Fiche de révision : Titre : Fondamentaux de la statistique descriptive et inférentielle

📋 Plan du Cours

1. Statistique descriptive vs inférentielle
2. Population, échantillon et rappel descriptif
3. Dispersion et boîte à moustaches
4. Processus du test d’hypothèse et erreurs
5. Niveau de signification, p-value et décision
6. Tests de normalité et choix paramétrique
7. Comparaison de moyennes et tests t
8. Comparaison de k moyennes ANOVA et non paramétriques
9. Comparaison de variances et test de Fisher
10. Tests d’association et corrélation Pearson Spearman

📖 1. Statistique descriptive vs inférentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique descriptive : La statistique descriptive résume et décrit des données observées à l’aide de mesures et de graphiques.
• Statistique inférentielle : La statistique inférentielle utilise un échantillon pour tirer des conclusions sur une population via des tests et des probabilités.
• Population vs échantillon : Une population est l’ensemble visé, tandis qu’un échantillon est la partie observée utilisée pour faire des inférences.
• Boîte à moustaches : La boîte à moustaches est un diagramme qui visualise la médiane, la dispersion et les valeurs extrêmes à partir des quartiles.
• IQR : L’IQR est l’intervalle interquartile, qui mesure la dispersion centrale entre Q1 et Q3.

📝 Points essentiels

• La statistique descriptive met l’accent sur la forme et la dispersion des données (symétrie, concentration, étalement) plutôt que sur une décision probabiliste.
• La statistique inférentielle suit un enchaînement Question → Hypothèses → Test d’hypothèse → Conclusion à partir des données.
• Dans l’exemple des parcelles, l’engrais organique correspond à une production plus homogène (variation modérée) tandis que l’autre engrais montre davantage de variation.
• Le box plot s’appuie sur Q1, Q2 (médiane) et Q3 pour situer les valeurs et repérer les extrêmes.
• L’IQR sert à définir des bornes d’exclusion des valeurs extrêmes via Q1−1,5·IQR et Q3+1,5·IQR.
• Le test d’hypothèse compare une situation de référence (H0 : pas d’effet) à une alternative (H1 : effet/changement/différence).

💡 Astuce mémo

Descriptif = Décrire (box plot, IQR) ; Inférentiel = Décider (H0/H1, p-value).

📖 2. Population, échantillon et rappel descriptif

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : En statistique, la population désigne l’ensemble complet des individus ou observations que l’on veut étudier.
• Échantillon : En statistique, l’échantillon est une partie de la population utilisée pour faire des estimations ou des tests.
• P-value : La p-value est la probabilité d’obtenir une statistique de test au moins aussi extrême si l’hypothèse nulle H₀ est vraie.
• Hypothèse nulle H₀ : L’hypothèse nulle H₀ est l’hypothèse de référence supposée vraie avant de décider de la rejeter ou non.
• Hypothèse alternative H₁ : L’hypothèse alternative H₁ exprime l’idée contraire à H₀ et correspond à ce qu’on cherche à mettre en évidence.

📝 Points essentiels

• Règle de décision : si p-value ≤ α alors on rejette H₀, sinon on ne rejette pas H₀.
• La p-value sert à trancher dans un test d’hypothèse en comparant son niveau d’évidence à α.
• H₀ et H₁ se formulent pour une comparaison de paramètres (ex. moyennes) entre deux groupes.
• Dans un rappel descriptif, on résume les données avec des mesures comme moyennes, écart-types et variances.
• Le choix du test dépend du type de comparaison (2 moyennes, k moyennes, 2 variances, association) et du schéma (indépendant ou apparié).
• Test de normalité : H₀ = données normales et H₁ = données non normales, avec des tests comme Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling ou Jarque-Bera.

💡 Astuce mémo

p-value ≤ α ⇒ rejet : « si c’est trop improbable, on écarte H₀ ».

📖 3. Dispersion et boîte à moustaches

🔑 Notions clés & Définitions

• Dispersion : La dispersion mesure à quel point les valeurs d’un échantillon s’écartent de leur centre (moyenne ou médiane).
• Boîte à moustaches : La boîte à moustaches est un diagramme qui résume la dispersion via quartiles et étendue représentée par des moustaches.
• Test t de Student : Le test t de Student compare des moyennes en utilisant une statistique t et une loi de Student pour décider de rejeter ou non H0.
• Mann-Whitney : Le test de Mann-Whitney compare deux distributions en utilisant des rangs plutôt que les moyennes.
• Kruskal-Wallis : Le test de Kruskal-Wallis généralise Mann-Whitney à la comparaison de k groupes indépendants.

