Fiche de révision : Suites numériques et trigonométrie

📋 Plan du Cours

1. Notion de suite numérique
2. Formule explicite d’une suite
3. Relation de récurrence
4. Calcul et représentation des suites
5. Algorithmes et suites particulières
6. Cercle trigonométrique et radians
7. Enroulement et points-images
8. Coordonnées trigonométriques

📖 1. Notion de suite numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction définie sur ℕ, ou sur les entiers naturels supérieurs ou égaux à un entier donné, et à valeurs dans ℝ.
• Terme général : Le nombre réel u(n), noté uₙ, est le terme de rang n ou terme général de la suite (uₙ).

📝 Points essentiels

• Une suite numérique peut être représentée graphiquement par le nuage de points de coordonnées (n ; uₙ).

📖 2. Formule explicite d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite : Expression de uₙ en fonction de l’entier n, ce qui permet de calculer directement chaque terme à partir de son rang.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour la suite définie par $u_n=2n$, on obtient $u_{20}=40$.

📖 3. Relation de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de récurrence : Lorsqu’on connaît son premier terme et une relation permettant de calculer chaque terme à partir du précédent.

★ À maîtriser

• Pour calculer successivement les termes d’une suite récurrente, on part du premier terme puis on applique la relation à chaque terme obtenu.

Compléments

• La suite définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=3u_n$ commence par $u_1=15$ puis $u_2=45$.

💡 Astuce mémo

Premier terme → terme suivant

📖 4. Calcul et représentation des suites

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $u_n=3n^2-2n+1$, on a $u_{n+1}=3n^2+4n+2$ et $u_{2n}=12n^2-4n+1$.

Compléments

• Pour $u_n=3n^2-2n+1$, le terme de rang 5 vaut 66.

• La suite définie par $u_n=n^2$ vérifie $u_{13}=169$.

📖 5. Algorithmes et suites particulières

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle : Produit des entiers de 1 à n.

★ À maîtriser

• Un algorithme peut générer une suite en initialisant une variable puis en répétant une instruction de mise à jour dans une boucle.

• La suite de Syracuse applique $u_{n+1}=u_n/2$ si uₙ est pair et $u_{n+1}=3u_n+1$ si uₙ est impair.

Compléments

📐 Formule — La suite factorielle vérifie $0!=1$ et $u_{n+1}=u_n(n+1)$.

💡 Astuce mémo

Tester → itérer → arrêter

📖 6. Cercle trigonométrique et radians

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Cercle de centre O et de rayon 1, parcouru de I vers J dans le sens inverse des aiguilles d’une montre dans un repère orthonormé.
• Radian : Mesure de l’angle qui intercepte sur le cercle trigonométrique un arc de longueur 1.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les mesures en degrés et en radians vérifient $180^\circ=\pi\ \text{rad}$ et $360^\circ=2\pi\ \text{rad}$.

Compléments

• Les conversions remarquables sont $30^\circ=\pi/6$, $45^\circ=\pi/4$, $60^\circ=\pi/3$ et $90^\circ=\pi/2$.

💡 Astuce mémo

Un cercle unité parcouru de I vers J dans le sens direct

📖 7. Enroulement et points-images

🔑 Notions clés & Définitions

• Point-image : Pour tout réel α, le point d’abscisse α sur la tangente en I coïncide avec un unique point-image sur le cercle trigonométrique.

★ À maîtriser

📌 Si α est une abscisse d’un point-image, toutes les autres abscisses du même point sont de la forme $\alpha+2k\pi$ avec $k\in\mathbb Z$.

Compléments

• Le point J correspond aux réels de la forme $\pi/2+2k\pi$ avec $k\in\mathbb Z$.

💡 Astuce mémo

Même point-image, angles séparés de 2π

📖 8. Coordonnées trigonométriques

★ À maîtriser

• Si M est le point-image de α sur le cercle trigonométrique, ses coordonnées sont $M(\cos\alpha\ ;\ \sin\alpha)$.

📌 Les fonctions trigonométriques sont périodiques de période 2π : $\cos(\alpha+2\pi)=\cos(\alpha)$ et $\sin(\alpha+2\pi)=\sin(\alpha)$.

Compléments

• Sur l’intervalle [0 ; 2π], le cosinus est positif sur [0 ; π/2[, nul en π/2, négatif sur ]π/2 ; 3π/2[, puis positif sur ]3π/2 ; 2π].

📊 Tableaux de synthèse

Modes de génération d’une suite