Fiche de révision : Crise des vecteurs en géométrie

📋 Plan du Cours

1. Relations de direction, sens et colinéarité entre vecteurs
2. Somme et combinaison de vecteurs dans un plan
3. Équilibre d’un système par somme vectorielle des forces
4. Application de la relation de Chasles et alignement de points par colinéarité
5. Calcul de coordonnées d’un point à partir d’une relation vectorielle
6. Détermination des coordonnées d’un point pour former un parallélogramme et calcul du milieu du segment
7. Critère d’alignement de points par colinéarité de vecteurs et calculs associés
8. Calcul de distances dans un repère orthonormé et caractérisation d’un triangle rectangle isocèle par la réciproque du théorème de Pythagore

📖 1. Relations de direction, sens et colinéarité entre vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Direction d'un vecteur : la ligne droite dans laquelle le vecteur est orienté, caractérisée par l'alignement de ses points de départ et d'arrivée.
• Sens d'un vecteur : l'orientation précise du vecteur le long de sa direction, indiquant le point de départ vers le point d'arrivée.
• Vecteurs colinéaires : vecteurs qui sont parallèles, c'est-à-dire qui ont la même ou une direction opposée, même si leurs sens diffèrent.

📝 Points essentiels

• Deux vecteurs ont la même direction s'ils sont parallèles, même si leurs sens peuvent être opposés. Cela signifie qu'ils partagent une ligne droite d'orientation, sans obligation d'avoir la même orientation précise.
• Deux vecteurs ont le même sens s'ils sont colinéaires et orientés dans la même direction. Leur parallélisme est complété par une orientation identique, ce qui implique qu'ils pointent dans la même direction.
• Si deux vecteurs ont la même direction, ils sont colinéaires, même s'ils ont des sens opposés. La colinéarité ne dépend pas de l'orientation mais uniquement de l'alignement.
• Un vecteur opposé à un autre est obtenu en inversant son sens, soit $\vec{p} = -\vec{AB}$. Cela signifie que le vecteur a la même direction mais une orientation contraire.

💡 À retenir

La relation entre vecteurs en termes de direction, sens et colinéarité repose sur leur parallélisme et leur orientation. Deux vecteurs peuvent partager la même direction sans avoir le même sens, et l'inversion du sens d'un vecteur se traduit par un vecteur opposé.

📖 2. Somme et combinaison de vecteurs dans un plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Quad : vecteur qui relie deux points du plan, généralement noté $\vec{AB}$ pour le vecteur allant de A à B, avec des coordonnées définies par la différence des coordonnées de B et A.

• Begin{cases} : notation utilisée pour exprimer une relation ou une équation sous forme de cas ou de conditions, souvent pour décrire des égalités ou des relations entre vecteurs dans différentes situations.

📝 Points essentiels

• La somme de vecteurs s'obtient en additionnant leurs coordonnées respectives : si $\vec{AB} = (x_1, y_1)$ et $\vec{BC} = (x_2, y_2)$, alors $\vec{AB} + \vec{BC} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$. Cette opération permet de combiner plusieurs vecteurs en un seul vecteur résultant.

• Une combinaison linéaire de vecteurs consiste en une somme pondérée de ces vecteurs par des scalaires : si $k_1, k_2$ sont des scalaires, alors $k_1 \vec{AB} + k_2 \vec{BC}$ est une combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$. Elle permet de représenter un vecteur comme une somme de vecteurs de base, modulée par des coefficients.

• La relation $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$ illustre la propriété additive des vecteurs dans un plan : en partant du point A, la somme des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AD}$ donne le vecteur $\vec{AC}$. Cela montre que la somme de deux vecteurs issus du même point correspond à un vecteur direct entre le point de départ et le point d’arrivée final.

• La factorisation de vecteurs permet de simplifier des expressions vectorielles, par exemple $\frac{3}{2}(\vec{AB} + \vec{BC}) = \frac{3}{2} \vec{AC}$ : en utilisant la distributivité, on peut extraire un facteur scalaire pour réduire ou transformer une expression vectorielle, facilitant ainsi les calculs ou les simplifications.

💡 À retenir

Maîtriser la somme et la combinaison linéaire de vecteurs permet de manipuler efficacement leurs expressions dans le plan, notamment pour simplifier ou résoudre des relations vectorielles. La propriété additive et la factorisation sont des outils fondamentaux pour l’analyse vectorielle.

📖 3. Équilibre d’un système par somme vectorielle des forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Revient à faire la somme : Expression indiquant que l'addition de plusieurs vecteurs peut être réalisée en additionnant leurs coordonnées respectives.
• Somme des vecteurs revient : Propriété selon laquelle la somme de plusieurs vecteurs correspond à l'addition de leurs composantes horizontales et verticales.
• Faire la somme des coordonnées : Méthode consistant à additionner séparément les abscisses et les ordonnées des vecteurs pour obtenir le vecteur résultant.

📝 Points essentiels

• Un système est en équilibre si la somme vectorielle des forces qui s'exercent sur lui est le vecteur nul.
• La somme vectorielle des forces peut être vérifiée graphiquement en construisant la chaîne vectorielle et en constatant qu'elle revient au point de départ.
• La somme vectorielle des forces peut être calculée analytiquement en additionnant les coordonnées des vecteurs force.
• Si la somme des composantes horizontales et verticales des forces est nulle, alors le système est en équilibre.
• On choisit un point de départ quelconque, par exemple O et on construit graphiquement la somme des trois vecteurs. On remarque que l'on revient au point O, autrement dit la somme est nulle et donc le système est en équilibre.
• En physique, un système est équilibré lorsque la somme des forces qui s’exercent sur lui est nulle.

💡 À retenir

Un système est en équilibre si la somme vectorielle des forces qui s'exercent sur lui est le vecteur nul.

📖 4. Application de la relation de Chasles et alignement de points par colinéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de Chasles : relation vectorielle qui exprime la somme de deux vecteurs comme un vecteur unique, par exemple $\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE}$.

• begin{pmatrix} ... \end{pmatrix} : notation matricielle représentant un vecteur ou un point dans le plan ou l’espace, par exemple $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

• pmatrix} \quad \text{et} \quad end{pmatrix} : éléments de la notation matricielle, délimitant un vecteur ou un point.

📝 Points essentiels

• La relation de Chasles s'exprime par $\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE}$, permettant de décomposer un vecteur en la somme de deux autres vecteurs. Par exemple, dans un contexte géométrique, cela permet d’écrire que le vecteur reliant A à E est la somme du vecteur reliant A à D et du vecteur reliant D à E.

• La factorisation vectorielle permet d’écrire $\vec{AE} = \frac{3}{2} \vec{AC}$, ce qui indique que le vecteur $\vec{AE}$ est un multiple scalaire de $\vec{AC}$. Cela implique que ces deux vecteurs sont colinéaires.

• Lorsque $\vec{AE}$ est colinéaire à $\vec{AC}$, cela signifie que les vecteurs ont la même direction ou sont opposés. Par conséquent, les points A, E et C sont alignés, car ils se trouvent sur une même droite.

• La colinéarité de vecteurs est un critère d'alignement de points dans le plan : si deux vecteurs partagent la même direction, alors les points correspondants sont alignés. Cela permet de vérifier l’alignement en utilisant uniquement des vecteurs, sans recourir à des mesures d’angles ou de distances.

💡 À retenir

L’utilisation de la relation de Chasles et de la factorisation vectorielle permet de démontrer l’alignement de points en vérifiant la colinéarité de leurs vecteurs, ce qui constitue un critère efficace dans le plan.

📖 5. Calcul de coordonnées d’un point à partir d’une relation vectorielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ : valeurs numériques qui représentent la différence entre les coordonnées des points $A$ et $B$. Elles s’obtiennent en soustrayant respectivement les coordonnées de $A$ de celles de $B$.

• Coordonnées du vecteur $\vec{DC}$ : valeurs numériques correspondant à la différence entre les coordonnées du point $C$ et du point $D$. Elles sont exprimées en fonction des coordonnées de ces points.

• Point $D$ a pour coordonnées : position précise dans le repère, généralement notée $(x; y)$, permettant de localiser ce point à l’aide de ses coordonnées.

