QCM : Suites géométriques et croissance exponentielle — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Qu’est-ce qui caractérise une suite géométrique ?

Chaque terme est obtenu en prenant la différence entre deux termes successifs
Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une même raison
Chaque terme dépend seulement de son rang par une formule affine
Chaque terme s’obtient en ajoutant une même constante au précédent

Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une même raison

Explication

Dans une suite géométrique, on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par la même raison réelle. L’addition d’une constante caractérise au contraire une suite arithmétique.

2. Dans une modélisation de croissance exponentielle, quel comportement reste constant d’un terme au suivant ?

Le rapport entre deux termes consécutifs
La valeur du premier terme
La différence absolue entre deux termes consécutifs
La somme des deux derniers termes

Le rapport entre deux termes consécutifs

Explication

La croissance exponentielle est modélisée par une suite géométrique où l’accroissement relatif, donc le rapport entre deux termes consécutifs, reste constant. La différence constante correspondrait à une croissance linéaire.

3. Quelle est la forme générale d’une suite géométrique de premier terme u(0) et de raison q ?

u(n)=u(0)−q^n
u(n)=u(0)+nq
u(n)=u(0)×q^n
u(n)=q×u(0)+n

u(n)=u(0)×q^n

Explication

La formule explicite d’une suite géométrique est u(n)=u(0)×q^n. Elle permet d’obtenir directement n’importe quel terme à partir du premier terme et de la raison.

4. Si u(0)>0 et q>0, quelle propriété est assurée pour tous les termes de la suite géométrique ?

Tous les termes sont négatifs
Tous les termes sont nuls
Tous les termes sont strictement positifs
Les termes alternent entre positifs et négatifs

Tous les termes sont strictement positifs

Explication

Quand le premier terme est positif et que la raison est positive, chaque produit u(0)×q^n reste strictement positif. Il n’y a donc ni changement de signe ni annulation des termes.

5. Quelle relation de récurrence définit une suite géométrique de raison q ?

u(n+1)=u(n)+q
u(n+1)=u(n)/q
u(n+1)=u(n)−q
u(n+1)=q×u(n)

u(n+1)=q×u(n)

Explication

La relation de récurrence d’une suite géométrique est u(n+1)=q×u(n). Elle exprime que chaque terme se déduit du précédent par multiplication par la raison.

6. Quelle écriture permet d’exprimer un terme u(n) à partir d’un terme u(p) lorsque n≥p ?

u(n)=u(p)×q^(n−p)
u(n)=u(p)−q^(n−p)
u(n)=u(p)÷(n−p)
u(n)=u(p)+q^(n−p)

u(n)=u(p)×q^(n−p)

Explication

La relation à deux indices s’écrit u(n)=u(p)×q^(n−p) pour n≥p. Elle permet de passer d’un terme connu à un terme plus éloigné sans calculer tous les intermédiaires.

7. Comment évolue une suite géométrique lorsque q>1 et u(0)>0 ?

Elle est strictement croissante
Elle est constante
Elle devient identiquement nulle
Elle est strictement décroissante

Elle est strictement croissante

Explication

Si la raison est supérieure à 1 et le premier terme est positif, chaque multiplication par q augmente les termes. La suite est donc strictement croissante.

8. Quel est le sens de variation d’une suite géométrique lorsque 0<q<1 et u(0)>0 ?

Strictement croissante
Constante
Strictement décroissante
Sans variation déterminable

Strictement décroissante

Explication

Quand la raison est comprise entre 0 et 1, multiplier par q fait diminuer les termes positifs. La suite est donc strictement décroissante.

9. Dans un tableur, quel outil permet de dupliquer rapidement une formule de calcul sur plusieurs lignes ?

Le tri automatique
Le filtre de données
La mise en page
La poignée de recopie

La poignée de recopie

Explication

La poignée de recopie sert à recopier une formule vers le bas ou sur plusieurs cellules. C’est l’outil adapté pour générer les termes successifs d’une suite.

10. Pourquoi les points représentant une suite géométrique ne sont-ils pas alignés dans le plan ?

Parce que le tableur interdit les points alignés
Parce que les termes ne dépendent pas du rang
Parce que les valeurs de n sont toujours irrégulières
Parce que l’évolution est multiplicative et non additive

Parce que l’évolution est multiplicative et non additive

Explication

Dans une suite géométrique, les termes évoluent par multiplication par une raison, ce qui produit une courbe de type exponentiel. Contrairement à une suite arithmétique, les points ne sont donc pas alignés.

11. Dans une suite géométrique, comment détermine-t-on la raison inconnue à partir de deux termes connus comme u(0) et u(n) ?

En additionnant u(n) et u(0) puis en divisant par n
En résolvant q^n = u(n) / u(0)
En divisant u(0) par n puis en ajoutant u(n)
En calculant u(n) - u(0) et en prenant la racine carrée

En résolvant q^n = u(n) / u(0)

Explication

On utilise la forme u(n)=u(0)×q^n, ce qui conduit à q^n = u(n)/u(0). Les autres propositions correspondent à des méthodes de suites arithmétiques ou à des opérations sans lien avec la raison géométrique.

12. Que représente la racine n-ième d’un réel positif a dans ce contexte ?

L’unique solution positive de x^n = a
L’unique solution négative de x^n = a
Le nombre obtenu en multipliant a par n
La différence entre a et n

L’unique solution positive de x^n = a

Explication

La racine n-ième d’un réel positif est définie comme l’unique solution positive de l’équation x^n=a. La solution négative est écartée dans cette définition.

13. Si une quantité subit m évolutions successives avec un taux moyen t, quelle relation relie le coefficient multiplicateur total au taux moyen ?

Le coefficient multiplicateur total vaut m(1+t)
Le coefficient multiplicateur total vaut 1+t^m
Le coefficient multiplicateur total vaut (1+tg)^m
Le coefficient multiplicateur total vaut (1+t)^m

Le coefficient multiplicateur total vaut (1+t)^m

Explication

Le taux moyen t est défini pour que la répétition de m évolutions donne un coefficient multiplicateur total égal à (1+t)^m. La quantité tg désigne le taux global, pas le coefficient total.

14. Quelle formule permet de calculer le taux moyen t à partir du taux global tg et du nombre d’évolutions m ?

t = (1 + tg)^m - 1
t = (1 + tg)^(1/m) - 1
t = (1 + m)^(1/tg) - 1
t = tg / m

t = (1 + tg)^(1/m) - 1

Explication

On part de la relation (1+t)^m = 1+tg, puis on isole t, ce qui donne t=(1+tg)^(1/m)-1. Les autres expressions ne traduisent pas l’équivalence entre taux global et taux moyen.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 14 flashcards sur Suites géométriques et croissance exponentielle.

Suite géométrique — définition ?

Suite où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par q.

Croissance exponentielle — rôle ?

Modélise une croissance avec un taux d’évolution constant.

Formule générale — expression ?

u(n)=u(0)×q^n.

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