Fiche de révision : Sommes de suites arithmétiques et géométriques

📋 Plan du Cours

1. Notation des sommes de suites
2. Sommes de suites arithmétiques
3. Sommes de suites géométriques
4. Applications numériques des formules

📖 1. Notation des sommes de suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de termes : La somme des termes d’une suite de U_p à U_n s’écrit $\sum_{k=p}^{n} U_k = U_p + U_{p+1} + \dots + U_n$ et se lit « somme pour k allant de p à n des U_k ».

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique définie par U_0 = 5 et de raison 2, $\sum_{k=0}^{3} U_k = U_0+U_1+U_2+U_3 = 5+7+9+11 = 32$.

📖 2. Sommes de suites arithmétiques

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout entier naturel n, $\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$.

📐 Formule — Pour une suite arithmétique, $\sum_{k=p}^{n} U_k = \frac{U_n+U_p}{2}\times(n-p+1)$, soit la moyenne des termes extrêmes multipliée par le nombre de termes.

• Pour la suite arithmétique de terme initial U_0 = 5 et de raison 2, U_10 = 25 et U_20 = 45, donc $\sum_{k=10}^{20} U_k = \frac{25+45}{2}\times11 = 385$.

Compléments

• 🔄 Le calcul d’une somme arithmétique suit trois étapes:
  1. Déterminer les termes extrêmes
  2. Calculer le nombre de termes avec n-p+1
  3. Multiplier leur moyenne par ce nombre

💡 Astuce mémo

Moyenne des extrêmes × nombre de termes → somme

📖 3. Sommes de suites géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite géométrique de raison q, $\sum_{k=0}^{n}q^k = 1+q+q^2+\dots+q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Compléments

• La somme de termes d’une suite géométrique est égale au premier terme multiplié par $\frac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}$.

📖 4. Applications numériques des formules

📝 Points essentiels

• La somme $S=1+2+4+8+\dots+2^{10}=\sum_{k=0}^{10}2^k$ comporte 11 termes et vaut $1\times\frac{1-2^{11}}{1-2}=2047$.

• Pour une suite géométrique de premier terme U_0=3 et de raison q=1,5, la somme $\sum_{k=0}^{20}U_k$ comporte 21 termes et vaut $3\times\frac{1-1{,}5^{21}}{1-1{,}5}\approx209{,}92$.

💡 Astuce mémo

Identifier les bornes, compter les termes, appliquer la formule

📊 Tableaux de synthèse

Sommes arithmétiques et géométriques