📝 Points essentiels

• Les coordonnées d’un vecteur $\vec{US}$ se déterminent en soustrayant les coordonnées du point $U$ de celles du point $S$. Plus précisément, si $U(x_U, y_U)$ et $S(x_S, y_S)$, alors :

• $

• \vec{US} = (x_S - x_U; y_S - y_U)

• $

• Une relation vectorielle comme $\vec{US} = 5\vec{RT} - 2\vec{ST}$ permet d’exprimer un vecteur en fonction d’autres vecteurs. En remplaçant chaque vecteur par ses coordonnées, on obtient une équation en coordonnées composantes.

• En égalant les coordonnées composantes, il est possible de former un système d’équations. La résolution de ce système permet de déterminer les coordonnées inconnues d’un point, comme $x_U$ et $y_U$.

• L’exemple montre que, par cette méthode, on peut obtenir que $x_U = 22$ et $y_U = -3$, en utilisant la relation vectorielle donnée et en résolvant le système d’équations.

💡 À retenir

Le calcul précis des coordonnées d’un point à partir d’une relation vectorielle repose sur l’expression des vecteurs en coordonnées, puis la résolution d’un système d’équations. Cette méthode permet de localiser exactement un point dans le plan.

📖 6. Détermination des coordonnées d’un point pour former un parallélogramme et calcul du milieu du segment

🔑 Notions clés & Définitions

• Point $M$ milieu du segment : Un point situé exactement à égale distance des extrémités d'un segment, ses coordonnées sont la moyenne arithmétique des coordonnées des deux points extrêmes.

📝 Points essentiels

• Le point M, centre du parallélogramme, est le milieu des diagonales [AC] et [BD].
• Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si $\vec{AB} = \vec{DC}$.

💡 À retenir

Les propriétés vectorielles permettent de construire un parallélogramme en déterminant précisément les coordonnées d'un point et de calculer le milieu d'un segment par la moyenne des coordonnées de ses extrémités.

📖 7. Critère d’alignement de points par colinéarité de vecteurs et calculs associés

🔑 Notions clés & Définitions

• Colinéaires : points dont les vecteurs reliant deux d’entre eux sont proportionnels, c’est-à-dire que les vecteurs ont la même direction. La colinéarité de deux vecteurs en dimension 2 se vérifie par le calcul du déterminant de leurs coordonnées, qui doit être nul.

📝 Points essentiels

• Les points $A$, $M$ et $E$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ sont colinéaires. La colinéarité de deux vecteurs en dimension 2 se teste en calculant le déterminant de leurs coordonnées : si ce déterminant est nul, alors les vecteurs sont colinéaires, et donc les points sont alignés.

• Dans l’exemple, les coordonnées de $\vec{AM}$ sont $\left(-\frac{3}{4}; -\frac{7}{2}\right)$ et celles de $\vec{AE}$ sont $(-2; -10)$. Le calcul du déterminant donne :

• $

• \left(-\frac{3}{4}\right) \times (-10) - (-2) \times \left(-\frac{7}{2}\right) = \frac{1}{2}

• $

• Ce résultat n’étant pas nul, les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points $A$, $M$ et $E$ ne sont pas alignés.

💡 À retenir

Le critère de colinéarité vectorielle, basé sur le calcul du déterminant, permet de vérifier rapidement si trois points sont alignés en dimension 2. La non-nulité du déterminant indique l’absence d’alignement.

📖 8. Calcul de distances dans un repère orthonormé et caractérisation d’un triangle rectangle isocèle par la réciproque du théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle rectangle isocèle : Une figure géométrique à trois côtés possédant un angle droit et deux côtés de même longueur.
• Réciproque du théorème de Pythagore : Une propriété affirmant que si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
• Muni d'un repère orthonormé : Un plan doté d'un système de coordonnées où les axes sont perpendiculaires et ont la même unité de mesure, permettant le calcul des distances entre points par la formule de la distance euclidienne.
• Après la réciproque du théorème : Une étape où, après avoir vérifié que le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, on conclut que le triangle est rectangle.
• Text{ est un triangle rectangle : Une affirmation indiquant qu'un triangle vérifie la condition que le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, ce qui implique qu'il possède un angle droit.

📝 Points essentiels

• Si deux côtés d'un triangle sont égaux, alors le triangle est isocèle.
• Dans l'exemple, le triangle ABE est rectangle en B et isocèle car AB = BE et AE^2 = AB^2 + BE^2.
• Comme d'autre part, $AB = BE$ le triangle $ABE$ est isocèle.

💡 À retenir

Si deux côtés d'un triangle sont égaux, alors le triangle est isocèle.

