Mouvement dans un champ uniforme et gravitation : fiche de révision

1Le projectile dans un champ de pesanteur uniforme

Système : projectile de masse m en chute libre (seul le poids agit, frottements négligés). Deuxième loi de Newton : m·a = m·g, donc a = g — l'accélération est VERTICALE, vers le bas, de norme g ≈ 9,81 m·s⁻², INDÉPENDANTE de la masse.

Avec un lancer depuis O à la vitesse v₀ inclinée d'un angle α sur l'horizontale (repère : x horizontal, z vertical ascendant), on intègre deux fois : aₓ = 0 et a_z = −g donnent vₓ = v₀ cos α, v_z = −g·t + v₀ sin α, puis les ÉQUATIONS HORAIRES x(t) = v₀ cos α · t et z(t) = −(1/2)g·t² + v₀ sin α · t.

En éliminant t : z = −g x²/(2 v₀² cos²α) + x tan α — l'équation de la TRAJECTOIRE, une parabole. Le mouvement horizontal est uniforme, le mouvement vertical uniformément varié.

2Exemple corrigé : portée d'un tir

Un ballon est frappé du sol à v₀ = 20 m·s⁻¹ sous α = 30°. Portée (retombée à z = 0) ?

z(t) = 0 ⟺ t(−(1/2)g·t + v₀ sin α) = 0, d'où le temps de vol t_v = 2v₀ sin α/g = 2 × 20 × 0,5/9,81 ≈ 2,0 s. Portée : x_max = v₀ cos α × t_v = 20 × (√3/2) × 2,0 ≈ 35 m. Flèche (altitude maximale, atteinte quand v_z = 0 à t = t_v/2) : z_max = (v₀ sin α)²/(2g) = 100/(2 × 9,81) ≈ 5,1 m.

Vérifications : symétrie de la parabole (montée = descente), homogénéité des formules, et cohérence des ordres de grandeur. Piège d'unités : α en degrés sur la calculatrice en mode degrés — l'erreur radians/degrés est un grand classique.

3Gravitation et mouvement des satellites

Loi de gravitation universelle : deux corps de masses M et m à distance r s'attirent avec une force F = G·M·m/r², G ≈ 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻². Pour un satellite en ORBITE CIRCULAIRE de rayon r autour d'un astre de masse M, la deuxième loi de Newton donne une accélération centripète : G·M/r² = v²/r, d'où la vitesse orbitale v = √(G·M/r) — indépendante de la masse du satellite, décroissante avec l'altitude.

Période de révolution : T = 2πr/v = 2π√(r³/(G·M)), d'où la TROISIÈME LOI DE KEPLER : T²/r³ = 4π²/(G·M), constante pour tous les satellites d'un même astre — elle permet de « peser » l'astre central. Satellite géostationnaire : il reste à la verticale d'un même point de l'équateur, donc T = 23 h 56 min (jour sidéral), orbite équatoriale à environ 36 000 km d'altitude.

4Les lois de Kepler

Première loi (orbites) : dans le référentiel héliocentrique, chaque planète décrit une ELLIPSE dont le Soleil occupe un des foyers. Deuxième loi (aires) : le segment Soleil-planète balaie des aires égales pendant des durées égales — la planète va plus vite au périhélie (point le plus proche) qu'à l'aphélie. Troisième loi (périodes) : T²/a³ est identique pour toutes les planètes du système (a = demi-grand axe de l'ellipse).

Le mouvement circulaire uniforme est le cas particulier d'ellipse de foyers confondus : c'est dans ce cadre qu'on démontre la troisième loi en Terminale. Pièges : confondre r (rayon de l'ORBITE, mesuré depuis le centre de l'astre) et l'altitude h (r = R_astre + h) ; oublier que v et T ne dépendent pas de la masse du satellite.