📝 Points essentiels

• Pour comparer 2 moyennes avec un test t (groupes indépendants), on utilise H0 : μA = μB et H1 : μA ≠ μB avec α = 5%.
• La statistique t s’écrit $t=\dfrac{\bar x_1-\bar x_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$ où $s_p$ est l’écart-type poolé.
• Les degrés de liberté pour le test t à 2 moyennes (Student) sont $d\!d\!l=n_1+n_2-2$.
• Règle bilatérale : si $t<t_{crit}$ on ne rejette pas H0, et si $t>t_{crit}$ on rejette H0 (avec $t_{crit}$ issu de la table de Student).
• Pour Mann-Whitney, on calcule $U_i=\dfrac{n_1n_2+n_i(n_i+1)}{2}-R_i$ où $R_i$ est la somme des rangs du groupe i.
• Règle Mann-Whitney : on prend la valeur la plus petite entre les deux U, puis on compare à $U_{crit}$ (si $U\le U_{crit}$ on rejette H0, sinon on ne la rejette pas).

💡 Astuce mémo

t : (différence de moyennes) / (dispersion poolée) ; Mann-Whitney : rangs → U (on garde le plus petit U).

📖 4. Processus du test d’hypothèse et erreurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypothèse nulle H0 : L’hypothèse nulle est l’assertion de départ testée pour décider si les données apportent une preuve suffisante contre elle.
• Arbre de décision du test : L’arbre de décision est une procédure qui oriente le choix du test selon la question, le type de groupes et la nature des variables.
• Degré de liberté : Le degré de liberté est le paramètre $d.d.l$ qui fixe la loi de référence (souvent la loi de Student) pour déterminer la valeur critique.
• Valeur critique : La valeur critique est le seuil issu de la loi de référence et du niveau  qui sépare la zone de rejet de la zone de non-rejet.
• Erreur de première espèce : L’erreur de première espèce correspond au rejet de $H0$ alors qu’elle est vraie.

📝 Points essentiels

• On fixe $H0$ puis on choisit le test via l’arbre selon Groupe/Échantillon et le type de variable (quanti/qualitative, indépendante/apparié).
• On fixe le niveau de risque  puis on détermine la valeur critique à partir de la table de la loi du test (Student, Mann-Whitney, Wilcoxon, etc.).
• Décision bilatérale : on rejette $H0$ si la statistique tombe dans la zone extrême (comparaison à la valeur critique bilatérale).
• Décision unilatérale : on rejette $H0$ si la statistique dépasse le seuil du côté concerné par l’alternative.
• Test de Student (2 moyennes appariées) : $t=\dfrac{\overline{x_D}}{s/\sqrt{n}}$ avec $d.d.l=n-1$ et comparaison à $t_{critique}$.
• Règle de décision Student : si $t<t_{critique}$ on ne rejette pas $H0$ ; si $t>t_{critique}$ on rejette $H0$ (selon le sens de la comparaison).

💡 Astuce mémo

Seuil  → Valeur critique → Zone de rejet : $H0$ survit si la statistique reste “à l’intérieur”.

📖 5. Niveau de signification, p-value et décision

🔑 Notions clés & Définitions

• Niveau de signification α : Le niveau de signification α fixe la probabilité maximale d’erreur de première espèce acceptée avant de décider de rejeter H0.
• p-value : La p-value mesure la compatibilité des données avec H0, et sert de critère pour décider de rejeter ou non H0.
• Valeur critique : La valeur critique est le seuil issu de la table de la statistique de test, séparant la zone de rejet de la zone de non-rejet.
• Règle de décision bilatérale : En test bilatéral, la zone de rejet est symétrique et la décision dépend de la statistique par rapport à la valeur critique bilatérale.
• Règle de décision unilatérale : En test unilatéral, la zone de rejet est d’un seul côté et la décision dépend de la statistique par rapport à la valeur critique unilatérale.

