour une association en parallèle, on additionne les courants à tension commune.

• Une composante continue et un signal alternatif peuvent être superposés sur un dipôle non linéaire à l’aide de deux générateurs en série ou d’un condensateur de liaison.

📐 Formule - Avec un condensateur de liaison suffisamment grand, la composante continue vaut $V_0=E-RI_0$ et la composante alternative reproduit le signal d’entrée $e$.