Nombres complexes — définition ?
Sont de la forme $a+bi$, avec $a,b ext{ réels}$.
Représentation géométrique — rôle ?
Visualiser un nombre comme un point dans le plan.
Partie réelle — rôle ?
Composante horizontale $a$ de $z=a+bi$.
Partie imaginaire — rôle ?
Composante verticale $b$ de $z=a+bi$.
Conjugué d’un nombre — définition ?
$a - bi$, symétrique de $z$ par rapport à l’axe des abscisses.
Module d’un complexe — définition ?
Distance à l’origine : $ oot{2} extstyle{a^2 + b^2}$.
Forme exponentielle — rôle ?
Exprimer $z$ par $|z| e^{i heta}$ pour opérations.
Équations du second degré — solution ?
Utilisent discriminant $ riangle$ et formule $z= rac{-b ext{±} oot{ riangle}}{2a}$.
Racines carrées de complexes — mécanisme ?
Utilisent forme trigonométrique ou exponentielle.
Forme trigonométrique — rôle ?
Représente $z=|z|( ext{cos} heta + i ext{sin} heta)$.
Formule d’Euler — relation ?
$e^{i heta}= ext{cos} heta + i ext{sin} heta$.
Formule de Moivre — utilité ?
Calculer $( ext{cos} heta + i ext{sin} heta)^n$.
Argument — définition ?
Angle $ heta$ tel que $z=|z| e^{i heta}$.
Racines n-ièmes — principe ?
$w_k=|z|^{1/n} e^{i( rac{ heta+2k extpi}{n})}$.
Applications trigonométriques — but ?
Simplifier expressions et résoudre équations.
Partie réelle — calcul ?
$ rac{z+ar{z}}{2}$.
Partie imaginaire — calcul ?
$ rac{z-ar{z}}{2i}$.
Conjugué — propriété ?
$ar{z} = a - bi$, $ar{ar{z}}=z$.
Module — propriété ?
$|zw|=|z||w|$, $|z/w|=|z|/|w|$.
Argument — propriété ?
$ ext{arg}(zw)= ext{arg}(z)+ ext{arg}(w)$.
Forme exponentielle — avantage ?
Simplifie multiplication, division, racines.
Racines n-ièmes — répartitions ?
Sur cercle de rayon $|z|^{1/n}$, réparties uniformément.
Application principale — en trigonométrie ?
Calculs de puissances et racines.
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1. Quelle est la définition d’un nombre complexe ?
2. Quelle formule relie l’exponentielle complexe à la représentation trigonométrique dans la contexte de la représentation géométrique des nombres complexes ?
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