Fiche de révision : Introduction à la stabilité et au contrôle des systèmes linéaires

📋 Plan du Cours

1. Modélisation des systèmes du premier et second ordre en asservissement
2. Analyse des réponses temporelles selon la nature des pôles et modes
3. Fonctionnement et enjeux de la boucle fermée en commande asservie
4. Impact des perturbations et bruit de mesure sur la commande asservie
5. Critères de stabilité des systèmes linéaires et fonctions de transfert
6. Application des critères de Nyquist et du revers pour la stabilité en boucle fermée
7. Analyse fréquentielle et fonctions de sensibilité en boucle fermée
8. Modélisation et commande d’un moteur à courant continu par correcteur PID
9. Exemples pratiques d’asservissement et justification des performances temporelles
10. Relations entre les caractéristiques fréquentielles et temporelles des systèmes
11. Synthèse et réglage d’un correcteur PI avec avance de phase
12. Interprétation des diagrammes de Bode et Nichols pour l’optimisation PID

📖 1. Modélisation des systèmes du premier et second ordre en asservissement

🔑 Notions clés & Définitions

• Pôles : Les pôles correspondent aux valeurs de la variable complexe p qui annulent le dénominateur de la fonction de transfert, déterminant ainsi la dynamique temporelle du système.
• Gain statique : Le gain statique est le coefficient K de la fonction de transfert évaluée en p = 0, représentant le rapport entre la sortie et l'entrée en régime permanent pour une entrée constante.
• Temps de réponse à 5% : Le temps de réponse à 5% est le délai nécessaire pour que la sortie d'un système atteigne et reste dans un intervalle de ±5% autour de sa valeur finale lors d'une réponse indicielle.
• Degrés relatif : Le degré relatif est la différence entre le degré du polynôme au dénominateur et celui du numérateur de la fonction de transfert, influençant la nature de la réponse temporelle.
• Constante de temps : La constante de temps τ caractérise la rapidité de la réponse d'un système du premier ordre, correspondant au temps nécessaire pour que la sortie atteigne environ 63% de sa valeur finale après une entrée en échelon.

📝 Points essentiels

• Le modèle du premier ordre est caractérisé par une fonction de transfert G(p) = K/(1 + τp) avec τ la constante de temps et K le gain statique.
• La réponse indicielle d'un système du premier ordre atteint 63% de sa valeur finale à t = τ et 95% à environ 3τ.
• Modélisation 1 𝐸0𝑘 𝜔0 1 − 𝜍2 𝑒−𝜍𝜔0𝑡 sin 𝜔0 1 − 𝜍2𝑡 𝐸0𝑘 1 − 1 1 − 𝜍2 𝑒−𝜍𝜔0𝑡 sin 𝜔0 1 − 𝜍2𝑡 + 𝜙  2 1sin    Arct keED 2 1 01     2 0 max 1     t2 1 2 1 2 0 12 0 1 ln4 ln ln4 ln                   i i i i D D D D kE D kE D    𝑝1,2 = − ln 𝐷1 𝐸0𝑘 ± 𝑗𝜋 𝑡max2 max 0 1      t2 12 1    Q 03/02/2025 13 Modélisation 𝑒−𝜁𝑤0𝑡 Pondération exponentielle  Réponse indicielle (pseudo amorti) 03/02/2025 14  Modèle du second ordre o Temps de réponse à 5% / Amortissement : la courbe réelle donnée ci-dessous est souvent approximée (très grossièrement) par les formules : Ref : http://elessar.lautre.net/spip.php?article25 Minimum Pseudo-Constante de temps0 %5 1 3  rt0 %5 6   rt Modélisation 03/02/2025 15  Système d’ordre supérieur Modélisation      )( 1 1 1          p s p m j n i n j ji m j i n pppp zp kpG   mjz j 1 Pôles : nps pôles simples npm pôles multiples d’ordre Zéros : Exemple1j   p mn j jpsnn 1  Ordre global du système327 )5()4)(3)(2( )7)(6( 4)(    pppp pp pG nps = 2 npm=2, 1= 2, 2= 3 Pôles réels multiplesPôles réels simples (Décomposition en éléments simples) 03/02/2025 16  Système d’ordre supérieur Modélisation Réponse impulsionnelle (caractérise tous les régimes transitoires !!)    ,...,,)( 12 1 tptptptp n i tp i jjjjj ps i etetteefekty      Converge
• La Boucle fermée 03/02/2025 77
• Les outils d’analyse
• Les fonctions de sensibilités : Exemple 1 Performances temporelles de la sortie : Temps en Seconde Réponse indicielle Réponse à une rampe Réponse à un échelon de consigne puis perturbation d’entrée échelon unitaire Rq : Pour un système du second ordre, une résonnance de 2,3dB donne environ 23% de dépassementdB SdB SdB SGdB TdB TdB TdB T Rq : ne renseigne sur l’erreur de position que pour un retour unitaire La Boucle fermée Résonnance Dépassement Pente -40dB/dec Amplification u 03/02/2025 78
• Les outils d’analyse
• Les fonctions de sensibilités : décroissance du gain en HP (Roll-off) La Boucle fermée 03/02/2025 95 Synthèse des P.I.D.