📝 Points essentiels

• On compare la statistique de test à la valeur critique de la table (bilatérale ou unilatérale) pour décider de rejeter H0 ou non.
• Si la statistique est du côté de rejet (selon le sens indiqué par la table), alors on rejette H0, sinon on ne rejette pas H0.
• Pour les tests Mann–Whitney/Wilcoxon, on utilise la valeur critique notée Wcrit ou Ucrit selon le test et le tableau, avec la règle Fait référence à W et U.
• Pour Mann–Whitney/Wilcoxon bilatéral, la décision suit la comparaison à la valeur critique correspondante de la table (U≤Ucrit : non rejet, U>Ucrit : rejet).
• Pour ANOVA (F), on compare F à Fcrit : si F≤Fcrit on ne rejette pas H0, et si F>Fcrit on rejette H0.
• Pour un test, le choix bilatéral/unilatéral dépend du type d’hypothèse et conditionne la valeur critique lue dans la table (même α).

💡 Astuce mémo

α fixe le seuil, p-value mesure la compatibilité, et la décision se fait par comparaison à la valeur critique (zone de rejet).

📖 6. Tests de normalité et choix paramétrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Test de Student : Test paramétrique de comparaison de deux moyennes, utilisé pour des échantillons indépendants lorsque les conditions paramétriques sont respectées.
• Mann-Whitney : Test non-paramétrique de comparaison de deux moyennes basé sur les rangs, adapté quand les hypothèses paramétriques ne sont pas satisfaites.
• Wilcoxon : Test non-paramétrique apparié de comparaison de deux moyennes, fondé sur les rangs des différences.
• ANNOVA : Test paramétrique de comparaison de k moyennes pour des groupes indépendants, généralisation de la comparaison de deux moyennes.
• Kruskal-Wallis : Test non-paramétrique indépendant de comparaison de k moyennes basé sur les rangs.

📝 Points essentiels

• Choix paramétrique vs non-paramétrique dépend des hypothèses (notamment normalité et variances) et du type de données (indépendant ou apparié).
• Comparaison de 2 moyennes indépendante : Test de Student ou Mann-Whitney selon la validité des hypothèses.
• Comparaison de 2 moyennes appariée : Test de Student apparié ou Wilcoxon selon la validité des hypothèses.
• Comparaison de k moyennes indépendante : ANNOVA ou Kruskal-Wallis selon la validité des hypothèses.
• Comparaison de k moyennes appariée : ANNOVA appariée ou Friedman.
• Comparaison de 2 variances indépendante/appariée : Test de Fisher pour décider sur l’égalité des variances.

💡 Astuce mémo

Indépendant = rangs (Mann-Whitney/Kruskal-Wallis), Apparié = différences (Wilcoxon/Friedman).

📖 7. Comparaison de moyennes et tests t

🔑 Notions clés & Définitions

• Test de Student : Test paramétrique utilisé pour comparer des moyennes, avec une version pour échantillons indépendants et une version pour échantillons appariés.
• Test de Mann-Whitney : Test non paramétrique de comparaison de deux moyennes basé sur les rangs, adapté aux échantillons indépendants.
• Test de Wilcoxon : Test non paramétrique de comparaison de deux moyennes basé sur les rangs, adapté aux données appariées.
• Test de Friedman : Test non paramétrique de comparaison de k moyennes pour mesures répétées au sein des mêmes participants.

📝 Points essentiels

• Pour comparer 2 moyennes, si les groupes sont indépendants on utilise Student ou Mann-Whitney, et si les mesures sont appariées on utilise Student apparié ou Wilcoxon.
• Le test de Friedman sert à comparer k moyennes quand les observations sont intra-participant (classement dans chaque individu).
• Dans Friedman, on note k le nombre de modalités et n le nombre d’individus, et on calcule une statistique basée sur la somme des rangs Rj.
• Dans Friedman, le nombre de degrés de liberté est ddl = k − 1 et la décision se fait avec une valeur critique du χ².
• Règle de décision Friedman : si χ² ≤ χ²_critique on ne rejette pas H0, et si χ² > χ²_critique on rejette H0.
• Table de Friedman : on choisit bilatéral ou unilatéral selon α et on compare la statistique χ² à la valeur critique correspondante.

💡 Astuce mémo

Indépendant → Mann-Whitney (rangs) ; Apparié → Wilcoxon (rangs) ; k mesures répétées → Friedman (χ² sur rangs).

