Analyse et opérations sur les nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Nombres complexes - définition
2. Représentation géométrique
3. Partie réelle et imaginaire
4. Conjugué d’un nombre complexe
5. Forme exponentielle
6. Équations polynomiales du second degré
7. Racines carrées de complexes
8. Forme trigonométrique et module
9. Formule d’Euler et de Moivre
10. Argument et forme exponentielle
11. Racines n-ièmes de complexes
12. Applications trigonométriques

📖 1. Nombres complexes - définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Ensemble de nombres de la forme $z = a + bi$, où $a, b \in \mathbb{R}$ et $i$ est l’unité imaginaire vérifiant $i^2 = -1$.
  Point essentiel : Représenté géométriquement par un point du plan avec coordonnées $(a, b)$.

• Partie réelle et partie imaginaire :

  • $\operatorname{Re}(z) = a$ (composante horizontale)
  • $\operatorname{Im}(z) = b$ (composante verticale)
    Point clé : Ces notions sont des nombres réels.

• Forme algébrique : Expression $z = a + bi$ avec $a, b \in \mathbb{R}$.
  Point à retenir : Unicité de l’écriture.

• Conjugué d’un nombre complexe : $\overline{z} = a - bi$.
  Point essentiel : Symétrie par rapport à l’axe des abscisses dans le plan.

• Module d’un nombre complexe : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
  Point clé : Représente la distance du point à l’origine dans le plan.