💡 À retenir

Le modèle du premier ordre est caractérisé par une fonction de transfert G(p) = K/(1 + τp) avec τ la constante de temps et K le gain statique.

📖 2. Analyse des réponses temporelles selon la nature des pôles et modes

🔑 Notions clés & Définitions

• Dépassement : Être le plus petit possible, 4.
• Outils d’analyse : Les outils d’analyse comprennent les représentations graphiques et mathématiques telles que la cartographie des pôles et zéros, le lieu des racines, et les fonctions de sensibilité, qui permettent d’étudier la dynamique et la stabilité d’un système.
• **Analyse
• Les fonctions de sensibilités** : Les fonctions de sensibilité quantifient l’impact des variations des paramètres du système sur sa réponse, mettant en évidence les compromis entre atténuation et amplification dans la boucle de commande.

📝 Points essentiels

• La nature des pôles (réels ou complexes conjugués) détermine si la réponse temporelle est monotone ou oscillatoire.
• Un dépassement supérieur à 1 indique la présence de pôles complexes avec une réponse oscillatoire amortie.
• Les modes propres associés aux pôles dominants gouvernent la forme générale de la réponse temporelle.

💡 À retenir

La nature des pôles (réels ou complexes conjugués) détermine si la réponse temporelle est monotone ou oscillatoire.

📖 3. Fonctionnement et enjeux de la boucle fermée en commande asservie

🔑 Notions clés & Définitions

• Limitations : Les limitations d'un système d'asservissement incluent une sensibilité accrue aux perturbations et au bruit de mesure, une adaptation difficile aux systèmes d'ordre élevé ou instables, et une capacité limitée à rejeter uniquement certains types de perturbations, comme les échelons.
• Consigne : Le signal de référence ou désiré que le système doit suivre ou atteindre, servant de base à la comparaison avec la sortie pour ajuster la commande.
• Boucle fermée : Pour trouver la «bonne» commande U(t), il faut donc connaitre le modèle du système à commander Système à commander 03/02/2025 32  Introduction La Boucle Fermée La relation entre U(t) et Y(t) est “dynamique” c’est à dire qu’elle est décrite par une ou plusieurs équations différentielles provenant de la physique.