🧩 Compléments de couverture

1. Détail source à réviser : Page 1 --- CORRIGÉ DS5 Exercice 1 : 1) $\vec{p}$ est opposé au vecteur $\vec{AB}$ $\quad (\vec{AB} = -\vec{p}$ ou $\vec{p} = -\vec{AB})$ 2) $\vec{k}$ et $\vec{m}$ ont la même direction mais sont de sens oppos (Source: "Page 1 --- CORRIGÉ DS5 Exercice 1 : 1) $\vec{p}$ est opposé au vecteur $\vec{AB}$ $\quad (\vec{AB} = -\vec{p}$ ou $\vec{p} = -\vec{AB})$ 2) $\vec{k}$ et $\vec{m}$ ont la même direction mais sont de sens opposé. 3) $\vec{r}$ et $\vec{s}$ sont de même sens. 5) $\vec{r}$ et $\vec{s}$ ont la même direction donc ils sont colinéaires.")
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9. Détail source à réviser : est équilibré. 1ère méthode : (Graphique) On choisit un point de départ quelconque, par exemple O et on construit graphiquement la somme des trois vecteurs. On remarque que l'on revient au point O, autrement dit la somme (Source: "est équilibré. 1ère méthode : (Graphique) On choisit un point de départ quelconque, par exemple O et on construit graphiquement la somme des trois vecteurs. On remarque que l'on revient au point O, autrement dit la somme est nulle et donc le système est en équilibre. 2ème méthode : (En utilisant les coordonnées) Dans le repère dessiné, les coordonnées")
10. Détail source à réviser : la somme des trois vecteurs. On remarque que l'on revient au point O, autrement dit la somme est nulle et donc le système est en équilibre. 2ème méthode : (En utilisant les coordonnées) Dans le repère dessiné, les coordo (Source: "la somme des trois vecteurs. On remarque que l'on revient au point O, autrement dit la somme est nulle et donc le système est en équilibre. 2ème méthode : (En utilisant les coordonnées) Dans le repère dessiné, les coordonnées des vecteurs sont $\vec{F_1}(-2;1)$, $\vec{F_2}(2;3)$ et $\vec{F_3}(0;-4)$. La somme des vecteurs revient à faire")
11. Détail source à réviser : le système est en équilibre. 2ème méthode : (En utilisant les coordonnées) Dans le repère dessiné, les coordonnées des vecteurs sont $\vec{F_1}(-2;1)$, $\vec{F_2}(2;3)$ et $\vec{F_3}(0;-4)$. La somme des vecteurs r (Source: "le système est en équilibre. 2ème méthode : (En utilisant les coordonnées) Dans le repère dessiné, les coordonnées des vecteurs sont $\vec{F_1}(-2;1)$, $\vec{F_2}(2;3)$ et $\vec{F_3}(0;-4)$. La somme des vecteurs revient à faire la somme des coordonnées; abscisse d'un côté, ordonnée de l'autre ce qui donne : Abscisse : $-2 + 2 + 0 = 0$ Ordonnée :")
12. Détail source à réviser : vecteurs sont $\vec{F_1}(-2;1)$, $\vec{F_2}(2;3)$ et $\vec{F_3}(0;-4)$. La somme des vecteurs revient à faire la somme des coordonnées; abscisse d'un côté, ordonnée de l'autre ce qui donne : Abscisse : $-2 + 2 + 0 _(Source: "vecteurs sont$\vec{F_1}(-2;1)$,$\vec{F_2}(2;3)$et$\vec{F_3}(0;-4)$. La somme des vecteurs revient à faire la somme des coordonnées; abscisse d'un côté, ordonnée de l'autre ce qui donne : Abscisse :$-2 + 2 + 0 = 0$Ordonnée :$1 + 3 + (-4) = 0$. On obtient alors le vecteur de coordonnées$(0;0)$, c'est donc le vecteur nul et le système est")_
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17. Détail source à réviser : \vec{AC} $$ \vec{AE} = \frac{3}{2} \vec{AC} \quad \text{donc } \vec{AE} \text{ et } \vec{AC} \text{ sont colinéaires donc les points } A, E \text{ et } C \text{ sont alignés.} $Exercice 5 :$ \vec{RT} \begin{pmatri (Source: "\vec{AC} $$ \vec{AE} = \frac{3}{2} \vec{AC} \quad \text{donc } \vec{AE} \text{ et } \vec{AC} \text{ sont colinéaires donc les points } A, E \text{ et } C \text{ sont alignés.} $Exercice 5 :$ \vec{RT} \begin{pmatrix} -3 \ -3 \ -2 - (-1) \end{pmatrix} \quad \text{donc} \quad \vec{RT} \begin{pmatrix} -6 \ -1 \end{pmatrix} \quad \text{et}")
18. Détail source à réviser : donc les points } A, E \text{ et } C \text{ sont alignés.} $Exercice 5 :$ \vec{RT} \begin{pmatrix} -3 \ -3 \ -2 - (-1) \end{pmatrix} \quad \text{donc} \quad \vec{RT} \begin{pmatrix} -6 \ -1 \end{pmatrix} \quad \te (Source: "donc les points } A, E \text{ et } C \text{ sont alignés.} $Exercice 5 :$ \vec{RT} \begin{pmatrix} -3 \ -3 \ -2 - (-1) \end{pmatrix} \quad \text{donc} \quad \vec{RT} \begin{pmatrix} -6 \ -1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{SRT} \begin{pmatrix} -30 \ -5 \end{pmatrix} $$ \vec{ST} \begin{pmatrix} -3 \ -2 \end{pmatrix} \quad")
19. Détail source à réviser : \ -2 - (-1) \end{pmatrix} \quad \text{donc} \quad \vec{RT} \begin{pmatrix} -6 \ -1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{SRT} \begin{pmatrix} -30 \ -5 \end{pmatrix} $$ \vec{ST} \begin{pmatrix} -3 \ -2 \end{pmat (Source: "\ -2 - (-1) \end{pmatrix} \quad \text{donc} \quad \vec{RT} \begin{pmatrix} -6 \ -1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{SRT} \begin{pmatrix} -30 \ -5 \end{pmatrix} $$ \vec{ST} \begin{pmatrix} -3 \ -2 \end{pmatrix} \quad \text{donc} \quad \vec{ST} \begin{pmatrix} -5 \ -6 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad 2\vec{ST} \begin{pmatrix} -10 \ -12")
20. Détail source à réviser : \vec{SRT} \begin{pmatrix} -30 \ -5 \end{pmatrix} $$ \vec{ST} \begin{pmatrix} -3 \ -2 \end{pmatrix} \quad \text{donc} \quad \vec{ST} \begin{pmatrix} -5 \ -6 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad 2\vec{ST} \begin{pmatr (Source: "\vec{SRT} \begin{pmatrix} -30 \ -5 \end{pmatrix} $$ \vec{ST} \begin{pmatrix} -3 \ -2 \end{pmatrix} \quad \text{donc} \quad \vec{ST} \begin{pmatrix} -5 \ -6 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad 2\vec{ST} \begin{pmatrix} -10 \ -12 \end{pmatrix} $$ \vec{US} = 5\vec{RT} - 2\vec{ST} $donc$ \vec{US} \begin{pmatrix} -30 - (-10) \ -5 - (-12)")
21. Détail source à réviser : \quad \vec{ST} \begin{pmatrix} -5 \ -6 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad 2\vec{ST} \begin{pmatrix} -10 \ -12 \end{pmatrix} $$ \vec{US} = 5\vec{RT} - 2\vec{ST} $donc$ \vec{US} \begin{pmatrix} -30 - (-10) \ -5 (Source: "\quad \vec{ST} \begin{pmatrix} -5 \ -6 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad 2\vec{ST} \begin{pmatrix} -10 \ -12 \end{pmatrix} $$ \vec{US} = 5\vec{RT} - 2\vec{ST} $donc$ \vec{US} \begin{pmatrix} -30 - (-10) \ -5 - (-12) \end{pmatrix} \quad \text{d'où} \quad \vec{US} \begin{pmatrix} -20 \ 7 \end{pmatrix} $Or$ \vec{US} \begin{pmatrix} x_S - x_U")
22. Détail source à réviser : $$ \vec{US} = 5\vec{RT} - 2\vec{ST} $donc$ \vec{US} \begin{pmatrix} -30 - (-10) \ -5 - (-12) \end{pmatrix} \quad \text{d'où} \quad \vec{US} \begin{pmatrix} -20 \ 7 \end{pmatrix} $Or$ \vec{US} \begin{pmatrix} (Source: "$$ \vec{US} = 5\vec{RT} - 2\vec{ST} $donc$ \vec{US} \begin{pmatrix} -30 - (-10) \ -5 - (-12) \end{pmatrix} \quad \text{d'où} \quad \vec{US} \begin{pmatrix} -20 \ 7 \end{pmatrix} $Or$ \vec{US} \begin{pmatrix} x_S - x_U \ y_S - y_U \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \ 7 \end{pmatrix} $Donc$ x_S - x_U = -20 \quad \quad y_S - y_U = 7")
