Fiche de révision : Trigonométrie dans le triangle rectangle

📋 Plan du Cours

1. Cosinus, sinus et tangente en triangle rectangle
2. Vocabulaire des côtés et hypothénuse
3. Définitions trigonométriques via quotients de longueurs
4. Applications : calcul de cos et tangente
5. Applications : calcul de longueurs avec sinus et cosinus

📖 1. Cosinus, sinus et tangente en triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle rectangle : Triangle possédant un angle droit, ce qui permet d’utiliser des rapports de longueurs entre côtés.
• Cosinus : Fonction trigonométrique définie dans un triangle rectangle comme un quotient de longueurs lié à un angle aigu.
• Sinus : Fonction trigonométrique définie dans un triangle rectangle comme un quotient de longueurs lié à un angle aigu.
• Tangente : Fonction trigonométrique définie dans un triangle rectangle comme un quotient de longueurs lié à un angle aigu.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle rectangle, on considère un angle aigu $N$ pour définir cosinus, sinus et tangente.
• Le cosinus de $N$ relie le côté adjacent à $N$ et l’hypoténuse.
• Le sinus de $N$ relie le côté opposé à $N$ et l’hypoténuse.
• La tangente de $N$ relie le côté opposé à $N$ et le côté adjacent à $N$.
• Les rapports utilisent uniquement des longueurs de côtés du triangle rectangle.

💡 Astuce mémo

Cos = adjacent/hypo ; Sin = opposé/hypo ; Tan = opposé/adjacent.

📖 2. Vocabulaire des côtés et hypothénuse

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse : Côté du triangle rectangle opposé à l’angle droit, c’est le plus long et il sert de référence dans les quotients trigonométriques.
• Côté adjacent : Côté qui forme l’angle considéré avec l’autre côté de l’angle, et qui intervient dans cosinus et tangente.
• Côté opposé : Côté qui ne touche pas l’angle considéré, mais qui est en face de cet angle, et qui intervient dans sinus et tangente.

📝 Points essentiels

• Le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse.
• Pour un angle aigu $aci$, les deux côtés qui forment cet angle sont appelés côté adjacent et côté opposé selon leur position par rapport à l’angle.
• Dans l’exemple, le triangle $ACB$ est rectangle en $A$, ce qui fixe l’hypoténuse comme le côté opposé à $A$.
• Le côté adjacent à l’angle $aci$ est noté $BA$ dans l’exemple.
• Le côté opposé à l’angle $aci$ est noté $AB$ dans l’exemple.

💡 Astuce mémo

Hypoténuse = opposée à l’angle droit ; Adjacent = touche l’angle ; Opposé = en face.

📖 3. Définitions trigonométriques via quotients de longueurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Quotient de longueurs : Rapport entre deux longueurs de côtés du triangle rectangle utilisé pour définir les fonctions trigonométriques.
• Angle aigu : Angle strictement inférieur à $90°$ dans un triangle rectangle, utilisé pour définir les rapports trigonométriques.

📝 Points essentiels

• Pour un triangle rectangle et un angle aigu $N$, le cosinus vaut (côté adjacent à $N$)/(hypoténuse).
• Pour un triangle rectangle et un angle aigu $N$, le sinus vaut (côté opposé à $N$)/(hypoténuse).
• Pour un triangle rectangle et un angle aigu $N$, la tangente vaut (côté opposé à $N$)/(côté adjacent à $N$).
• Dans l’exemple, $\cos BCA = AC/BC$ et $\sin BCA = AB/BC$.
• Dans l’exemple, $\tan CBA = AC/AB$.

💡 Astuce mémo

Hypoténuse au dénominateur pour cos et sin ; opposé/adjacent pour tan.

📖 4. Applications : calcul de cos et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul de cosinus : Détermination numérique du cosinus d’un angle à partir des longueurs connues dans un triangle rectangle.
• Calcul de tangente : Détermination numérique de la tangente d’un angle à partir des longueurs connues dans un triangle rectangle.

📝 Points essentiels

• Pour calculer $\cos(aci)$ et $\tan(aci)$, on commence par repérer sur le schéma les côtés connus et le côté cherché.
• On identifie quels côtés correspondent à adjacent, opposé et hypoténuse par rapport à l’angle $aci$.
• On écrit l’égalité trigonométrique qui met en relation les deux côtés connus avec la fonction demandée.
• Le calcul de $\cos(aci)$ utilise le quotient (côté adjacent)/(hypoténuse).
• Le calcul de $\tan(aci)$ utilise le quotient (côté opposé)/(côté adjacent).

💡 Astuce mémo

Cherche d’abord adjacent/opposé/hypoténuse, puis applique le bon quotient.

📖 5. Applications : calcul de longueurs avec sinus et cosinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution d’une égalité trigonométrique : Étape consistant à transformer une relation de type $\sin(\cdot)=\frac{\text{longueur}}{\text{longueur}}$ ou $\cos(\cdot)=\frac{\text{longueur}}{\text{longueur}}$ pour isoler la longueur inconnue.
• Isoler la longueur inconnue : Technique algébrique utilisée après avoir écrit le bon quotient trigonométrique pour obtenir la valeur numérique du côté demandé.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple, on utilise $\sin(aci)=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$ pour trouver l’hypoténuse $x$.
• Avec $\angle(aci)=30°$ et un côté opposé de $6\,\text{cm}$, on écrit $\sin 30°=\frac{6}{x}$.
• Comme $\sin 30°=0{,}5$, on obtient $x=\frac{6}{0{,}5}=12\,\text{cm}$.
• La vérification donnée consiste à calculer $\cos(aci)=\frac{6}{12}=0{,}5$.
• La méthode générale proposée est : repérer les deux côtés connus, écrire l’égalité trigonométrique correspondante, puis résoudre.

💡 Astuce mémo

Sin pour opposé/hypo : $\sin\theta=\frac{op}{hyp}$ donc $hyp=\frac{op}{\sin\theta}$.

📊 Tableaux de synthèse

Cosinus vs sinus (même angle aigu)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre côté adjacent et côté opposé par rapport à l’angle choisi, ce qui inverse les quotients de cosinus/sinus/tangente.
2. Oublier que l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, donc le seul côté qui sert de dénominateur pour cos et sin.
3. Utiliser la tangente comme si elle avait l’hypoténuse au dénominateur : $\tan$ utilise opposé/adjacent.
4. Prendre $30°$ sans utiliser la valeur $\sin 30°=0{,}5$ quand le calcul numérique est demandé.
5. Écrire une égalité trigonométrique avec les mauvais côtés connus, puis résoudre une équation qui ne correspond pas au triangle.

✅ Checklist Examen

1. Savoir identifier l’hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé pour un angle aigu donné dans un triangle rectangle.
2. Savoir écrire $\cos N=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\sin N=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ et $\tan N=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$.
3. Savoir calculer $\cos(\cdot)$ et $\tan(\cdot)$ à partir de longueurs repérées sur le schéma.
4. Savoir calculer une longueur inconnue en utilisant une relation de sinus ou de cosinus et en isolant la variable.
5. Savoir vérifier un résultat en réutilisant une autre relation trigonométrique quand le cours le propose (exemple avec $\cos(aci)=0{,}5$).