📝 Points essentiels

• La boucle fermée utilise l'information de sortie Y(t) pour ajuster la commande U(t) et réduire l'écart avec la consigne, même en présence de perturbations.
• Le gain de boucle influence la rapidité et la précision de l'asservissement, mais doit être choisi pour préserver la stabilité du système.
• La modification du paramètre de synthèse K doit être pertinente pour améliorer la performance sans compromettre la stabilité.
• (Single Input, Single Ouput), nous pouvons représenter l’asservissement avec un retour unitaire et les différents signaux de perturbations l’affectant de la manière suivante :  : perturbation d’entrée (basses pulsations), : perturbation de sortie (basses pulsations), : bruit de mesure (hautes pulsations)  En notant la fonction de transfert représentant la boucle ouverte comme  Ecrire les fonctions de transfert entre la sortie, l’écart et la commande et les entrées consigne, perturbations d’entrée (ou de commande), de sortie et bruit de mesure.
• Objectifs 𝑣𝑢(𝑝) = 𝐸(𝑝) 𝐷(𝑝) 𝜈0 Cas de la perturbation d’entrée : 66 𝜀(𝑝) = −𝐵𝑆 𝐵𝑅 + 𝐴𝑆 𝑣𝑢(𝑝) avec 𝜀(∞) = lim 𝑝→0 𝑝𝑇𝑣𝑢→𝜀 𝑣𝑢(𝑝) → 0 𝜀(∞) = lim 𝑝→0 𝑝 −𝐵𝑆 𝐵𝑅 + 𝐴𝑆 𝐸 𝐷 𝜈0 → 0 Avec un système stable en boucle fermé, il faut que B ou S contienne D. Cas de la poursuite :0)( pv0)(lim)( * 0 *   pypTyp  * 0 * )( )( )( y pD pN py p p )()( * py ASBR AS p    avec 𝜀(∞) = lim 𝑝→0 𝑝 𝐴𝑆 𝐵𝑅 + 𝐴𝑆 𝑁𝑝 𝐷𝑝 𝑦0 ∗ → 0 Avec un système stable en boucle fermé, il faut que A ou S contienne 𝐷𝑝. La Boucle fermée 03/02/2025 91
• Les Objectifs
• Règle :
• Cas particuliers : Il arrive fréquemment que le procédé contienne un ou plusieurs intégrateurs (classe du procédé) aussi la règle devient
• Poursuite et perturbation de sortie :
• Poursuite et perturbation d’entrée :n ppD )( avec 𝛼 le nombre d’intégrateur du procédé 𝑆(𝑝) = 𝑝𝑛−𝛼 𝑆′(𝑝) il faut que le dénominateur du correcteur S(p) contienne le modèle de la perturbation ou du signal de consigne D(p).n ppS )( Le modèle de la perturbation doit être situé en amont de la perturbation La Boucle fermée 03/02/2025 92
• Les Objectifs
• Contraintes sur la commande : De plus en plus souvent, des contraintes sur le contenu fréquentielle de la commande sont présentes dans le cahier des charges. Ces contraintes peuvent viser réduire la dépense énergétique (sensibilité aux bruits de mesure) ou

💡 À retenir

La boucle fermée utilise l'information de sortie Y(t) pour ajuster la commande U(t) et réduire l'écart avec la consigne, même en présence de perturbations.

📖 4. Impact des perturbations et bruit de mesure sur la commande asservie

🔑 Notions clés & Définitions

• Avance de phase : La quantité de décalage positif en phase introduite par un correcteur à une pulsation donnée, permettant d'améliorer la stabilité et la rapidité de la réponse du système.
• Perturbation : Un signal externe ou interne non contrôlable qui agit sur le système et peut provoquer un écart entre la sortie réelle et la consigne, affectant la précision de la commande.
• Bruit de mesure : Un signal indésirable, souvent à haute fréquence, capté par les capteurs qui peut être amplifié par le système, limitant ainsi la précision et augmentant la consommation énergétique.

📝 Points essentiels

• La présence de perturbations non contrôlables et de bruit de mesure réduit la précision de la commande asservie.
• La saturation des capteurs peut donner une fausse impression de sortie bornée, masquant des problèmes de performance.
• Le rejet efficace des perturbations dépend de la structure du correcteur et de la présence d'intégrateurs dans la boucle.
• • Les outils d’analyse • Les fonctions de sensibilités : Exemple 33max tc  La Boucle fermée 03/02/2025 85 • Les outils d’analyse • Les fonctions de sensibilités : Exemple 3 Commentaires :dB SdB SCdB SGdByv pT u )(dB uwy T dB yvy T  Présence de 3 intégrateurs dans L(p) En basses pulsations, GS présente une pente de +20 dB/décade donc un zéro à l’origine donc dans le correcteur, cela autorise le rejet perturbation d’entrée constante.
• Entrée Bornée  Sortie Bornée Attention à la saturation des capteurs qui peut faire penser à une sortie bornée 03/02/2025 35  Stabilité d’une fonction de transfert La Stabilité Un système linéaire invariant est dit asymptotiquement stable si et seulement si : g(t) est la réponse impulsionnelle du système.