23. Détail source à réviser : \quad \text{d'où} \quad \vec{US} \begin{pmatrix} -20 \ 7 \end{pmatrix} $Or$ \vec{US} \begin{pmatrix} x_S - x_U \ y_S - y_U \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \ 7 \end{pmatrix} $Donc$ x_S - x_U = -20 \quad \qu (Source: "\quad \text{d'où} \quad \vec{US} \begin{pmatrix} -20 \ 7 \end{pmatrix} $Or$ \vec{US} \begin{pmatrix} x_S - x_U \ y_S - y_U \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \ 7 \end{pmatrix} $Donc$ x_S - x_U = -20 \quad \quad y_S - y_U = 7 $$ \Leftrightarrow 2 - x_U = -20 \quad \quad 4 - y_U = 7 $$ \Leftrightarrow -x_U = -22 \quad \quad -y_U = 3 $$")
24. Détail source à réviser : y_S - y_U \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \ 7 \end{pmatrix} $Donc$ x_S - x_U = -20 \quad \quad y_S - y_U = 7 $$ \Leftrightarrow 2 - x_U = -20 \quad \quad 4 - y_U = 7 $$ \Leftrightarrow -x_U = -22 \quad \qu (Source: "y_S - y_U \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \ 7 \end{pmatrix} $Donc$ x_S - x_U = -20 \quad \quad y_S - y_U = 7 $$ \Leftrightarrow 2 - x_U = -20 \quad \quad 4 - y_U = 7 $$ \Leftrightarrow -x_U = -22 \quad \quad -y_U = 3 $$ \Leftrightarrow x_U = 22 \quad \quad y_U = -3 $donc$U(22; -3)$ --- Page 3 --- Exercice 6 : [Graphique] Les")
25. Détail source à réviser : $\Leftrightarrow 2 - x_U = -20 \quad \quad 4 - y_U = 7$ $\Leftrightarrow -x_U = -22 \quad \quad -y_U = 3$ $\Leftrightarrow x_U = 22 \quad \quad y_U = -3$ donc $U(22; -3)$ --- Page 3 --- Exercice 6 : [Graphi (Source: "$\Leftrightarrow 2 - x_U = -20 \quad \quad 4 - y_U = 7$ $\Leftrightarrow -x_U = -22 \quad \quad -y_U = 3$ $\Leftrightarrow x_U = 22 \quad \quad y_U = -3$ donc $U(22; -3)$ --- Page 3 --- Exercice 6 : [Graphique] Les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont : $ \vec{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A) \quad \text{Soit} \quad \vec{AB} \left(-5 - 1;")
26. Détail source à réviser : x_U = 22 \quad \quad y_U = -3 $donc$U(22; -3)$--- Page 3 --- Exercice 6 : [Graphique] Les coordonnées du vecteur$\vec{AB}$sont :$ \vec{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A) \quad \text{Soit} \quad \vec{AB} \left(-5 - 1; (Source: "x_U = 22 \quad \quad y_U = -3 $donc$U(22; -3)$--- Page 3 --- Exercice 6 : [Graphique] Les coordonnées du vecteur$\vec{AB}$sont :$ \vec{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A) \quad \text{Soit} \quad \vec{AB} \left(-5 - 1; \frac{3}{2} - \frac{11}{2}\right) \quad \text{d'où} \quad \vec{AB}(-6; -4) $Le vecteur$\vec{AB}$ a pour coordonnées")
27. Détail source à réviser : vecteur $\vec{AB}$ sont : $\vec{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A) \quad \text{Soit} \quad \vec{AB} \left(-5 - 1; \frac{3}{2} - \frac{11}{2}\right) \quad \text{d'où} \quad \vec{AB}(-6; -4)$ Le vecteur $\vec{AB}$ a pour co (Source: "vecteur $\vec{AB}$ sont : $\vec{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A) \quad \text{Soit} \quad \vec{AB} \left(-5 - 1; \frac{3}{2} - \frac{11}{2}\right) \quad \text{d'où} \quad \vec{AB}(-6; -4)$ Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $\vec{AB}(-6; -4)$. Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\vec{AB} = \vec{DC}$. Soit $(x;")
28. Détail source à réviser : - \frac{11}{2}\right) \quad \text{d'où} \quad \vec{AB}(-6; -4) $Le vecteur$\vec{AB}$a pour coordonnées$\vec{AB}(-6; -4)$. Le quadrilatère$ABCD$est un parallélogramme si, et seulement si,$\vec{AB} = \vec{DC (Source: "- \frac{11}{2}\right) \quad \text{d'où} \quad \vec{AB}(-6; -4) $Le vecteur$\vec{AB}$a pour coordonnées$\vec{AB}(-6; -4)$. Le quadrilatère$ABCD$est un parallélogramme si, et seulement si,$\vec{AB} = \vec{DC}$. Soit$(x; y)$les coordonnées du point$D$. Le vecteur$\vec{DC}$a pour coordonnées :$\vec{DC} \left(-\frac{1}{2} - x;")
29. Détail source à réviser : -4)$. Le quadrilatère$ABCD$est un parallélogramme si, et seulement si,$\vec{AB} = \vec{DC}$. Soit$(x; y)$les coordonnées du point$D$. Le vecteur$\vec{DC}$a pour coordonnées :$\vec{DC} \left(-\frac{1} (Source: "-4)$. Le quadrilatère$ABCD$est un parallélogramme si, et seulement si,$\vec{AB} = \vec{DC}$. Soit$(x; y)$les coordonnées du point$D$. Le vecteur$\vec{DC}$a pour coordonnées :$\vec{DC} \left(-\frac{1}{2} - x; -\frac{3}{2} - y\right)$. Par conséquent,$ \vec{AB} = \vec{DC} \iff \begin{cases} -\frac{1}{2} - x = -6 \ -\frac{3}{2} -")
30. Détail source à réviser : les coordonnées du point $D$. Le vecteur $\vec{DC}$ a pour coordonnées : $\vec{DC} \left(-\frac{1}{2} - x; -\frac{3}{2} - y\right)$. Par conséquent, \vec{AB} = \vec{DC} \iff \begin{cases} -\frac{1}{2} - x = -6 \ _(Source: "les coordonnées du pointD$. Le vecteur$\vec{DC}$a pour coordonnées :$\vec{DC} \left(-\frac{1}{2} - x; -\frac{3}{2} - y\right)$. Par conséquent,$ \vec{AB} = \vec{DC} \iff \begin{cases} -\frac{1}{2} - x = -6 \ -\frac{3}{2} - y = -4 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \frac{11}{2} \ y = \frac{5}{2} \end{cases} $Le point$D$ a pour")_
31. Détail source à réviser : - y\right)$. Par conséquent,$ \vec{AB} = \vec{DC} \iff \begin{cases} -\frac{1}{2} - x = -6 \ -\frac{3}{2} - y = -4 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \frac{11}{2} \ y = \frac{5}{2} \end{cases} $Le point$D a po _(Source: "- y\right). Par conséquent, $\vec{AB} = \vec{DC} \iff \begin{cases} -\frac{1}{2} - x = -6 \\ -\frac{3}{2} - y = -4 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \frac{11}{2} \\ y = \frac{5}{2} \end{cases}$ Le point $D$ a pour coordonnées $D \left(\frac{11}{2}; \frac{5}{2}\right)$. Le point $M$ est le centre du parallélogramme $ABCD$ donc $M$ est")_
32. Détail source à réviser : -4 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \frac{11}{2} \ y = \frac{5}{2} \end{cases} $Le point$D$a pour coordonnées$D \left(\frac{11}{2}; \frac{5}{2}\right)$. Le point$M$est le centre du parallélogramme$ABCD\ (Source: "-4 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \frac{11}{2} \ y = \frac{5}{2} \end{cases} $Le point$D$a pour coordonnées$D \left(\frac{11}{2}; \frac{5}{2}\right)$. Le point$M$est le centre du parallélogramme$ABCD$donc$M$est le milieu des diagonales$[AC]$et$[BD]$. Les coordonnées$(x_M; y_M)$du point$M$milieu du segment$[AC]$")
33. Détail source à réviser : \left(\frac{11}{2}; \frac{5}{2}\right)$. Le point$M$est le centre du parallélogramme$ABCD$donc$M$est le milieu des diagonales$[AC]$et$[BD]$. Les coordonnées$(x_M; y_M)$du point$M$milieu du seg _(Source: "\left(\frac{11}{2}; \frac{5}{2}\right)$. Le point $M$ est le centre du parallélogramme $ABCD$ donc $M$ est le milieu des diagonales $[AC]$ et $[BD]$. Les coordonnées $(x_M; y_M)$ du point $M$ milieu du segment $[AC]$ sont : $x_M = \frac{x_A + x_C}{2} \quad \text{Soit} \quad x_M = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$ $ y_M =")_
