Introduction à la statistique multivariée

1. 📌 L'essentiel

• La distribution gaussienne multivariée caractérise un vecteur aléatoire par sa moyenne μ et sa matrice de covariance Σ.
• La densité gaussienne multivariée : $f_X(x) \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^d |\Sigma|}} e^{-\frac{1}{2}(x - \mu)^T \Sigma^{-1} (x - \mu)}$.
• La moyenne μ est le centre de la distribution, Σ indique la dispersion la corrélation entre variables.
• Estimation par maximum de vraisemblance : $\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$, $\hat{\Sigma} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \hat{\mu})(x_i - \hat{\mu})^T$.
• Le test d’hypothèse sur μ utilise la statistique Z : $Z = \frac{\sqrt{n}}{\sigma} (\bar{X} - \mu_0) \sim N(0,1)$.
• La distribution Khi-carré est utilisée pour tester la variance : $V \sim \chi^2(n)$.
• La loi de Student est adaptée pour tester la moyenne quand σ est inconnu : $T \sim Student(n-1)$.
• Le théorème central limite permet d’approcher la distribution de la moyenne par une normale pour grands échantillons.
• Un intervalle de confiance pour μ : $[\bar{X} - z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$.
• La modélisation repose sur l’indépendance, la normalité, et la covariance positive définie.