💡 À retenir

La présence de perturbations non contrôlables et de bruit de mesure réduit la précision de la commande asservie.

📖 5. Critères de stabilité des systèmes linéaires et fonctions de transfert

🔑 Notions clés & Définitions

• Réponse impulsionnelle : La sortie temporelle d'un système linéaire invariant lorsqu'il est soumis à une entrée impulsionnelle unitaire.
• Fonction de transfert : 𝐿𝑖𝑚 𝑡→∞ 𝑔(𝑡)
• Fonctions de transfert : Les représentations fréquentielles des systèmes linéaires invariants qui relient l'entrée à la sortie et dont la position des pôles influence la stabilité du système.
• Stabilité asymptotique : 03/02/2025 42  Le critère du revers La Stabilité Si un système est stable en boucle ouverte et qu’il ne possède pas de zéro instable, une condition nécessaire et suffisante de stabilité asymptotique du système en boucle fermée est qu'en parcourant le lieu de Nyquist de L(p) dans le sens des pulsations ω croissantes, on laisse le point critique –1 à gauche - 1 ω ↑ - 1 ω ↑ - 1 ω ↑ Asymptotiquement Stable Limite de stabilité Stable au sens EBSB Instable 03/02/2025 43 La Stabilité  Le critère du revers Critère du revers dans le plan de Black : Le lieu de L(p) dans le plan de Black décrit dans le sens des pulsations croissantes doit laisser le point critique à sa droite pour que le système en BF soit stable.

📝 Points essentiels

• Un système linéaire est asymptotiquement stable si sa réponse impulsionnelle g(t) tend vers zéro lorsque t tend vers l'infini, ce qui est assuré si tous les pôles de sa fonction de transfert ont une partie réelle strictement négative.
• La stabilité au sens large (EBSB) signifie que la sortie du système reste bornée pour toute entrée bornée.

💡 À retenir

Un système linéaire est asymptotiquement stable si sa réponse impulsionnelle g(t) tend vers zéro lorsque t tend vers l'infini, ce qui est assuré si tous les pôles de sa fonction de transfert ont une partie réelle strictement négative.

📖 6. Application des critères de Nyquist et du revers pour la stabilité en boucle fermée

🔑 Notions clés & Définitions

• Dans ce cas : Un système en boucle fermée est stable lorsque le gain à la pulsation 𝜔𝜋 est inférieur à o dB (ou inversement).
• La Stabilité  Le critère de Nyquist : 8 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis))(Im( pL))(Re( pL  0jp  01 pKjL ))0(( 1   jLArg jp  01 jL))(( 1  jLArg Stable si Kp>1 N

📝 Points essentiels

• Le critère de Nyquist indique que la stabilité en boucle fermée dépend du nombre de tours que la courbe L(p) fait autour du point -1 dans le plan complexe, ce qui doit correspondre à l'absence de pôles instables en boucle fermée.
• Le critère du revers exige que le lieu de Nyquist laisse le point -1 à gauche dans le plan de Black, ce qui garantit la stabilité asymptotique.

💡 À retenir

Maîtriser l'utilisation des critères de Nyquist et du revers permet d'évaluer la stabilité des systèmes en boucle fermée de manière rigoureuse.

📖 7. Analyse fréquentielle et fonctions de sensibilité en boucle fermée

🔑 Notions clés & Définitions

• Bande passante : Intervalle de fréquences dans lequel la fonction de sensibilité reste inférieure à une valeur critique, caractérisant la capacité du système à suivre rapidement les variations de consigne.
• Boucle fermée : Configuration de contrôle dans laquelle la sortie est rétroactionnée pour ajuster la commande, permettant d'améliorer la précision et la stabilité face aux perturbations.

