QCM : Introduction à la statistique multivariée — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la formule de la densité de la distribution gaussienne multivariée pour un vecteur x ?

fX(x) = (1/√((2π)^d det(Σ))) e^{−(1/2)(x−μ)^T Σ^{-1} (x−μ)}
fX(x) = (1/2^{n/2}Γ(n/2)) x^{n/2−1} e^{−x/2}
fX(x) = (1/σ√(2π)) e^{−(x−μ)²/(2σ²)}
fX(x) = (1/√(2π)) e^{−(x−μ)²/(2σ²)}

fX(x) = (1/√((2π)^d det(Σ))) e^{−(1/2)(x−μ)^T Σ^{-1} (x−μ)}

Explication

La densité de la distribution gaussienne multivariée pour un vecteur x de dimension d est donnée par la formule fX(x) = (1/√((2π)^d det(Σ))) e^{−(1/2)(x−μ)^T Σ^{-1} (x−μ)}, où μ est le vecteur d'espérance et Σ la matrice de covariance. La première option correspond à la distribution univariée, la troisième à la loi du Khi-carré, et la quatrième est une formule univariée simplifiée.

2. Quelle est la formule de la densité gaussienne multivariée?

$ f_X(x) = rac{1}{ ext{pourvu}} e^{- rac{1}{2}(x - ext{moyenne})^T ext{Cov}^{-1} (x - ext{moyenne})} $
$ f_X(x) = rac{1}{ ext{normalisateur}} e^{- rac{1}{2}(x - oldsymbol{ heta})^T oldsymbol{eta} (x - oldsymbol{ heta})} $
$ f_X(x) = rac{1}{ ormaleCourante imes | ext{covariance}|^{1/2}} e^{- rac{1}{2}(x - oldsymbol{ ext{moyenne}})^T ext{Cov}^{-1} (x - oldsymbol{ ext{moyenne}})} $
$ f_X(x) = rac{1}{(2 extpi)^{d/2} | ext{Cov}|^{1/2}} e^{- rac{1}{2}(x - oldsymbol{ ext{moyenne}})^T ext{Cov}^{-1} (x - oldsymbol{ ext{moyenne}})} $

$ f_X(x) = rac{1}{ ormaleCourante imes | ext{covariance}|^{1/2}} e^{- rac{1}{2}(x - oldsymbol{ ext{moyenne}})^T ext{Cov}^{-1} (x - oldsymbol{ ext{moyenne}})} $

Explication

La formule correcte inclut le facteur de normalisation $ rac{1}{(2 extpi)^{d/2} | ext{Cov}|^{1/2}} $ pour la densité multivariée, où $d$ est la dimension, et $| ext{Cov}|$ la déterminante de la covariance.

3. Quelle méthode d'estimation est généralement utilisée pour déterminer la moyenne μ à partir d'un échantillon ?

Méthode par moments
Test du Khi-carré
Méthode du maximum de vraisemblance
Test de Student

Méthode du maximum de vraisemblance

Explication

L'estimation par maximum de vraisemblance pour la moyenne μ consiste à prendre la moyenne empirique des données, c'est-à-dire μ̂ = (1/n) ∑ xi. Cette méthode est efficace et largement utilisée en statistique pour estimer les paramètres d'une distribution.

4. Que représente la matrice de covariance $oldsymbol{ ext{Σ}}$ dans une distribution gaussienne multivariée?

Elle indique la moyenne des variables.
Elle définit la dispersion et la corrélation entre variables.
Elle est la même chose que la moyenne vectorielle.
Elle sert uniquement à normaliser la densité.

Elle définit la dispersion et la corrélation entre variables.

Explication

La matrice de covariance $oldsymbol{ ext{Σ}}$ caractérise la dispersion autour de la moyenne ainsi que la corrélation entre variables, influençant la forme et l'orientation de la distribution.

5. Lorsqu'on souhaite tester si la moyenne d'une population est égale à une valeur μ0 avec un échantillon de grande taille, quelle statistique est utilisée et quelle loi suit-elle ?

La statistique F, qui suit une loi F de Fisher
La statistique T, qui suit une loi de Student
La statistique Zn, qui suit une loi normale standard
La statistique V, qui suit une loi du Khi-carré

La statistique Zn, qui suit une loi normale standard

Explication

Pour tester l'hypothèse H0 : μ = μ0 avec un grand échantillon, on utilise la statistique Zn = (√n/σ)(X̄ − μ0). Selon le théorème central limite, cette statistique suit approximativement une loi normale N(0,1) lorsque n est grand. La loi de Student est utilisée pour de petits échantillons ou lorsque σ est inconnu.

6. Selon la fiche, comment peut-on estimer la moyenne $oldsymbol{ ext{μ}}$ à partir des données?

En utilisant la moyenne empirique: $ rac{1}{n} extstyleig ewsum_{i=1}^n x_i $
En calculant la médiane des données.
En utilisant la variance empirique.
En prenant la maximum de vraisemblance de la distribution.

En utilisant la moyenne empirique: $ rac{1}{n} extstyleig ewsum_{i=1}^n x_i $

Explication

L'estimation par maximum de vraisemblance pour la moyenne consiste à calculer la moyenne empirique, ce qui est une méthode simple et efficace.

7. Quel test est utilisé pour vérifier l'hypothèse sur la moyenne $oldsymbol{ ext{μ}}$ lorsque la variance $oldsymbol{ ext{σ}}^2$ est connue?

Le test t de Student.
Le test de Khi-carré pour la variance.
Le test Z standardisé.
Le test de Mann-Whitney.

Le test Z standardisé.

Explication

Le test Z, basé sur la statistique $ Z = rac{ ewline ext{(moyenne échantillonnale - hypothèse $oldsymbol{ ext{μ}_0}$)}}{ ext{écart-type}} $, est utilisé quand la variance est connue.

8. Pour tester la variance d'une distribution selon la fiche, on utilise la loi :

Loi normale.
Loi Khi-carré.
Loi de Student.
Loi de Bernoulli.

Loi Khi-carré.

Explication

La loi de Khi-carré est utilisée pour tester la variance, notamment par rapport à une valeur hypothétique, à partir de la statistique $V hinspace ext{~} ext{ suivant } hinspace ext{ } oldsymbol{ ext{χ}^2(n)}$.

9. Quelle méthode permet d'approcher la distribution de la moyenne par une distribution normale?

Le théorème central limite.
Le lemme de Borel-Cantelli.
Le principe de maximum de vraisemblance.
L'estimation par la méthode des moments.

Le théorème central limite.

Explication

Le théorème central limite affirme que, pour un échantillon suffisamment grand, la distribution de la moyenne échantillonnale tend vers une loi normale, indépendamment de la distribution initiale.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 10 flashcards sur Introduction à la statistique multivariée.

Espace probabiliste — définition ?

(Ω, P, F) avec Ω, P, F

Distribution gaussienne multivariée — paramètres?

Moyenne μ et matrice de covariance Σ.

Variable aléatoire — rôle ?

Modélise une quantité aléatoire

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Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Introduction à la statistique multivariée.

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