Fiche de révision : Suites arithmétiques et géométriques fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques
2. Raison, terme initial et variations
3. Représentation graphique
4. Suites géométriques
5. Sommes de termes consécutifs

📖 1. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite (un) est arithmétique s’il existe un nombre r tel que, pour tout entier n, la différence un+1 − un soit constante et égale à r.
• Raison d’une suite : La raison r est le réel constant qui vaut un+1 − un pour une suite arithmétique.
• Premier terme u0 : Le premier terme u0 est la valeur du terme d’indice 0 de la suite arithmétique.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0, on a la relation un = u0 + nr pour tout entier naturel n.
• Pour tester si une suite est arithmétique, on vérifie que la différence successive un+1 − un ne dépend pas de n.
• Si un+1 − un reste constante et vaut 5 avec u0 = 3, la suite est arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.

💡 Astuce mémo

Différences égales à r : arithmétique = “+ r” à chaque pas.

📖 2. Raison, terme initial et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissante : Une suite est croissante si, à partir d’un certain rang, les termes augmentent quand l’indice augmente.
• Décroissante : Une suite est décroissante si, à partir d’un certain rang, les termes diminuent quand l’indice augmente.
• Variation par le signe de r : Le sens des variations d’une suite arithmétique dépend du signe de sa raison r.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique, si r > 0 alors la suite est croissante.
• Pour une suite arithmétique, si r < 0 alors la suite est décroissante.
• La différence un+1 − un vaut toujours r pour une suite arithmétique.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : r positif ⇒ monte, r négatif ⇒ descend.

📖 3. Représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Points alignés : Dans une représentation, des points sont alignés lorsqu’ils appartiennent à une même droite.
• Suite arithmétique et droite : Une suite arithmétique se traduit graphiquement par une suite de points alignés.
• Représentation graphique d’une suite : La représentation graphique d’une suite est l’affichage des points dont les abscisses sont les indices et les ordonnées sont les termes.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique, les points de la représentation graphique sont alignés.
• Une représentation d’une suite de raison -0,5 et de premier terme 4 illustre cette alignement.
• L’alignement correspond au fait que la différence successive est constante.

💡 Astuce mémo

Constante en accroissement ⇒ points sur une même droite.

📖 4. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite (un) est géométrique s’il existe un nombre q tel que, pour tout entier n, le quotient un+1/un soit constant et égal à q.
• Raison q : La raison q est le réel constant qui vérifie un+1 = q·un pour une suite géométrique.

📝 Points essentiels

• Pour une suite géométrique de raison q et de premier terme u0, on a un = u0·qn pour tout entier naturel n.
• Pour une progression de capital où le capital est multiplié par 1,04 chaque année, la raison vaut 1,04.
• Si la raison q est négative, la suite géométrique n’est ni monotone (pas de croissance/décroissance simple).

💡 Astuce mémo

Géométrique : tu “multiplies par q” à chaque pas.

📖 5. Sommes de termes consécutifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de termes d’une suite arithmétique : La somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique se calcule avec une formule fermée basée sur le nombre de termes et les valeurs extrêmes.
• Somme géométrique : La somme 1 + q + q^2 + … + q^n est une somme géométrique qui admet une formule quand q ≠ 1.
• q différent de 1 : La formule de la somme géométrique s’applique sous la condition q ≠ 1.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique, la somme des n+1 premiers termes vaut n·(n+1) quand la raison est 1 et le premier terme est 1.
• Pour une suite géométrique de premier terme 1, si q ≠ 1, alors 1 + q + q^2 + … + q^n = (1 − q^(n+1))/(1 − q).
• La somme des n+1 premiers termes d’une suite arithmétique peut aussi s’obtenir par regroupements extrêmes comme dans l’exemple de Gauss.

💡 Astuce mémo

Sommes : arithmétique = produit n(n+1)/2 (cas traité), géométrique = (1−q^{n+1})/(1−q).

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Arithmétique vs Géométrique

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la condition arithmétique (différence un+1 − un constante) avec la condition géométrique (rapport un+1/un constant).
2. Utiliser la formule un = u0 + nr pour une suite géométrique, ou inversement utiliser un = u0·qn pour une suite arithmétique.
3. Interpréter le signe de r comme le signe de q : le sens des variations donnée dans le cours est spécifique à chaque type de suite.
4. Oublier que la formule de somme géométrique indiquée nécessite q ≠ 1.
5. Croire que les variations d’une suite géométrique se lisent comme pour une suite arithmétique à partir du signe seul de q, alors que le cours signale l’absence de monotonie si q est négatif.

✅ Checklist Examen

1. Écrire la définition d’une suite arithmétique via la constance de un+1 − un.
2. Déterminer la raison r et le premier terme u0 d’une suite arithmétique à partir d’informations sur des termes.
3. Calculer un pour une suite arithmétique en utilisant un = u0 + nr.
4. Déterminer le sens des variations d’une suite arithmétique en fonction du signe de r.
5. Justifier que les points d’une suite arithmétique sont alignés sur une représentation graphique.
6. Écrire la définition d’une suite géométrique via la relation un+1 = q·un.
7. Calculer un pour une suite géométrique en utilisant un = u0·qn.
8. Déterminer le sens des variations d’une suite géométrique selon q et le cas traité dans le cours.
9. Reconnaître que si q est négatif, la suite géométrique n’est pas monotone.
10. Calculer une somme de termes d’une suite arithmétique avec la formule du cas traité (raison 1 et premier terme 1).
11. Calculer une somme géométrique avec 1 + q + q^2 + … + q^n quand q ≠ 1.