📖 8. Comparaison de k moyennes ANOVA et non paramétriques

🔑 Notions clés & Définitions

• ANOVA à un facteur : Test paramétrique qui compare les moyennes de $k$ groupes indépendants en supposant des conditions de validité sur la variance et la distribution.
• Kruskal-Wallis : Test non paramétrique qui compare $k$ groupes indépendants quand on ne veut pas supposer la normalité des données.
• Friedman : Test non paramétrique qui compare $k$ mesures appariées (mêmes sujets) quand la variable quantitative n’est pas supposée suivre une loi normale.
• Groupes indépendants : Configuration où les observations de chaque groupe proviennent de sujets différents, ce qui oriente le choix du test.
• Groupes appariés : Configuration où les observations sont liées (mêmes sujets mesurés plusieurs fois), ce qui oriente le choix du test.

📝 Points essentiels

• Pour comparer $k$ moyennes avec des groupes indépendants, on utilise l’ANOVA si les hypothèses paramétriques sont acceptables.
• Pour comparer $k$ moyennes avec des groupes indépendants sans hypothèses paramétriques, on utilise le test de Kruskal-Wallis.
• Pour comparer $k$ moyennes avec des mesures appariées, l’ANOVA correspondante est remplacée par le test de Friedman en non paramétrique.
• Le test de Kruskal-Wallis et le test de Friedman sont adaptés quand la variable quantitative ne suit pas une distribution normale (selon le contexte du cours).
• Le choix du test dépend d’abord du schéma Groupe/Echantillon : indépendants pour Kruskal-Wallis, appariés pour Friedman.

💡 Astuce mémo

Indépendants → Kruskal-Wallis (K comme “K” pour “K groupes indépendants”), Appariés → Friedman (mêmes sujets, même “F”ramework).

📖 9. Comparaison de variances et test de Fisher

🔑 Notions clés & Définitions

• Test de Fisher : Test statistique utilisé pour comparer des variances entre deux groupes, en particulier quand les données sont indépendantes ou appariées selon le contexte du plan d’étude.
• Test de Levene : Test de comparaison de variances basé sur la dispersion, souvent utilisé pour limiter la sensibilité aux écarts à la normalité par rapport à d’autres tests.
• Test de Bartlett : Test de comparaison de variances fondé sur la variance et la normalité, généralement plus adapté quand l’hypothèse de normalité est raisonnable.
• Degrés de liberté ddl : Paramètre $ddl$ qui fixe la loi de référence du test khi-deux et dépend des nombres de lignes et de colonnes du tableau de contingence.

📝 Points essentiels

• Pour comparer 2 variances, on utilise le test de Fisher quand les groupes sont indépendants ou appiariés selon le plan.
• Pour comparer $k$ variances, on utilise des tests adaptés aux groupes indépendants ou appariés, notamment Levene ou Bartlett.
• Le test de Levene est associé à la comparaison de variances pour des groupes indépendants/appariés dans l’arbre de décision.
• Le test de Bartlett est aussi utilisé pour la comparaison de $k$ variances dans l’arbre de décision.
• Dans un tableau de contingence, les degrés de liberté du test khi-deux valent $ddl=(\text{nombre de lignes}-1)\times(\text{nombre de colonnes}-1)$.

💡 Astuce mémo

Fisher = variances à comparer (2 groupes) ; Levene/Bartlett = variances à comparer (k groupes).

📖 10. Tests d’association et corrélation Pearson Spearman

🔑 Notions clés & Définitions

• Test de Pearson : Test paramétrique mesurant l’association linéaire entre deux variables quantitatives via le coefficient de corrélation $r$.
• Coefficient de corrélation de Pearson : Mesure standardisée de la liaison linéaire entre deux variables quantitatives, notée $r$, calculée à partir de la covariance et des écarts-types.
• Test de Spearman : Test non paramétrique évaluant l’association monotone entre deux variables quantitatives en utilisant les rangs et $ho$.
• Coefficient de corrélation de Spearman : Mesure d’association basée sur les rangs, notée $ho$, calculée à partir de la somme des carrés des différences de rangs.
• Association par corrélation : Approche statistique reliant deux variables quantitatives à l’aide d’un coefficient de corrélation plutôt que d’un test d’égalité de moyennes.