34. Détail source à réviser : des diagonales $[AC]$ et $[BD]$. Les coordonnées $(x_M; y_M)$ du point $M$ milieu du segment $[AC]$ sont : $x_M = \frac{x_A + x_C}{2} \quad \text{Soit} \quad x_M = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$ \ (Source: "des diagonales $[AC]$ et $[BD]$. Les coordonnées $(x_M; y_M)$ du point $M$ milieu du segment $[AC]$ sont : $x_M = \frac{x_A + x_C}{2} \quad \text{Soit} \quad x_M = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$ $y_M = \frac{y_A + y_C}{2} \quad \text{Soit} \quad y_M = \frac{\frac{11}{2} - \frac{3}{2}}{2} = 2$ Le point $M$ a pour")
35. Détail source à réviser : $x_M = \frac{x_A + x_C}{2} \quad \text{Soit} \quad x_M = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$ $y_M = \frac{y_A + y_C}{2} \quad \text{Soit} \quad y_M = \frac{\frac{11}{2} - \frac{3}{2}}{2} = 2$ Le point $M$ (Source: "$x_M = \frac{x_A + x_C}{2} \quad \text{Soit} \quad x_M = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$ $y_M = \frac{y_A + y_C}{2} \quad \text{Soit} \quad y_M = \frac{\frac{11}{2} - \frac{3}{2}}{2} = 2$ Le point $M$ a pour coordonnées $M \left(\frac{1}{4}; 2\right)$. --- Page 4 --- Les points $A$, $M$ et $E$ sont alignés si, et seulement si,")
36. Détail source à réviser : + y_C}{2} \quad \text{Soit} \quad y_M = \frac{\frac{11}{2} - \frac{3}{2}}{2} = 2 $Le point$M$a pour coordonnées$M \left(\frac{1}{4}; 2\right)$. --- Page 4 --- Les points$A$,$M$et$Esont alignés si, et _(Source: "+ y_C}{2} \quad \text{Soit} \quad y_M = \frac{\frac{11}{2} - \frac{3}{2}}{2} = 2 Le point $M$ a pour coordonnées $M \left(\frac{1}{4}; 2\right)$. --- Page 4 --- Les points $A$, $M$ et $E$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ sont colinéaires. Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ ont pour coordonnées")_
37. Détail source à réviser : \left(\frac{1}{4}; 2\right)$. --- Page 4 --- Les points$A$,$M$et$E$sont alignés si, et seulement si, les vecteurs$\vec{AM}$et$\vec{AE}$sont colinéaires. Les vecteurs$\vec{AM}$et$\vec{AE}$ont p _(Source: "\left(\frac{1}{4}; 2\right)$. --- Page 4 --- Les points $A$, $M$ et $E$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ sont colinéaires. Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ ont pour coordonnées : $ \vec{AM} \left(\frac{1}{4} - 1; 2 - \frac{11}{2}\right) \quad \text{soit} \quad \vec{AM} \left(-\frac{3}{4};")_
38. Détail source à réviser : $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ sont colinéaires. Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ ont pour coordonnées : \vec{AM} \left(\frac{1}{4} - 1; 2 - \frac{11}{2}\right) \quad \text{soit} \quad \vec{AM} \left(-\frac{3}{ _(Source: "\vec{AM}$et$\vec{AE}$sont colinéaires. Les vecteurs$\vec{AM}$et$\vec{AE}$ont pour coordonnées :$ \vec{AM} \left(\frac{1}{4} - 1; 2 - \frac{11}{2}\right) \quad \text{soit} \quad \vec{AM} \left(-\frac{3}{4}; -\frac{7}{2}\right) $et$ \vec{AE} \left(-1 - 1; -\frac{9}{2} - \frac{11}{2}\right) \quad \text{soit} \quad \vec{AE}(-2; -10)")_
39. Détail source à réviser : \vec{AM} \left(\frac{1}{4} - 1; 2 - \frac{11}{2}\right) \quad \text{soit} \quad \vec{AM} \left(-\frac{3}{4}; -\frac{7}{2}\right) $et$ \vec{AE} \left(-1 - 1; -\frac{9}{2} - \frac{11}{2}\right) \quad \text{soit} \quad (Source: "\vec{AM} \left(\frac{1}{4} - 1; 2 - \frac{11}{2}\right) \quad \text{soit} \quad \vec{AM} \left(-\frac{3}{4}; -\frac{7}{2}\right) $et$ \vec{AE} \left(-1 - 1; -\frac{9}{2} - \frac{11}{2}\right) \quad \text{soit} \quad \vec{AE}(-2; -10) $Comme$ \left(-\frac{3}{4}\right) \times (-10) - (-2) \times \left(-\frac{7}{2}\right) = \frac{1}{2} $ les vecteurs")
40. Détail source à réviser : $et$ \vec{AE} \left(-1 - 1; -\frac{9}{2} - \frac{11}{2}\right) \quad \text{soit} \quad \vec{AE}(-2; -10) $Comme$ \left(-\frac{3}{4}\right) \times (-10) - (-2) \times \left(-\frac{7}{2}\right) = \frac{1}{2} $les _(Source: "$ et $\vec{AE} \left(-1 - 1; -\frac{9}{2} - \frac{11}{2}\right) \quad \text{soit} \quad \vec{AE}(-2; -10)$ Comme $\left(-\frac{3}{4}\right) \times (-10) - (-2) \times \left(-\frac{7}{2}\right) = \frac{1}{2}$ les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ ne sont pas colinéaires. Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ ne sont pas colinéaires")_
41. Détail source à réviser : Comme $\left(-\frac{3}{4}\right) \times (-10) - (-2) \times \left(-\frac{7}{2}\right) = \frac{1}{2}$ les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ ne sont pas colinéaires. Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ ne son (Source: "Comme $\left(-\frac{3}{4}\right) \times (-10) - (-2) \times \left(-\frac{7}{2}\right) = \frac{1}{2}$ les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ ne sont pas colinéaires. Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ ne sont pas colinéaires donc les points $A$, $M$ et $E$ ne sont pas alignés. Le plan est muni d'un repère orthonormé d'où : $ AB =")
42. Détail source à réviser : et $\vec{AE}$ ne sont pas colinéaires. Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ ne sont pas colinéaires donc les points $A$, $M$ et $E$ ne sont pas alignés. Le plan est muni d'un repère orthonormé d'où : $AB = _(Source: "et$\vec{AE}$ne sont pas colinéaires. Les vecteurs$\vec{AM}$et$\vec{AE}$ne sont pas colinéaires donc les points$A$,$M$et$E$ne sont pas alignés. Le plan est muni d'un repère orthonormé d'où :$ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \quad \text{Soit} \quad AB = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $$ BE =")_
43. Détail source à réviser : les points $A$, $M$ et $E$ ne sont pas alignés. Le plan est muni d'un repère orthonormé d'où : AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \quad \text{Soit} \quad AB = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{1 _(Source: "les pointsA$,$M$et$E$ne sont pas alignés. Le plan est muni d'un repère orthonormé d'où :$ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \quad \text{Soit} \quad AB = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $$ BE = \sqrt{(x_E - x_B)^2 + (y_E - y_B)^2} \quad \text{Soit} \quad BE = \sqrt{(-1 + 5)^2 + \left(-\frac{9}{2} -")_
44. Détail source à réviser : - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \quad \text{Soit} \quad AB = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $$ BE = \sqrt{(x_E - x_B)^2 + (y_E - y_B)^2} \quad \text{Soit} \quad BE = \sqrt{(-1 + 5)^2 + \left(-\frac{9}{2} - (Source: "- x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \quad \text{Soit} \quad AB = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $$ BE = \sqrt{(x_E - x_B)^2 + (y_E - y_B)^2} \quad \text{Soit} \quad BE = \sqrt{(-1 + 5)^2 + \left(-\frac{9}{2} - \frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $$ AE = \sqrt{(x_E - x_A)^2 + (y_E - y_A)^2} \quad \text{Soit} \quad AE = \sqrt{(-2)^2 +")
45. Détail source à réviser : - x_B)^2 + (y_E - y_B)^2} \quad \text{Soit} \quad BE = \sqrt{(-1 + 5)^2 + \left(-\frac{9}{2} - \frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $$ AE = \sqrt{(x_E - x_A)^2 + (y_E - y_A)^2} \quad \text{Soit} \quad AE = \ (Source: "- x_B)^2 + (y_E - y_B)^2} \quad \text{Soit} \quad BE = \sqrt{(-1 + 5)^2 + \left(-\frac{9}{2} - \frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $$ AE = \sqrt{(x_E - x_A)^2 + (y_E - y_A)^2} \quad \text{Soit} \quad AE = \sqrt{(-2)^2 + (-10)^2} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} $Ainsi,$AB = BE = 2\sqrt{13}$et$AE = 2\sqrt{26}$.$ AE^2 = AB^2 + BE^2 $")
