Fiche de révision : Statistique descriptive à une variable

📋 Plan du Cours

1. Variables et types de données
2. Effectifs et fréquences
3. Regroupement des données
4. Représentations graphiques
5. Médiane et quartiles
6. Moyenne et dispersion

📖 1. Variables et types de données

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable statistique : Propriété qui varie d’un individu à un autre et se note généralement par une lettre majuscule comme X, Y ou Z.
• Proportion : Le nombre d’individus concernés divisé par le nombre total d’individus considérés, et elle est toujours comprise entre 0 et 1, soit entre 0 % et 100 %.

📝 Points essentiels

• Un individu est un élément dont on étudie la valeur prise par une variable statistique, une population est l’ensemble des individus considérés et un échantillon est un sous-ensemble d’individus choisi dans la population.

• Une variable quantitative possède des modalités numériques pour lesquelles l’addition a un sens, tandis qu’une variable qualitative ne possède pas cette propriété.

• Une variable quantitative discrète possède des modalités séparées par des valeurs interdites, comme le nombre de frères et sœurs, tandis qu’une variable quantitative continue peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle, comme la taille.

• Une variable qualitative ordinale possède des modalités ordonnées de manière claire et consensuelle, tandis qu’une variable qualitative nominale ne possède pas d’ordre reconnu, comme la couleur des yeux.

💡 Astuce mémo

Quantitative = nombres exploitables ; qualitative = catégories.

📖 2. Effectifs et fréquences

🔑 Notions clés & Définitions

• Modalité : Une valeur différente que peut prendre une variable statistique, par exemple 0, 1, 2 ou 3 pour le nombre de frères et sœurs.
• Effectif : Le nombre d’individus chez lesquels la variable prend cette valeur ou appartient à cet intervalle.
• Fréquence cumulée : La somme des fréquences de toutes les modalités ou classes jusqu’à celle-ci et se note $P(X\leq x)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La fréquence d’une modalité ou d’une classe est sa proportion et se calcule par $f_i=\frac{n_i}{n}$, où n_i est son effectif et n l’effectif total.

Compléments

📐 Formule — Pour 212 étudiants dont 31 ont exactement 3 frères et sœurs, la proportion correspondante est $P(X=3)=\frac{31}{212}\approx0{,}146$, soit environ 14,6 %.

💡 Astuce mémo

Modalité → effectif → fréquence → fréquence cumulée.

📖 3. Regroupement des données

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe : Un intervalle généralement écrit sous la forme [a;b[, où a est inclus et b est exclu.

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’effectif total d’un échantillon est la somme des effectifs de ses modalités ou classes : $n=\sum_i n_i$.

• Le regroupement par modalité consiste à associer chaque modalité de la variable à son effectif, puis à calculer l’effectif total par addition des effectifs.

💡 Astuce mémo

Modalités séparées ; classes contiguës.

📖 4. Représentations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Histogramme : Un graphique de données regroupées en classes par des rectangles dont la position horizontale indique les classes et dont la surface représente la fréquence.
• Fonction de répartition : Donne, pour une valeur x, la fréquence cumulée $F_X(x)=P(X\leq x)$.

★ À maîtriser

📌 Un diagramme circulaire représente les fréquences par des secteurs dont les surfaces sont proportionnelles aux fréquences et convient typiquement aux variables qualitatives, tandis qu’un diagramme en bâtons représente les fréquences par la hauteur des bâtons et convient typiquement aux variables quantitatives discrètes.

Compléments

📐 Formule — Pour une variable Y, la proportion comprise entre 1,67 et 1,83 se calcule par $P(1{,}67<Y\leq1{,}83)=P(Y\leq1{,}83)-P(Y\leq1{,}67)$.

💡 Astuce mémo

Bâtons pour les discrètes, histogramme pour les continues.

📖 5. Médiane et quartiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : La modalité qui partage les observations ordonnées en deux parties de telle sorte qu’au moins 50 % des observations lui sont inférieures ou égales et au moins 50 % lui sont supérieures ou égales.
• Quartiles : Pour des données regroupées en classes, le premier quartile Q1 correspond à 25 % de la fonction de répartition, la médiane à 50 % et le troisième quartile Q3 à 75 %.

📝 Points essentiels

• Pour des données brutes ordonnées, la médiane est la valeur centrale ; si la position centrale est entre deux observations, elle est la moyenne de ces deux observations.

💡 Astuce mémo

25 % → Q1, 50 % → médiane, 75 % → Q3.

📖 6. Moyenne et dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne : La somme des valeurs prises par tous les individus divisée par l’effectif total.

★ À maîtriser

📐 Formule — La variance d’une variable quantitative se calcule par $\operatorname{Var}(X)=m(X^2)-\bigl(m(X)\bigr)^2$.

📐 Formule — L’écart type est la racine carrée de la variance : $s(X)=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$.

Compléments

📌 Pour l’écart type calculé à la calculatrice, il faut retenir le résultat le plus petit, appelé écart type, plutôt que le résultat le plus grand, appelé écart type corrigé.

• Pour calculer une moyenne avec des données regroupées en classes, on remplace chaque classe par le milieu de son intervalle, ce qui donne une moyenne approximative.

• La variance et l’écart type sont toujours positifs, et l’écart type donne une idée de l’écart typique entre les valeurs de la variable statistique.

💡 Astuce mémo

Écarts autour de la moyenne → variance → écart type.

📊 Tableaux de synthèse

Types de variables et graphiques