Fiche de révision : Variables continues et lois associées

📋 Plan du Cours

1. Variables aléatoires continues
2. Fonction densité probabilité
3. Fonction de répartition
4. Lois continues usuelles
5. Variables discrètes
6. Variables marginales
7. Indépendance variables
8. Somme de variables
9. Covariance et variance
10. Lois normales

📖 1. Variables aléatoires continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Variables aléatoires continues (VAC) : Variable aléatoire X dont l’ensemble des valeurs possibles DX est infini et non dénombrable. Elle peut prendre n’importe quelle valeur dans un intervalle ou un ensemble infini non dénombrable.

• Ensemble des valeurs possibles DX : L’ensemble infini non dénombrable dans lequel la variable X peut prendre ses valeurs.

• Fonction densité de probabilité (f(x)) : Fonction positive (f(x) ≥ 0), intégrable sur IR, qui caractérise une variable continue. Elle vérifie :
  $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$
  La probabilité que X prenne une valeur dans un intervalle [α, β] est donnée par :
  $P(\alpha \leq X \leq \beta) = \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \, dx$

• Propriétés de la densité f(x) :

  • f(x) ≥ 0 pour tout x.
  • La densité est intégrable sur IR, avec la somme des intégrales sur IR égale à 1.

• Caractérisation par la fonction de répartition FX(x) : La variable X est caractérisée par sa fonction de répartition FX(x), définie par :
  $FX(x) = P(X \leq x)$
  Elle est continue, croissante, et limite à 0 en -∞ et à 1 en +∞. La densité de probabilité f(x) est la dérivée de FX(x) :
  $f(x) = FX'(x)$

• Propriétés de FX(x) :

  • Continue sur IR.
  • Croissante.
  • Limite à 0 quand x → -∞.
  • Limite à 1 quand x → +∞.

• Lien entre densité et fonction de répartition :
  $f(x) = \frac{d}{dx} FX(x)$

• Caractérisation d’une variable continue : La densité de probabilité f(x) permet de décrire complètement la distribution de X via FX(x). La fonction FX(x) est continue, croissante, et limite à 0 en -∞ et à 1 en +∞.

📝 Points essentiels

• Une variable aléatoire continue possède un ensemble de valeurs possibles infini non dénombrable, caractérisé par une densité de probabilité f(x).
• La densité f(x) doit être positive, intégrable, et sa somme intégrale sur IR doit être égale à 1.
• La fonction de répartition FX(x) est continue, croissante, limite à 0 en -∞ et à 1 en +∞.
• La densité f(x) est la dérivée de FX(x) : f(x) = FX'(x).
• La probabilité qu’une variable X prenne une valeur dans un intervalle [α, β] est donnée par l’intégrale de f(x) sur cet intervalle.

💡 À retenir

Une variable aléatoire continue est entièrement caractérisée par sa densité de probabilité, dont la fonction de répartition FX(x) permet de connaître la probabilité que X prenne une valeur inférieure ou égale à x.

📖 2. Fonction densité probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction densité de probabilité (f(x)) : Fonction positive (f(x) ≥ 0) intégrable sur ℝ, telle que la probabilité qu'une variable continue X prenne une valeur dans un intervalle [α, β] est donnée par l'intégrale de f(x) sur cet intervalle. Formellement, si X est une variable continue, alors :
  $P\{\alpha \leq X \leq \beta\} = \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \, dx$
• Lien avec la fonction de répartition (FX(x)) : La densité f(x) est la dérivée de la fonction de répartition FX(x), c’est-à-dire :
  $f(x) = FX'(x)$
• Propriétés de la densité f(x) :
  • f(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ
  • L’intégrale de f(x) sur ℝ est égale à 1 :
    $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$
• Densité de probabilité d'une variable continue : Fonction qui caractérise complètement la loi d'une variable aléatoire continue, permettant de calculer toutes ses probabilités par intégration.

📝 Points essentiels

• La fonction de densité f(x) doit être positive et intégrable sur ℝ, avec une intégrale totale égale à 1.
• La fonction de répartition FX(x) d’une variable continue est continue, croissante, et limite à 0 en -∞ et à 1 en +∞.
• La densité f(x) est la dérivée de FX(x) :
  $f(x) = FX'(x)$
• La probabilité qu’une variable X prenne une valeur dans un intervalle [α, β] est donnée par l’intégrale de f(x) sur cet intervalle.

💡 À retenir

La densité de probabilité f(x) d’une variable continue est une fonction positive intégrable dont l’intégrale sur ℝ vaut 1, et elle est liée à la fonction de répartition FX(x) par sa dérivée.