46. Détail source à réviser : = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $$ AE = \sqrt{(x_E - x_A)^2 + (y_E - y_A)^2} \quad \text{Soit} \quad AE = \sqrt{(-2)^2 + (-10)^2} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} $Ainsi,$AB = BE = 2\sqrt{13}$et$AE = 2\sqrt{26}$.$ AE^2 = (Source: "= \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $$ AE = \sqrt{(x_E - x_A)^2 + (y_E - y_A)^2} \quad \text{Soit} \quad AE = \sqrt{(-2)^2 + (-10)^2} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} $Ainsi,$AB = BE = 2\sqrt{13}$et$AE = 2\sqrt{26}$.$ AE^2 = AB^2 + BE^2 $alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle$ABE$est rectangle en$B$. Comme d'autre part,$AB")
47. Détail source à réviser : AE = \sqrt{(-2)^2 + (-10)^2} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} $Ainsi,$AB = BE = 2\sqrt{13}$et$AE = 2\sqrt{26}$.$ AE^2 = AB^2 + BE^2 $alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle$ABE$est re _(Source: "AE = \sqrt{(-2)^2 + (-10)^2} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}$ Ainsi, $AB = BE = 2\sqrt{13}$ et $AE = 2\sqrt{26}$. $AE^2 = AB^2 + BE^2$ alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABE$ est rectangle en $B$. Comme d'autre part, $AB = BE$ le triangle $ABE$ est isocèle. $ ABE \text{ est un triangle rectangle isocèle.}")_
48. Détail source à réviser : --- Page 1 --- CORRIGÉ DS5 Exercice 1 : 1) $\vec{p}$ est opposé au vecteur $\vec{AB}$ $\quad (\vec{AB} = -\vec{p}$ ou $\vec{p} = -\vec{AB})$ 2) $\vec{k}$ et $\vec{m}$ ont la même direction mais sont de sens o (Source: "--- Page 1 --- CORRIGÉ DS5 Exercice 1 : 1) $\vec{p}$ est opposé au vecteur $\vec{AB}$ $\quad (\vec{AB} = -\vec{p}$ ou $\vec{p} = -\vec{AB})$ 2) $\vec{k}$ et $\vec{m}$ ont la même direction mais sont de sens opposé. 3) $\vec{r}$ et $\vec{s}$ sont de même sens. 5) $\vec{r}$ et $\vec{s}$ ont la même direction donc ils sont colinéaires. Ex...")
49. Détail source à réviser : 1) $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} = \vec{NP} = \vec{NQ}$ 2) $\vec{AC} + \vec{DB} = \vec{HP}$ 3) $2\vec{NB} + \vec{CD} = \vec{AD}$ 4) $\vec{NA} + \vec{QC} = \vec{0}$ 5) $\vec{CB} - \vec{MA} = \vec{QD} = \vec{PB} _(Source: "1)$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} = \vec{NP} = \vec{NQ}$2)$\vec{AC} + \vec{DB} = \vec{HP}$3)$2\vec{NB} + \vec{CD} = \vec{AD}$4)$\vec{NA} + \vec{QC} = \vec{0}$5)$\vec{CB} - \vec{MA} = \vec{QD} = \vec{PB} = \vec{BN} = -\vec{MH}$6)$\vec{ED} + \vec{MB} - \vec{NP} = \vec{BJ}$ Exercice 3 : En physique, un système est équilibré lorsque la...")_
50. Détail source à réviser : xercice 3 : En physique, un système est équilibré lorsque la somme des forces qui s’exercent sur lui est nulle. (Source: "xercice 3 : En physique, un système est équilibré lorsque la somme des forces qui s’exercent sur lui est nulle.")
51. Détail source à réviser : 1ère méthode : (Graphique) On choisit un point de départ quelconque, par exemple O et on construit graphiquement la somme des trois vecteurs (Source: "1ère méthode : (Graphique) On choisit un point de départ quelconque, par exemple O et on construit graphiquement la somme des trois vecteurs")
52. Détail source à réviser : 2ème méthode : (En utilisant les coordonnées) Dans le repère dessiné, les coordonnées des vecteurs sont $\vec{F_1}(-2;1)$, $\vec{F_2}(2;3)$ et $\vec{F_3}(0;-4)$ (Source: "2ème méthode : (En utilisant les coordonnées) Dans le repère dessiné, les coordonnées des vecteurs sont $\vec{F_1}(-2;1)$, $\vec{F_2}(2;3)$ et $\vec{F_3}(0;-4)$")
53. Détail source à réviser : La somme des vecteurs revient à faire la somme des coordonnées; abscisse d'un côté, ordonnée de l'autre ce qui donne : Abscisse : $-2 + 2 + 0 = 0$ Ordonnée : $1 + 3 + (-4) = 0$ (Source: "La somme des vecteurs revient à faire la somme des coordonnées; abscisse d'un côté, ordonnée de l'autre ce qui donne : Abscisse : $-2 + 2 + 0 = 0$ Ordonnée : $1 + 3 + (-4) = 0$")
54. Détail source à réviser : --- Page 2 --- Exercice 4 : $\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} \quad (\text{relation de Chasles})$ $= \frac{3}{2} \vec{AB} + \frac{3}{2} \vec{BC}$ $= \frac{3}{2} (\vec{AB} + \vec{BC}) \quad \text{factorisation}$ (Source: "--- Page 2 --- Exercice 4 : $\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} \quad (\text{relation de Chasles})$ $= \frac{3}{2} \vec{AB} + \frac{3}{2} \vec{BC}$ $= \frac{3}{2} (\vec{AB} + \vec{BC}) \quad \text{factorisation}$ $= \frac{3}{2} \vec{AC}$ $ \vec{AE} = \frac{3}{2} \vec{AC} \quad \text{donc } \vec{AE} \text{ et } \vec{AC} \text{ sont colinéaires...")
55. Détail source à réviser : d \text{factorisation} $$ = \frac{3}{2} \vec{AC} $$ \vec{AE} = \frac{3}{2} \vec{AC} \quad \text{donc } \vec{AE} \text{ et } \vec{AC} \text{ sont colinéaires donc les points (Source: "d \text{factorisation} $$ = \frac{3}{2} \vec{AC} $$ \vec{AE} = \frac{3}{2} \vec{AC} \quad \text{donc } \vec{AE} \text{ et } \vec{AC} \text{ sont colinéaires donc les points")
56. Détail source à réviser : A, E \text{ et } C \text{ sont alignés.} $Exercice 5 :$ \vec{RT} \begin{pmatrix} -3 \ -3 \ -2 - (-1) \end{pmatrix} \quad \text{donc} \quad \vec{RT} \begin{pmatrix} -6 \ -1 (Source: "A, E \text{ et } C \text{ sont alignés.} $Exercice 5 :$ \vec{RT} \begin{pmatrix} -3 \ -3 \ -2 - (-1) \end{pmatrix} \quad \text{donc} \quad \vec{RT} \begin{pmatrix} -6 \ -1")
57. Détail source à réviser : d{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{SRT} \begin{pmatrix} -30 \ -5 \end{pmatrix} $$ \vec{ST} \begin{pmatrix} -3 \ -2 \end{pmatrix} \quad \text{donc} \quad \vec{ST} (Source: "d{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{SRT} \begin{pmatrix} -30 \ -5 \end{pmatrix} $$ \vec{ST} \begin{pmatrix} -3 \ -2 \end{pmatrix} \quad \text{donc} \quad \vec{ST}")
58. Détail source à réviser : (-10) \ -5 - (-12) \end{pmatrix} \quad \text{d'où} \quad \vec{US} \begin{pmatrix} -20 \ 7 \end{pmatrix} $Or$ \vec{US} \begin{pmatrix} x_S - x_U \ y_S - y_U \end{pmatrix} = (Source: "(-10) \ -5 - (-12) \end{pmatrix} \quad \text{d'où} \quad \vec{US} \begin{pmatrix} -20 \ 7 \end{pmatrix} $Or$ \vec{US} \begin{pmatrix} x_S - x_U \ y_S - y_U \end{pmatrix} =")
59. Détail source à réviser : egin{pmatrix} -20 \ 7 \end{pmatrix} $Donc$ x_S - x_U = -20 \quad \quad y_S - y_U = 7 $$ \Leftrightarrow 2 - x_U = -20 \quad \quad 4 - y_U = 7 $$ \Leftrightarrow -x_U = (Source: "egin{pmatrix} -20 \ 7 \end{pmatrix} $Donc$ x_S - x_U = -20 \quad \quad y_S - y_U = 7 $$ \Leftrightarrow 2 - x_U = -20 \quad \quad 4 - y_U = 7 $$ \Leftrightarrow -x_U =")
60. Détail source à réviser : : $\vec{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A) \quad \text{Soit} \quad \vec{AB} \left(-5 - 1; \frac{3}{2} - \frac{11}{2}\right) \quad \text{d'où} \quad \vec{AB}(-6; -4)$ Le vecteur (Source: ": $\vec{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A) \quad \text{Soit} \quad \vec{AB} \left(-5 - 1; \frac{3}{2} - \frac{11}{2}\right) \quad \text{d'où} \quad \vec{AB}(-6; -4)$ Le vecteur")