📝 Points essentiels

• Les fonctions de sensibilité quantifient la réponse du système aux perturbations et aux variations de consigne en fréquence.
• La bande passante et la résonance des fonctions de sensibilité sont liées aux performances temporelles comme la rapidité et le dépassement.
• La présence de zéros à l'origine dans la fonction de transfert en boucle ouverte améliore le rejet des perturbations constantes.
• La Boucle fermée 03/02/2025 77
• Les outils d’analyse
• Les fonctions de sensibilités : Exemple 2 Performances temporelles : C Temps en Seconde Lié avec la valeur et la pulsation (BP) de la résonnance dedB GS Lié à la bande passantedB T Erreur de positiondB S C La Boucle fermée 03/02/2025 82 La Boucle fermée
• Les outils d’analyse
• Les fonctions de sensibilités : Exemple 2 Commentaires :dB SdB SCdB SGdByv pT u )(dB uwy T dB yvy T  La bande d’atténuation et la bande passante indique :
• C – 1
• A – 3 Présence de 2 zéros à l’origine donc 2 intégrateurs dans L(p) En basses pulsations, GS présente une pente de +20 dB/décade donc un zéro à l’origine donc dans le correcteur, cela autorise le rejet perturbation d’entrée constante.
• Exemple 1.  Synthèse basée sur l’hypothèse second ordre Un P.I. est adapté aux systèmes du premier ordre et second ordre, il est donc naturel de faire l’approximation d’une fonction de transfert en boucle ouverte du second ordre. En effet, il s’agit du seul transfert qui permet de faire un lien direct entre le fréquentiel et le temporel. Si le transfert en boucle ouverte est d’ordre supérieur, une différence entre l’attendu et l’obtenu va apparaître. Cette différence sera d’autant plus grande que les termes négligés sont dans la bande passante du système de commande. P . I . D . Modèle de synthèse :  )( 1 2.41 )( 2 pU pp p     o Asservissement du moteur à courant continu  Premier Cahier des charges : 1. Les signaux de consigne sont des échelons, 2. La réponse a un échelon de consigne peut présenter un dépassement de 20% au maximum, 3. Le temps du premier dépassement doit être le plus petit possible, 4. Le correcteur doit donner satisfaction sur le système réel aussi on souhaite avoir une marge de phase de 45°.s3 2 1014    03/02/2025 113

• 💡 À retenir

La bande passante et la résonance des fonctions de sensibilité sont liées aux performances temporelles comme la rapidité et le dépassement.

📖 8. Modélisation et commande d’un moteur à courant continu par correcteur PID

🔑 Notions clés & Définitions

• Bode  : La réponse a un échelon de consigne peut présenter un dépassement de 15% au maximum, D%~ z =0,53 
• En hautes pulsations : La plage de fréquences élevées où le gain du système influence la sensibilité aux bruits de mesure et peut affecter la stabilité de la commande.
• Fonction de transfert en boucle ouverte : La représentation mathématique du système sans rétroaction, utilisée pour analyser la stabilité, la réponse en fréquence et la sensibilité aux perturbations.
• Moteur à courant continu  Premier : Un système électromécanique modélisé par une fonction de transfert intégrant inertie, résistance et inductance, dont la commande peut être améliorée par un correcteur PID pour optimiser la précision et la rapidité.

📝 Points essentiels

• Le modèle du moteur à courant continu inclut inertie, résistance et inductance, modélisé par une fonction de transfert spécifique.
• Le correcteur PID agit sur la commande pour améliorer la précision et la rapidité de la réponse.
• Le réglage des gains PID doit prendre en compte la dynamique du moteur pour éviter instabilités et dépassements.

💡 À retenir

La modélisation précise du moteur à courant continu et l’application d’un correcteur PID adapté permettent une commande efficace et précise.

📖 9. Exemples pratiques d’asservissement et justification des performances temporelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Erreur de position : Différence entre la valeur finale de la sortie et la consigne en régime permanent, influencée par la réponse en fréquence et le type de retour du système.
• Exemple 2 Performances temporelles : Mesures de la réponse d'un système dans le temps, incluant le temps de réponse, le dépassement et la précision, qui peuvent être expliquées par l'analyse fréquentielle.

📝 Points essentiels

• Les performances temporelles observées (temps de réponse, dépassement) peuvent être expliquées par les caractéristiques fréquentielles du système.
• La résonance dans la fonction de sensibilité indique la capacité à rejeter certaines perturbations.
• La bande passante détermine la rapidité de la réponse et la précision de l'asservissement.