📖 3. Fonction de répartition

🔑 Notions clés & Définitions

Fonction de répartition FX(x) :
Définie pour une variable aléatoire X, elle associe à chaque réel x la probabilité que X prenne une valeur inférieure ou égale à x, soit :
$FX(x) = P(X \leq x)$
Elle est une fonction continue et croissante sur IR.

Propriétés de FX(x) :

• FX(x) est continue sur IR.
• FX(x) est croissante : si x₁ ≤ x₂, alors FX(x₁) ≤ FX(x₂).
• Limites aux extrémités : $\lim_{x \to -\infty} FX(x) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} FX(x) = 1$.

Lien avec la densité de probabilité :
Pour une variable continue X, la fonction de répartition FX(x) peut être caractérisée par sa densité de probabilité f(x) :
$f(x) = FX'(x)$
où FX'(x) désigne la dérivée de FX(x).
Inversement, FX(x) est l'intégrale de f(x) :
$FX(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$

Caractérisation d'une variable continue :
Une variable X est dite continue si sa fonction de répartition FX(x) est une fonction continue, croissante, et si elle admet une densité de probabilité f(x) telle que :

• $f(x) \geq 0$ pour tout x,
• $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$.

📝 Points essentiels

• La fonction FX(x) donne la probabilité que X soit inférieure ou égale à x.
• FX(x) est continue, croissante, avec FX(-∞) = 0 et FX(+∞) = 1.
• La densité de probabilité f(x) d'une variable continue est la dérivée de FX(x) : $f(x) = FX'(x)$.
• FX(x) peut être obtenue par intégration de f(x) : $FX(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$.
• La caractérisation d'une variable continue repose sur la continuité de FX(x) et l'existence d'une densité f(x).

💡 À retenir

La fonction de répartition FX(x) est la clé pour caractériser une variable continue, étant une fonction continue, croissante, et reliée à la densité par sa dérivée.

📖 4. Lois continues usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

Lois continues usuelles : familles de lois de probabilité caractérisées par une densité de probabilité f(x), définies sur IR, avec des paramètres spécifiques.

Lois uniformes : loi où la densité est constante sur un intervalle [a, b], avec f(x) = 1/(b - a) si x ∈ [a, b], et 0 sinon.

• Paramètres : a, b (a < b)
• Espérance : (a + b)/2
• Variance : (b - a)²/12
• Médiane : (a + b)/2

Lois normales (ou gaussiennes) : loi caractérisée par une densité en forme de cloche, symétrique par rapport à la moyenne m.

• Paramètres : m (espérance), σ² (variance)
• Densité : f(x) = (1 / (σ√(2π))) * exp(- (x - m)² / (2σ²))
• Espérance : m
• Variance : σ²
• Médiane : m
• Propriétés : transformation linéaire, standardisation (X → U = (X - m)/σ) qui suit N(0,1)

Lois exponentielles (ou de Laplace) : loi caractérisée par une densité décroissante exponentielle.

• Loi exponentielle L(a) : f(x) = a * exp(-a x) pour x ≥ 0, 0 sinon
• Espérance : 1/a
• Variance : 1/a²
• Médiane : (ln 2)/a

Propriétés spécifiques :

• La densité f(x) est positive, intégrable sur IR, et sa fonction de répartition FX(x) est continue et croissante.
• La densité f(x) est liée à la fonction de répartition FX(x) par : f(x) = FX’(x).
• La médiane est le point où FX(x) = 0,5.

📝 Points essentiels

• Les lois continues usuelles sont caractérisées par leur densité f(x) et leurs paramètres.
• La loi uniforme est définie sur [a, b], avec une densité constante, une espérance moyenne (a + b)/2, une variance (b - a)²/12, et une médiane égale à la moyenne.
• La loi normale N(m, σ²) possède une densité en forme de cloche, symétrique, avec m comme espérance et médiane, et σ² comme variance. La standardisation permet de ramener toute normale à N(0,1).
• La loi exponentielle L(a) est caractérisée par une décroissance exponentielle, avec une espérance 1/a et une variance 1/a².
• La fonction de répartition FX(x) est continue, croissante, et liée à la densité par la dérivée.

💡 À retenir

Les lois continues usuelles sont définies par leur densité spécifique et leurs paramètres, permettant de déterminer facilement leur espérance, variance, et médiane, tout en conservant une propriété de continuité et de croissance de leur fonction de répartition.

📖 5. Variables discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

Variables discrètes : Variables aléatoires qui prennent un nombre fini ou dénombrable de valeurs possibles. Leur ensemble de valeurs possibles DX est infini mais dénombrable.