61. Détail source à réviser : $a pour coordonnées$\vec{AB}(-6; -4)$. Le quadrilatère$ABCD$est un parallélogramme si, et seulement si,$\vec{AB} = \vec{DC}$. Soit$(x; y)$les coordonnées du point _(Source: "$ a pour coordonnées $\vec{AB}(-6; -4)$. Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\vec{AB} = \vec{DC}$. Soit $(x; y)$ les coordonnées du point")_
62. Détail source à réviser : Le vecteur $\vec{DC}$ a pour coordonnées : $\vec{DC} \left(-\frac{1}{2} - x; -\frac{3}{2} - y\right)$ (Source: "Le vecteur $\vec{DC}$ a pour coordonnées : $\vec{DC} \left(-\frac{1}{2} - x; -\frac{3}{2} - y\right)$")
63. Détail source à réviser : - x = -6 \ -\frac{3}{2} - y = -4 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \frac{11}{2} \ y = \frac{5}{2} \end{cases} $Le point$D$a pour coordonnées$D \left(\frac{11}{2}; (Source: "- x = -6 \ -\frac{3}{2} - y = -4 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \frac{11}{2} \ y = \frac{5}{2} \end{cases} $Le point$D$a pour coordonnées$D \left(\frac{11}{2};")
64. Détail source à réviser : Les coordonnées $(x_M; y_M)$ du point $M$ milieu du segment $[AC]$ sont : $x_M = \frac{x_A + x_C}{2} \quad \text{Soit} \quad x_M = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$ $y_M = \frac{y_A + y_C}{2} \quad \te _(Source: "Les coordonnées$(x_M; y_M)$du point$M$milieu du segment$[AC]$sont :$ x_M = \frac{x_A + x_C}{2} \quad \text{Soit} \quad x_M = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4} $$ y_M = \frac{y_A + y_C}{2} \quad \text{Soit} \quad y_M = \frac{\frac{11}{2} - \frac{3}{2}}{2} = 2 $Le point$M$a pour coordonnées$M \left(\frac{1}{4}; 2\right)$")_
65. Détail source à réviser : --- Page 4 --- Les points $A$, $M$ et $E$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ sont colinéaires (Source: "--- Page 4 --- Les points $A$, $M$ et $E$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ sont colinéaires")
66. Détail source à réviser : Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ ont pour coordonnées : $\vec{AM} \left(\frac{1}{4} - 1; 2 - \frac{11}{2}\right) \quad \text{soit} \quad \vec{AM} \left(-\frac{3}{4}; -\frac{7}{2}\right)$ et \vec{AE} \left _(Source: "Les vecteurs\vec{AM}$et$\vec{AE}$ont pour coordonnées :$ \vec{AM} \left(\frac{1}{4} - 1; 2 - \frac{11}{2}\right) \quad \text{soit} \quad \vec{AM} \left(-\frac{3}{4}; -\frac{7}{2}\right) $et$ \vec{AE} \left(-1 - 1; -\frac{9}{2} - \frac{11}{2}\right) \quad \text{soit} \quad \vec{AE}(-2; -10) $Comme$ \left(-\frac{3}{4}\right) \times (-10)...")_
67. Détail source à réviser : oit} \quad \vec{AE}(-2; -10) $Comme$ \left(-\frac{3}{4}\right) \times (-10) - (-2) \times \left(-\frac{7}{2}\right) = \frac{1}{2} $les vecteurs$\vec{AM}$et$\vec{AE}_(Source: "oit} \quad \vec{AE}(-2; -10) Comme $\left(-\frac{3}{4}\right) \times (-10) - (-2) \times \left(-\frac{7}{2}\right) = \frac{1}{2}$ les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$")_
68. Détail source à réviser : Le plan est muni d'un repère orthonormé d'où : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \quad \text{Soit} \quad AB = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ $BE = \sqrt{(x_E - x_B)^2 + (y_E - y_B)^2} \qu _(Source: "Le plan est muni d'un repère orthonormé d'où :$ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \quad \text{Soit} \quad AB = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $$ BE = \sqrt{(x_E - x_B)^2 + (y_E - y_B)^2} \quad \text{Soit} \quad BE = \sqrt{(-1 + 5)^2 + \left(-\frac{9}{2} - \frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $$ AE = \sqrt{(x_E -...")_
69. Détail source à réviser : normé d'où : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \quad \text{Soit} \quad AB = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ BE = \sqrt{(x_E - x_B)^2 + (y_E - _(Source: "normé d'où : AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \quad \text{Soit} \quad AB = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $$ BE = \sqrt{(x_E - x_B)^2 + (y_E -")_
70. Détail source à réviser : $AE^2 = AB^2 + BE^2$ alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABE$ est rectangle en $B$ (Source: "$AE^2 = AB^2 + BE^2$ alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABE$ est rectangle en $B$")
71. Détail source à réviser : éorème de Pythagore, le triangle $ABE$ est rectangle en $B$. (Source: "éorème de Pythagore, le triangle $ABE$ est rectangle en $B$.")
72. Détail source à réviser : 1) $\vec{p}$ est opposé au vecteur $\vec{AB}$ $\quad (\vec{AB} = -\vec{p}$ ou $\vec{p} = -\vec{AB})$ 2) $\vec{k}$ et $\vec{m}$ ont la même direction mais sont de sens opposé (Source: "1) $\vec{p}$ est opposé au vecteur $\vec{AB}$ $\quad (\vec{AB} = -\vec{p}$ ou $\vec{p} = -\vec{AB})$ 2) $\vec{k}$ et $\vec{m}$ ont la même direction mais sont de sens opposé")
73. Détail source à réviser : 3) $\vec{r}$ et $\vec{s}$ sont de même sens (Source: "3) $\vec{r}$ et $\vec{s}$ sont de même sens")
74. Détail source à réviser : 5) $\vec{r}$ et $\vec{s}$ ont la même direction donc ils sont colinéaires (Source: "5) $\vec{r}$ et $\vec{s}$ ont la même direction donc ils sont colinéaires")
75. Détail source à réviser : Exercice 2 : Plusieurs représentants possibles : une seule était demandée (Source: "Exercice 2 : Plusieurs représentants possibles : une seule était demandée")
76. Détail source à réviser : Par conséquent, $\vec{AB} = \vec{DC} \iff \begin{cases} -\frac{1}{2} - x = -6 \\ -\frac{3}{2} - y = -4 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \frac{11}{2} \\ y = \frac{5}{2} \end{cases}$ Le point $D$ a pour coordonnées (Source: "Par conséquent, $\vec{AB} = \vec{DC} \iff \begin{cases} -\frac{1}{2} - x = -6 \\ -\frac{3}{2} - y = -4 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \frac{11}{2} \\ y = \frac{5}{2} \end{cases}$ Le point $D$ a pour coordonnées $D \left(\frac{11}{2}; \frac{5}{2}\right)$")
77. Détail source à réviser : } \quad \text{Soit} \quad BE = \sqrt{(-1 + 5)^2 + \left(-\frac{9}{2} - \frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $$ AE = \sqrt{(x_E - x_A)^2 + (y_E - y_A)^2} \quad (Source: "} \quad \text{Soit} \quad BE = \sqrt{(-1 + 5)^2 + \left(-\frac{9}{2} - \frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $$ AE = \sqrt{(x_E - x_A)^2 + (y_E - y_A)^2} \quad")
78. Détail source à réviser : } \quad AE = \sqrt{(-2)^2 + (-10)^2} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} $Ainsi,$AB = BE = 2\sqrt{13}$et$AE = 2\sqrt{26}. _(Source: "} \quad AE = \sqrt{(-2)^2 + (-10)^2} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} Ainsi, $AB = BE = 2\sqrt{13}$ et $AE = 2\sqrt{26}$.")_