💡 À retenir

Savoir justifier les performances temporelles d’un système asservi à partir de son analyse fréquentielle.

📖 10. Relations entre les caractéristiques fréquentielles et temporelles des systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Pour les systèmes : 03/02/2025 64  Le problème standard o Pour les systèmes S.I.S.O.
• Fréquentielles  Diagramme : Caractéristiques ou représentations liées au comportement d’un système en fonction de la pulsation ou fréquence, notamment à travers des diagrammes comme celui de Black ou l’abaque de Nichols.
• Boucle ouverte : Configuration d’asservissement où la sortie n’influence pas la commande, utilisée pour étudier la fonction de transfert sans rétroaction.

📝 Points essentiels

• La fonction de transfert du second ordre est le seul modèle permettant un lien direct exact entre les réponses fréquentielle et temporelle.
• Les termes négligés dans une approximation de la fonction de transfert peuvent provoquer des écarts entre les performances attendues et réelles, surtout s’ils se situent dans la bande passante du système.
• La bande passante fréquentielle est corrélée au temps de réponse et à la stabilité temporelle du système.
• Exemple 1.  Synthèse basée sur l’hypothèse second ordre Un P.I. est adapté aux systèmes du premier ordre et second ordre, il est donc naturel de faire l’approximation d’une fonction de transfert en boucle ouverte du second ordre. En effet, il s’agit du seul transfert qui permet de faire un lien direct entre le fréquentiel et le temporel. Si le transfert en boucle ouverte est d’ordre supérieur, une différence entre l’attendu et l’obtenu va apparaître. Cette différence sera d’autant plus grande que les termes négligés sont dans la bande passante du système de commande. P . I . D . Modèle de synthèse :  )( 1 2.41 )( 2 pU pp p     o Asservissement du moteur à courant continu  Premier Cahier des charges : 1. Les signaux de consigne sont des échelons, 2. La réponse a un échelon de consigne peut présenter un dépassement de 20% au maximum, 3. Le temps du premier dépassement doit être le plus petit possible, 4. Le correcteur doit donner satisfaction sur le système réel aussi on souhaite avoir une marge de phase de 45°.s3 2 1014    03/02/2025 113

• 💡 À retenir

La fonction de transfert du second ordre est le seul modèle permettant un lien direct exact entre les réponses fréquentielle et temporelle.

📖 11. Synthèse et réglage d’un correcteur PI avec avance de phase

🔑 Notions clés & Définitions

• Avance de phase : Une technique de correction en commande qui consiste à introduire un décalage positif de phase dans la fonction de transfert du correcteur, permettant d'augmenter la marge de phase et d'améliorer la stabilité du système.