Fonction de masse de probabilité (f(x)) : Fonction qui associe à chaque valeur x d’une variable discrète la probabilité que cette variable prenne cette valeur. Elle vérifie que :

• f(x) ≥ 0 pour tout x
• La somme des probabilités sur toutes les valeurs possibles est égale à 1 :
  $\sum_{x} f(x) = 1$

Exemples de variables discrètes : Nombre de succès dans une série d’épreuves, nombre d’étages d’un bâtiment, nombre d’appels reçus en une heure.

Comparaison avec variables continues :

• Variables discrètes prennent des valeurs dénombrables, alors que variables continues prennent un ensemble infini non dénombrable.
• La probabilité qu’une variable discrète prenne une valeur précise x est donnée par f(x).
• La probabilité qu’une variable continue prenne une valeur précise est nulle, seule la probabilité sur un intervalle est non nulle.

📝 Points essentiels

• La variable discrète est entièrement caractérisée par sa fonction de masse de probabilité (f(x)).
• La probabilité qu’elle prenne une valeur dans un intervalle [a, b] se calcule en sommant f(x) pour toutes les x dans cet intervalle.
• La somme des probabilités de toutes ses valeurs possibles est égale à 1.
• La fonction de répartition FX(x) d’une variable discrète est une fonction continue par saut, croissante, et limite à 0 en -∞ et à 1 en +∞.
• La probabilité qu’une variable discrète prenne une valeur précise x est f(x).
• La comparaison avec variables continues montre que, pour une variable discrète, la probabilité d’un point précis est positive, contrairement à une variable continue.

💡 À retenir

Les variables discrètes prennent un nombre dénombrable de valeurs et sont entièrement décrites par leur fonction de masse de probabilité, qui permet de calculer toutes leurs probabilités.

📖 6. Variables marginales

🔑 Notions clés & Définitions

• Variables marginales : Variables aléatoires obtenues en "marginalisant" une variable dans une distribution conjointe, c’est-à-dire en intégrant ou sommant la densité conjointe sur toutes les autres variables (voir vecteurs aléatoires continus).
• Densités marginales : Fonction de densité de probabilité d’une variable marginale, obtenue en intégrant la densité conjointe sur toutes les autres variables (voir vecteurs aléatoires continus).
• Fonctions de répartition marginales : Fonction de répartition d’une variable marginale, définie comme la probabilité que cette variable soit inférieure ou égale à une valeur donnée, obtenue en intégrant la densité conjointe ou en utilisant la fonction de répartition conjointe (voir vecteurs aléatoires continus).
• Indépendance des variables : Deux variables X et Y sont indépendantes si leur densité conjointe se factorise en produit de leurs densités marginales, c’est-à-dire :
  $f_{X,Y}(x,y) = g_X(x) \times h_Y(y)$
  où $g_X(x)$ et $h_Y(y)$ sont respectivement les densités marginales de X et Y (voir vecteurs aléatoires continus, définition d’indépendance).

📝 Points essentiels

• La densité marginale $g_X(x)$ d’une variable X est obtenue par :
  $g_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,y) dy$
  pour un vecteur (X,Y) continu, ou par somme pour une distribution discrète.
• La fonction de répartition marginale $G_X(x)$ est donnée par :
  $G_X(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} g_X(t) dt$
• La dépendance ou indépendance entre variables X et Y se vérifie via la factorisation de la densité conjointe. Si cette factorisation est vérifiée, alors :
  $f_{X,Y}(x,y) = g_X(x) \times h_Y(y)$
  ce qui implique que les variables sont indépendantes.
• En général, les fonctions de répartition marginales ne permettent pas de déduire directement la fonction de répartition du couple (X,Y).

💡 À retenir

Les variables marginales sont obtenues par intégration ou sommation de la densité conjointe, et leur indépendance se caractérise par la factorisation de la densité conjointe en produit des densités marginales.

📖 7. Indépendance variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance variables : Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si la connaissance de l'une n'apporte aucune information sur l'autre, ce qui se traduit par une relation spécifique entre leur densité conjointe et leurs densités marginales. (voir aussi "densités marginales" et "densité jointe" dans la section 8)

• Critère d'indépendance basé sur la densité jointe et marginale : X et Y sont indépendantes si et seulement si leur densité conjointe f(x, y) est égale au produit de leurs densités marginales g(x) et h(y) pour tous x, y dans leur domaine :
  $f(x, y) = g(x) \times h(y)$

• Propriétés de l'indépendance :

  • Si X et Y sont indépendantes, alors leurs densités marginales déterminent leur densité jointe par multiplication.
  • L'indépendance implique que la densité conjointe se décompose en produit des marginales.

