QCM : Crise des vecteurs en géométrie — 8 questions

Explication

La colinéarité implique que deux vecteurs soient parallèles, partageant la même direction, même si leurs sens sont opposés. Il n'est pas nécessaire qu'ils aient la même norme, le même point d'origine, ni que leurs sens soient opposés uniquement. À revoir : Relations de direction, sens et colinéarité entre vecteurs. Appui du cours : « - Deux vecteurs ont la même direction s'ils sont parallèles, même si leurs sens peuvent être opposés. Cela signifie qu'ils partagent une ligne droite d'orientation, sans obligation d'avoir la même orientation précise. - Deux vecteurs ont le même sens s'ils… »

Explication

La combinaison linéaire permet de représenter un vecteur comme une somme de vecteurs de base modulée par des scalaires, c'est-à-dire une somme pondérée, comme le précise le passage exact du texte. À revoir : Somme et combinaison de vecteurs dans un plan. Appui du cours : « Une combinaison linéaire de vecteurs consiste en une somme pondérée de ces vecteurs par des scalaires : si $k_1, k_2$ sont des scalaires, alors $k_1 \vec{AB} + k_2 \vec{BC}$ est une combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$. Elle permet de représenter… »

Explication

Le texte précise clairement qu'un système est en équilibre si la somme vectorielle des forces est nulle. Cela signifie que l'absence de force résultante conduit à l'équilibre, contrairement aux autres options qui impliquent un mouvement ou une rotation. À revoir : Équilibre d’un système par somme vectorielle des forces. Appui du cours : « - Un système est en équilibre si la somme vectorielle des forces qui s'exercent sur lui est le vecteur nul. »

Explication

La relation de Chasles permet d'écrire $\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE}$. Ensuite, si $\vec{AE}$ est un multiple scalaire de $\vec{AC}$, cela signifie que ces vecteurs sont colinéaires, ce qui implique que les points A, E et C sont alignés. Les autres options ne correspondent pas à l'application correcte de la relation de Chasles et du critère de colinéarité. À revoir : Application de la relation de Chasles et alignement de points par colinéarité. Appui du cours : « La relation de Chasles s'exprime par $\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE}$, permettant de décomposer un vecteur en la somme de deux autres vecteurs. Par exemple, dans un contexte géométrique, cela permet d’écrire que le vecteur reliant A à E est la somme du… »

Explication

Le calcul des coordonnées d’un point à partir d’une relation vectorielle permet de localiser précisément ce point dans le plan, en exprimant les vecteurs en coordonnées puis en résolvant un système d’équations, comme indiqué dans le texte. À revoir : Calcul de coordonnées d’un point à partir d’une relation vectorielle. Appui du cours : « Le calcul précis des coordonnées d’un point à partir d’une relation vectorielle repose sur l’expression des vecteurs en coordonnées, puis la résolution d’un système d’équations. Cette méthode permet de localiser exactement un point dans le plan. »

Explication

Le point milieu est défini comme situé exactement à égale distance des extrémités du segment, avec des coordonnées calculées par la moyenne arithmétique des coordonnées des deux points extrêmes, ce qui correspond à la première option. À revoir : Détermination des coordonnées d’un point pour former un parallélogramme et calcul du milieu du segment. Appui du cours : « **Point $M$ milieu du segment** : Un point situé exactement à égale distance des extrémités d'un segment, ses coordonnées sont la moyenne arithmétique des coordonnées des deux points extrêmes. »

Explication

Le déterminant des coordonnées de deux vecteurs permet de tester leur colinéarité : s'il est nul, les vecteurs sont colinéaires, ce qui implique que les points correspondants sont alignés. Les autres options ne correspondent pas à la fonction du déterminant dans ce contexte. À revoir : Critère d’alignement de points par colinéarité de vecteurs et calculs associés. Appui du cours : « La colinéarité de deux vecteurs en dimension 2 se teste en calculant le déterminant de leurs coordonnées : si ce déterminant est nul, alors les vecteurs sont colinéaires, et donc les points sont alignés. »

Explication

La réciproque du théorème de Pythagore sert à vérifier qu'un triangle est rectangle en contrôlant que le carré du plus grand côté égale la somme des carrés des deux autres. Cela permet de caractériser un triangle rectangle isocèle, qui a aussi deux côtés égaux. À revoir : Calcul de distances dans un repère orthonormé et caractérisation d’un triangle rectangle isocèle par la réciproque du théorème de Pythagore. Appui du cours : « **Réciproque du théorème de Pythagore** : Une propriété affirmant que si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. »