Processus stochastique : Famille de variables aléatoires {𝑋𝑡 ∶ 𝑡 ∈ 𝔗} construites sur un espace probabilisé (Ω, ℱ), où 𝔗 peut être continu ou discret. L’indice 𝑡 représente le temps.
Filtration : Famille {ℱ𝑡 ∶ 𝑡 ∈ 𝔗} de tribus de Ω, telle que ℱ𝑡 ⊆ ℱ𝑡' si 𝑡 ≤ 𝑡'. Elle modélise l’information disponible jusqu’au temps 𝑡.
Processus adapté : Un processus {𝑋𝑡} est adapté à la filtration {ℱ𝑡} si 𝑋𝑡 est ℱ𝑡-mesurable ∀ 𝑡.
Mouvement brownien standard (W) : Processus {W𝑡 ∶ t ≥ 0} tel que :
Processus de base : Processus {Xₜ} où Xₜ(ω) = B(ω)I_{]a,b]}(t), avec B ℱₐ-mesurable et carré intégrable.
Intégrale stochastique : ∫₀ᵗ Xₛ dWₛ, définie comme limite de sommes de Riemann adaptées à la filtration.
1. Quelle est la conséquence immédiate de la définition du mouvement brownien standard concernant ses trajectoires ?
2. Quelle est la définition précise du mouvement brownien standard dans un processus stochastique ?
3. Comment appliquer la formule d’Itô pour résoudre une équation différentielle stochastique du type dX_t = a(t) dt + b(t) dW_t, afin d'obtenir l’expression explicite de X_t ?
Processus stochastique — définition ?
Famille de variables aléatoires {X_t} sur un espace probabilisé.
Filtration — rôle ?
Modélise l'information disponible jusqu’au temps t.
Mouvement brownien — propriétés ?
Incréments indépendants, stationnaires, trajectoires continues, loi normale.
W_t — distribution ?
Normale 𝒩(0, t).
Covariance du brownien — formule ?
min(t, s).
Martingale — caractéristique ?
Espérance conditionnelle constante dans le temps.
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