• Conséquences sur la covariance :

  • Si X et Y sont indépendantes, alors leur covariance est nulle :
    $\text{Cov}(X, Y) = 0$
  • La nullité de la covariance ne garantit pas l'indépendance (voir "Covariance et indépendance" dans la section 9).

📝 Points essentiels

• La définition d’indépendance repose sur la relation entre la densité conjointe et les densités marginales : f(x, y) = g(x) × h(y).
• La propriété fondamentale est que l’indépendance implique que la densité conjointe se factorise en produit des marginales.
• La covariance entre deux variables indépendantes est toujours nulle, mais l'inverse n’est pas toujours vrai : une covariance nulle ne garantit pas l’indépendance.
• Pour des variables normales, la propriété { (X, Y) indépendantes } est équivalente à { Cov(X, Y) = 0 }.

💡 À retenir

L’indépendance de deux variables aléatoires se caractérise par la factorisation de leur densité conjointe en produit de leurs densités marginales, ce qui entraîne que leur covariance est nulle, mais une covariance nulle ne suffit pas toujours à assurer leur indépendance sauf dans le cas des lois normales.

📖 8. Somme de variables

🔑 Notions clés & Définitions

Somme de variables (S = X + Y) : Variable aléatoire résultant de l'addition de deux variables X et Y.
Espérance de la somme (E(S)) : La moyenne ou valeur attendue de la variable somme S, calculée par E(S) = E(X) + E(Y).
Densité de la somme (fₛ) : Fonction de densité de probabilité de la variable somme S. Si X et Y sont indépendantes, cette densité est la convolution des densités de X et Y, notée fₓ * hᵧ.
Convolution des densités (fₓ * hᵧ) : Opération mathématique permettant de déterminer la densité de la somme de deux variables indépendantes, définie par :
$fₓ * hᵧ (s) = \int_{-\infty}^{+\infty} fₓ(t) \, hᵧ(s - t) \, dt$
Elle représente la densité de la somme lorsque X et Y sont indépendantes.

📝 Points essentiels

• La somme S = X + Y possède une espérance E(S) = E(X) + E(Y).
• La densité de la somme, si X et Y sont indépendantes, est la convolution de leurs densités respectives :
  $fₛ(s) = (fₓ * hᵧ)(s)$
• La convolution est une opération intégrale qui combine deux densités pour obtenir celle de leur somme.
• La covariance de la somme est liée à celle des variables originales par :
  $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 \, Cov(X, Y)$
• Si X et Y sont indépendantes, alors Cov(X, Y) = 0, et la variance de la somme se simplifie à :
  $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$
• La propriété d’indépendance implique que la densité conjointe est le produit des densités marginales :
  $f_{X,Y}(x,y) = fₓ(x) \times hᵧ(y)$
• La covariance et le coefficient de corrélation linéaire sont des outils pour analyser la dépendance entre variables.

💡 À retenir

La somme de deux variables aléatoires, si elles sont indépendantes, possède une densité obtenue par convolution de leurs densités, et son espérance est la somme des espérances individuelles. La covariance influence la variance de la somme, mais si les variables sont indépendantes, cette covariance est nulle, simplifiant ainsi le calcul de la variance.

📖 9. Covariance et variance

🔑 Notions clés & Définitions

Variance (V(X)) : La variance d'une variable aléatoire X est un moment centré d’ordre 2, défini par $V(X) = E[(X - E[X])^2]$. Elle mesure la dispersion de X autour de son espérance.

Covariance (Cov(X, Y)) : La covariance entre deux variables aléatoires X et Y est définie par $Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]$. Elle indique la tendance à varier conjointement.

Relation entre covariance et indépendance : Si X et Y sont indépendantes, alors $Cov(X, Y) = 0$. En revanche, une covariance nulle n’implique pas nécessairement l’indépendance (voir section 7).

Coefficient de corrélation linéaire (ρ) : C’est un nombre sans dimension compris entre -1 et +1, défini par $\rho = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{V(X) V(Y)}}$. Il mesure la force et la direction de la relation linéaire entre X et Y.

📝 Points essentiels

• La variance est un moment d’ordre 2 qui quantifie la dispersion d’une variable autour de son espérance.
• La covariance est bilinéaire, symétrique, et mesure la dépendance linéaire entre deux variables.
• La relation $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 Cov(X, Y)$ relie variance et covariance.
• Si X et Y sont indépendantes, alors $Cov(X, Y) = 0$, ce qui simplifie la variance de la somme.
• Le coefficient de corrélation ρ permet d’évaluer la force de la relation linéaire, avec ρ = ±1 indiquant une relation parfaite.