📝 Points essentiels

• Pearson teste l’association linéaire entre deux variables quantitatives à partir de $r$ et d’un test $t$.
• Le test de Pearson utilise $t=\dfrac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$ avec $\mathrm{DDL}=n-2$.
• La décision se fait avec une valeur critique de Student : on ne rejette $H_0$ si $t\le t_{crit}$ et on rejette $H_0$ si $t>t_{crit}$.
• La formule de $r$ s’appuie sur la covariance : $\mathrm{Cov}(X,Y)=\dfrac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{n-1}$ et $r=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{s_x s_y}$.
• Spearman teste une association monotone en attribuant des rangs, puis en calculant $\rho=1-\dfrac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}$.
• Le test de Spearman utilise $t=\rho\sqrt{\dfrac{n-2}{1-\rho^2}}$ avec $\mathrm{DDL}=n-2$ et la même règle de décision par comparaison à $t_{crit}$.

💡 Astuce mémo

Pearson = $r$ sur valeurs (linéaire) ; Spearman = $\rho$ sur rangs (monotone).

📊 Tableaux de synthèse

Choix du test selon Groupe/Échantillon et nature paramétrique

Association entre variables quantitatives

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre statistique descriptive et inférentielle : la première décrit (box plot, IQR) tandis que la seconde décide via H0/H1 et une règle de rejet.
2. Inverser la règle de décision : confondre p-value ≤ α (rejeter H0) avec p-value > α (ne pas rejeter H0).
3. Mélanger bilatéral et unilatéral : utiliser une valeur critique bilatérale quand l’alternative n’est que d’un seul côté (ou l’inverse).
4. Se tromper de schéma Groupe/Échantillon : appliquer Mann-Whitney à des mesures appariées (ou Wilcoxon à des groupes indépendants).
5. Confondre les notations de dispersion/exclusion : utiliser Q1−1,5·IQR et Q3+1,5·IQR comme si c’était l’IQR lui-même (l’IQR = Q3−Q1).
6. Pour Pearson/Spearman, confondre la base de calcul : Pearson sur valeurs (r), Spearman sur rangs (ρ).
7. Pour Friedman/Kruskal-Wallis, confondre le contexte : Friedman = mesures répétées intra-participant (χ²), Kruskal-Wallis = k groupes indépendants (H).

✅ Checklist Examen

1. Distinguer statistique descriptive vs inférentielle et citer au moins un outil de chaque (box plot/IQR vs test d’hypothèse).
2. Expliquer population vs échantillon et relier l’échantillon à la logique d’inférence.
3. Définir H0 et H1 dans un test (ex. égalité vs différence de moyennes) et formuler la question statistique.
4. Énoncer la règle de décision générale avec p-value et α : p-value ≤ α rejette H0, sinon ne rejette pas H0.
5. Interpréter un box plot : repérer Q1, Q2 (médiane), Q3 et comprendre le rôle des bornes Q1−1,5·IQR et Q3+1,5·IQR pour les extrêmes.
6. Choisir le test selon normalité et schéma : Student vs Mann-Whitney (2 moyennes), Student apparié vs Wilcoxon (2 moyennes appariées).
7. Choisir le test pour k moyennes : ANNOVA vs Kruskal-Wallis (indépendants) et ANNOVA vs Friedman (appariés).
8. Choisir le test pour variances : Fisher pour 2 variances et Levene/Bartlett pour k variances, en reliant au plan indépendant/apparié.
9. Pour Student (2 moyennes indépendantes), écrire la statistique t et les degrés de liberté d.d.l = n1+n2−2 puis appliquer la règle t vs tcritique.
10. Pour Mann-Whitney/Wilcoxon, calculer U (avec la formule donnée) ou W (avec rangs) et appliquer la règle de comparaison à la valeur critique (U≤Ucrit ou U>Ucrit ; W≤Wcrit ou W>Wcrit selon le cours).
11. Pour ANOVA (k moyennes indépendantes), utiliser F = MSbetween/MSwithin, identifier d.f. entre et d.f. within, puis appliquer F vs Fcritique.
12. Pour corrélation, calculer/identifier Pearson (r et t avec DDL=n−2) et Spearman (ρ via rangs et t avec DDL=n−2) puis appliquer la décision par comparaison à tcritique.