79. Détail source à réviser : ;1)$,$\vec{F_2}(2;3)$et$\vec{F_3}(0;-4)$. La somme des vecteurs revient à faire la somme des coordonnées; abscisse d'un côté, ordonnée de l'autre ce qui donne : Abscisse : _(Source: ";1)$, $\vec{F_2}(2;3)$ et $\vec{F_3}(0;-4)$. La somme des vecteurs revient à faire la somme des coordonnées; abscisse d'un côté, ordonnée de l'autre ce qui donne : Abscisse :")_
80. Détail source à réviser : --- Page 1 --- CORRIGÉ DS5 Exercice 1 : 1) $\vec{p}$ est opposé au vecteur $\vec{AB}$ $\quad (\vec{AB} = -\vec{p}$ ou $\vec{p} = -\vec{AB})$ 2) $\vec{k}$ et $\vec{m}$ (Source: "--- Page 1 --- CORRIGÉ DS5 Exercice 1 : 1) $\vec{p}$ est opposé au vecteur $\vec{AB}$ $\quad (\vec{AB} = -\vec{p}$ ou $\vec{p} = -\vec{AB})$ 2) $\vec{k}$ et $\vec{m}$")
81. Détail source à réviser : \vec{CD} = \vec{AD}$4)$\vec{NA} + \vec{QC} = \vec{0}$5)$\vec{CB} - \vec{MA} = \vec{QD} = \vec{PB} = \vec{BN} = -\vec{MH}$6)$\vec{ED} + \vec{MB} - \vec{NP} = \vec{BJ}$_(Source: "\vec{CD} = \vec{AD}$ 4) $\vec{NA} + \vec{QC} = \vec{0}$ 5) $\vec{CB} - \vec{MA} = \vec{QD} = \vec{PB} = \vec{BN} = -\vec{MH}$ 6) $\vec{ED} + \vec{MB} - \vec{NP} = \vec{BJ}$")_
82. Détail source à réviser : hode : (Graphique) On choisit un point de départ quelconque, par exemple O et on construit graphiquement la somme des trois vecteurs. (Source: "hode : (Graphique) On choisit un point de départ quelconque, par exemple O et on construit graphiquement la somme des trois vecteurs.")
83. Détail source à réviser : abscisse d'un côté, ordonnée de l'autre ce qui donne : Abscisse : $-2 + 2 + 0 = 0$ Ordonnée : $1 + 3 + (-4) = 0$. (Source: "abscisse d'un côté, ordonnée de l'autre ce qui donne : Abscisse : $-2 + 2 + 0 = 0$ Ordonnée : $1 + 3 + (-4) = 0$.")
84. Détail source à réviser : - Exercice 4 : $\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} \quad (\text{relation de Chasles})$ $= \frac{3}{2} \vec{AB} + \frac{3}{2} \vec{BC}$ $= \frac{3}{2} (\vec{AB} + \vec{BC}) _(Source: "- Exercice 4 :$ \vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} \quad (\text{relation de Chasles}) $$ = \frac{3}{2} \vec{AB} + \frac{3}{2} \vec{BC} $$ = \frac{3}{2} (\vec{AB} + \vec{BC})")_
85. Détail source à réviser : rix} -5 \ -6 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad 2\vec{ST} \begin{pmatrix} -10 \ -12 \end{pmatrix} $$ \vec{US} = 5\vec{RT} - 2\vec{ST} $donc$ \vec{US} \begin{pmatrix} -30 (Source: "rix} -5 \ -6 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad 2\vec{ST} \begin{pmatrix} -10 \ -12 \end{pmatrix} $$ \vec{US} = 5\vec{RT} - 2\vec{ST} $donc$ \vec{US} \begin{pmatrix} -30")
86. Détail source à réviser : \quad \quad -y_U = 3 $$ \Leftrightarrow x_U = 22 \quad \quad y_U = -3 $donc$U(22; (Source: "\quad \quad -y_U = 3 $$ \Leftrightarrow x_U = 22 \quad \quad y_U = -3 $donc$U(22;")
87. Détail source à réviser : D$. Le vecteur$\vec{DC}$a pour coordonnées :$\vec{DC} \left(-\frac{1}{2} - x; -\frac{3}{2} - y\right)$. Par conséquent,$ \vec{AB} = \vec{DC} \iff \begin{cases} (Source: "D$. Le vecteur$\vec{DC}$a pour coordonnées :$\vec{DC} \left(-\frac{1}{2} - x; -\frac{3}{2} - y\right)$. Par conséquent,$ \vec{AB} = \vec{DC} \iff \begin{cases}")
88. Détail source à réviser : ilieu du segment $[AC]$ sont : $x_M = \frac{x_A + x_C}{2} \quad \text{Soit} \quad x_M = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$ $y_M = \frac{y_A + y_C}{2} \quad _(Source: "ilieu du segment$[AC]$sont :$ x_M = \frac{x_A + x_C}{2} \quad \text{Soit} \quad x_M = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4} $$ y_M = \frac{y_A + y_C}{2} \quad")_
89. Détail source à réviser : \quad y_M = \frac{\frac{11}{2} - \frac{3}{2}}{2} = 2 $Le point$M$a pour coordonnées$M \left(\frac{1}{4}; (Source: "\quad y_M = \frac{\frac{11}{2} - \frac{3}{2}}{2} = 2 $Le point$M$a pour coordonnées$M \left(\frac{1}{4};")
90. Détail source à réviser : - 1; 2 - \frac{11}{2}\right) \quad \text{soit} \quad \vec{AM} \left(-\frac{3}{4}; -\frac{7}{2}\right) $et$ \vec{AE} \left(-1 - 1; -\frac{9}{2} - \frac{11}{2}\right) \quad (Source: "- 1; 2 - \frac{11}{2}\right) \quad \text{soit} \quad \vec{AM} \left(-\frac{3}{4}; -\frac{7}{2}\right) $et$ \vec{AE} \left(-1 - 1; -\frac{9}{2} - \frac{11}{2}\right) \quad")
91. Détail source à réviser : 2ème méthode : (En utilisant les coordonnées) Dans le repère dessiné, les coordonnées des vecteurs sont $\vec{F_1}(-2; _(Source: "2ème méthode : (En utilisant les coordonnées) Dans le repère dessiné, les coordonnées des vecteurs sont$\vec{F_1}(-2;")_
92. Détail source à réviser : -3)$--- Page 3 --- Exercice 6 : [Graphique] Les coordonnées du vecteur$\vec{AB}$sont :$ \vec{AB}(x_B - x_A; (Source: "-3)$--- Page 3 --- Exercice 6 : [Graphique] Les coordonnées du vecteur$\vec{AB}$sont :$ \vec{AB}(x_B - x_A;")
93. Détail source à réviser : Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\vec{AB} = \vec{DC}$. (Source: "Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\vec{AB} = \vec{DC}$.")
94. Détail source à réviser : Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ ont pour coordonnées : \vec{AM} \left(\frac{1}{4} - 1; _(Source: "Les vecteurs\vec{AM}$et$\vec{AE}$ont pour coordonnées :$ \vec{AM} \left(\frac{1}{4} - 1;")_
95. Détail source à réviser : -10) $Comme$ \left(-\frac{3}{4}\right) \times (-10) - (-2) \times \left(-\frac{7}{2}\right) = \frac{1}{2} $les vecteurs$\vec{AM}$et$\vec{AE}$ne sont pas colinéaires. _(Source: "-10)$ Comme $\left(-\frac{3}{4}\right) \times (-10) - (-2) \times \left(-\frac{7}{2}\right) = \frac{1}{2}$ les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ ne sont pas colinéaires.")_
96. Détail source à réviser : sont pas colinéaires. Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ ne sont pas colinéaires donc les points $A$, $M$ et $E$ ne sont pas alignés. Le plan est muni d'un repère (Source: "sont pas colinéaires. Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AE}$ ne sont pas colinéaires donc les points $A$, $M$ et $E$ ne sont pas alignés. Le plan est muni d'un repère")

📊 Tableaux de Synthèse

Relations de vecteurs

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confusion entre direction et sens d'un vecteur
2. Supposer que des vecteurs colinéaires ont nécessairement le même sens
3. Oublier que deux vecteurs opposés ont la même direction mais sens opposé
4. Confondre vecteur opposé et vecteur nul
5. Croire que la colinéarité implique une égalité exacte des vecteurs
6. Ne pas vérifier la colinéarité par le déterminant ou la proportionnalité
7. Confondre la direction d'un vecteur avec son sens dans la vérification

✅ Checklist Examen

1. Vérifier la direction et le sens séparément pour chaque vecteur
2. Utiliser la relation de Chasles pour décomposer ou recomposer des vecteurs
3. Vérifier la colinéarité par le calcul du déterminant en 2D
4. Calculer les coordonnées d'un point à partir d'une relation vectorielle
5. Utiliser la moyenne arithmétique pour trouver le milieu d'un segment
6. Vérifier l'alignement de points par la colinéarité des vecteurs
7. Calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé
8. Caractériser un triangle rectangle ou isocèle par la réciproque du théorème de Pythagore