💡 À retenir

La covariance et la variance sont des mesures fondamentales de la dispersion et de la dépendance linéaire entre variables, la covariance étant directement liée à la force de cette dépendance.

📖 10. Lois normales

🔑 Notions clés & Définitions

• Lois normales : La loi normale, ou loi de Gauss, est une famille de lois continues caractérisées par leur densité de probabilité spécifique, souvent notée N(m, σ²), où m est la moyenne (espérance) et σ² la variance. La loi normale centrée réduite, notée N(0,1), est un cas particulier avec m=0 et σ²=1.

• Propriétés de la loi normale : Pour une variable X suivant une loi normale N(m, σ²), toute transformation linéaire Y = λX + μ est aussi une loi normale, avec m' = λm + μ et σ' = |λ|σ. La propriété de symétrie est essentielle, notamment pour la loi centrée réduite.

• Standardisation : Opération consistant à transformer une variable normale X ~ N(m, σ²) en une variable centrée réduite U = (X - m)/σ, qui suit la loi N(0,1). Cette opération permet de comparer ou d'utiliser la table de la loi normale standard.

• Transformation linéaire : Si X ~ N(m, σ²), alors toute transformation linéaire Y = λX + μ est également normale, avec m' = λm + μ et σ' = |λ|σ. La transformation conserve la forme de la loi normale.

• Lois normales multivariées : La loi normale multivariée concerne un vecteur aléatoire [X₁, X₂, ..., Xₙ] dont la densité de probabilité est déterminée par une moyenne vectorielle et une matrice de covariance. La propriété clé est que toute combinaison linéaire de variables normales indépendantes est aussi une variable normale.

📝 Points essentiels

• La loi normale est entièrement caractérisée par ses paramètres m (moyenne) et σ² (variance).
• La densité de probabilité d'une variable normale X ~ N(m, σ²) est donnée par une fonction spécifique, symétrique autour de m.
• La loi normale centrée réduite N(0,1) sert de référence pour toutes les autres lois normales via la standardisation.
• Toute transformation linéaire d'une variable normale reste une loi normale, avec des paramètres modifiés selon la transformation.
• La loi normale multivariée généralise cette propriété à plusieurs variables, avec une densité dépendant de la moyenne vectorielle et de la matrice de covariance.

💡 À retenir

La loi normale, grâce à ses propriétés de transformation linéaire et de standardisation, est fondamentale pour modéliser et analyser des variables continues, notamment en statistique et en probabilités. La standardisation permet de ramener toute variable normale à la loi centrée réduite, facilitant ainsi les calculs et les comparaisons.

📅 Repères chronologiques

(aucun date ou événement daté explicitement mentionné, section omise)

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre densité f(x) et fonction de répartition FX(x) : la densité est la dérivée de FX(x).
2. Oublier que la densité doit être positive et intégrable, avec une somme totale égale à 1.
3. Confondre variables discrètes et continues : pour les discrètes, on utilise une somme, pas une intégrale.
4. Ne pas vérifier que FX(x) tend vers 0 en -∞ et vers 1 en +∞ pour une variable continue.
5. Confondre la médiane et l’espérance dans les lois normales ou uniformes.
6. Mauvaise utilisation de la formule de probabilité dans un intervalle : intégrale de f(x), pas somme.
7. Confondre la loi uniforme avec d’autres lois à densité constante sur un intervalle.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’une variable aléatoire continue et son ensemble DX.
2. Savoir que la densité f(x) est positive, intégrable, et que $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$.
3. Expliquer la relation entre densité f(x) et fonction de répartition FX(x) : f(x) = FX'(x).
4. Définir la fonction de répartition FX(x) et ses propriétés : continue, croissante, limite à 0 en -∞ et 1 en +∞.
5. Savoir calculer une probabilité dans un intervalle via l’intégrale de f(x).
6. Connaître la loi uniforme : densité, espérance, variance, médiane.
7. Connaître la loi normale : formule de la densité, propriétés, standardisation.
8. Comprendre la loi exponentielle : formule, espérance, décroissance.
9. Savoir différencier variables discrètes et continues dans le contexte des lois.
10. Maîtriser la relation entre densité et fonction de répartition pour une variable continue.
11. Identifier les propriétés essentielles de FX(x) et f(x) pour une variable continue.
12. Vérifier la limite de FX(x) en -∞ et +∞.