📝 Points essentiels

• La synthèse d’un correcteur PI avec avance de phase vise à améliorer la marge de phase et la stabilité en décalant le lieu de la boucle dans le plan de Bode.
• Le réglage de Ti est calculé à partir de la fréquence de coupure et de la phase désirée, en utilisant la relation entre la pulsation de coupure, la phase maximale, et l'argument du correcteur.
• L’avance de phase permet de limiter l’impact du bruit de mesure sur la commande, mais doit être contrôlée pour ne pas dépasser environ 50° afin d’éviter une sensibilité excessive aux bruits.
• 1 21       t Bode 03/02/2025 133
• Exemple 1.c P . I . D . Modèle de synthèse :  )( 1 2.41 )( 2 pU pp p     o Asservissement du moteur à courant continu  Premier Cahier des charges : 1. Les signaux de consigne sont des échelons, 2. La réponse à un échelon de consigne peut présenter un dépassement de 15% au maximum, 3. Le système est soumis à des perturbations de sortie de type échelon qu’il faut rejeter, 4. Le temps du premier dépassement doit être égal à 30ms, 5. Le correcteur doit donner satisfaction sur le système réel aussi on souhaite avoir une marge de phase de 45°.s3 2 1014    D%~ Bode 03/02/2025 134
• Exemple 1.c P . o Réponse au cahier des charges : En première lecture, il est possible de prendre un proportionnel mais 2. La réponse a un échelon de consigne peut présenter un dépassement de 15% au maximum, D%~ z =0,53  =53° Bode  = 41° inférieure à la valeur demandée Condition sur la marge de phasesrd t c /8.35 1 21 2 max 2         81,7 rd/s Sur le Bode de G(p), on lit 𝐴𝑟𝑔 𝐺 𝑗81,7 = −139° Le correcteur proportionnel ne peut pas répondre au cahier des charges, il faut donc un correcteur qui apporte de la phase : P. Avance de phase 03/02/2025 1350 2 4 6 Magnitude (dB) 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 0 5 10 15 20 Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec)
• L’avance de phase
• Fonction de transfert :P . D .1 1 1 1 1 )( 2 1       
• L’avance de phase maximale doit être à la pulsation de coupure : 𝐴𝑟𝑔(𝐶(𝑗𝜔𝑐)) = −180° + Δ𝜑 − 𝐴𝑟𝑔(𝐺(𝑗𝜔𝑐)) 𝐴𝑟𝑔(𝐶(𝑗𝜔𝑐)) = −90° + 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔(𝜔𝑐𝑇𝑖) + Φ𝑚֜ 𝐴𝑟𝑔(𝐿(𝑗𝜔𝑐)) = −180° + Δ𝜑 avec Deux possibilités pour obtenir l’argument souhaité 𝜔𝑚 = 𝜔𝑐 03/02/2025 146
• Exemple 1.d
• Synthèse du P.I.

💡 À retenir

La synthèse d’un correcteur PI avec avance de phase vise à améliorer la marge de phase et la stabilité en décalant le lieu de la boucle dans le plan de Bode.

📖 12. Interprétation des diagrammes de Bode et Nichols pour l’optimisation PID

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme de Nichols : Représentation graphique combinant le gain en décibels et la phase en degrés d'une fonction de transfert en boucle ouverte, utilisée pour évaluer la stabilité et la performance d'un système de contrôle.
• 𝐴𝑟𝑔(𝐺𝑛 𝑝 ) : Somme algébrique des arguments des termes de la fonction de transfert en boucle ouverte, calculée comme la somme des arguments des zéros moins la somme des arguments des pôles, exprimant la phase totale du système à une pulsation donnée.
• Diagramme de Bode : Graphique représentant la magnitude en décibels et la phase en degrés d'une fonction de transfert en fonction de la fréquence, permettant d'évaluer les marges de gain et de phase nécessaires à la stabilité.

📝 Points essentiels

• Les diagrammes de Bode et Nichols permettent d’évaluer les marges de gain et de phase, essentielles pour garantir la stabilité du système.
• L’optimisation PID s’appuie sur ces diagrammes pour ajuster les paramètres et améliorer la performance du contrôleur.
• Le plan de Black visualise le lieu de Nyquist et s’utilise pour appliquer le critère du revers dans l’analyse de stabilité.

💡 À retenir

Utiliser efficacement les diagrammes de Bode et Nichols pour guider l’optimisation des correcteurs PID et garantir la stabilité.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des systèmes du premier et second ordre

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre le gain statique avec le gain en boucle fermée.
2. Mélanger la stabilité en boucle ouverte et en boucle fermée.
3. Sous-estimer l'impact du bruit de mesure sur la stabilité.
4. Confondre la constante de temps avec la période de réponse.
5. Ignorer l'effet des pôles et zéros dans l'analyse fréquentielle.
6. Omettre la prise en compte des perturbations dans la modélisation.
7. Confondre la phase maximale avec la phase à la coupure.

✅ Checklist Examen

1. Identifier les pôles et zéros d'une fonction de transfert.
2. Calculer la marge de gain et de phase à partir du diagramme de Bode.
3. Appliquer le critère de Nyquist pour la stabilité.
4. Analyser la réponse temporelle d'un système du premier ordre.
5. Synthétiser un correcteur PI avec avance de phase.
6. Interpréter un diagramme de Nichols pour l'optimisation PID.
7. Évaluer l'impact du bruit de mesure sur la stabilité.
8. Comparer la réponse indicielle de systèmes du premier et second ordre.