Fiche de révision : Introduction aux Processus Stochastiques et Martingales

📋 Plan du Cours

1. Processus stochastique
2. Mouvement brownien
3. Équations différentielles stochastiques
4. Notions de base en probabilité
5. Variables aléatoires et mesures
6. Processus adaptés et filtrations
7. Indépendance et espérance conditionnelle
8. Variables gaussiennes et indépendance
9. Martingales en temps continu

📖 1. Processus stochastique

🔑 Notions clés & Définitions

• Processus stochastique : Famille de variables aléatoires {𝑋𝑡 ∶ 𝑡 ∈ 𝔗} construites sur un espace probabilisé (Ω, ℱ), où 𝔗 peut être continu ou discret. L’indice 𝑡 représente le temps.

• Filtration : Famille {ℱ𝑡 ∶ 𝑡 ∈ 𝔗} de tribus de Ω, telle que ℱ𝑡 ⊆ ℱ𝑡' si 𝑡 ≤ 𝑡'. Elle modélise l’information disponible jusqu’au temps 𝑡.

• Processus adapté : Un processus {𝑋𝑡} est adapté à la filtration {ℱ𝑡} si 𝑋𝑡 est ℱ𝑡-mesurable ∀ 𝑡.

• Mouvement brownien standard (W) : Processus {W𝑡 ∶ t ≥ 0} tel que :

  • W₀(ω) = 0 ∀ ω
  • Incréments indépendants et stationnaires
  • Wₜ − Wₛ ~ N(0, t−s) pour s < t
  • Trajectoires continues

• Processus de base : Processus {Xₜ} où Xₜ(ω) = B(ω)I_{]a,b]}(t), avec B ℱₐ-mesurable et carré intégrable.

• Intégrale stochastique : ∫₀ᵗ Xₛ dWₛ, définie comme limite de sommes de Riemann adaptées à la filtration.

📝 Points essentiels

• Les processus stochastiques modélisent l’évolution aléatoire dans le temps.
• La filtration représente l’information disponible à chaque instant.
• Un mouvement brownien est un exemple clé, caractérisé par sa continuité, ses incréments indépendants et sa loi normale.
• La famille {Wₜ} est une martingale en temps continu, avec E[|Wₜ|] < +∞.
• La trajectoire du mouvement brownien est continue presque sûre.
• La propriété d’indépendance des incréments permet de caractériser le mouvement brownien.
• L’intégrale stochastique ∫ Xₛ dWₛ est une martingale avec espérance nulle.

💡 À retenir

Un processus stochastique modélise une évolution aléatoire dans le temps, avec le mouvement brownien comme exemple fondamental. La filtration formalise l’information disponible, et l’intégrale stochastique constitue un outil central pour analyser ces phénomènes.

📖 2. Mouvement brownien

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement brownien standard (W) : Processus stochastique {W_t} tel que :

  • W_0(ω) = 0 pour tout ω ∈ Ω
  • Les variables {W_tk − W_tk−1} pour 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ... sont indépendantes
  • ∀ s < t, W_t − W_s ~ N(0, t−s)
  • La trajectoire t → W_t(ω) est continue (Wiener)

• Propriétés du mouvement brownien :

  • Adapté à la filtration ℱ = {ℱ_t}
  • Trajectoires continues
  • Variance : Var(W_t) = t
  • Covariance : Cov(W_t, W_s) = min(t, s)

• Martingale associée : {W_t} est une martingale en temps continu.

📝 Points essentiels

• Le mouvement brownien modélise un mouvement aléatoire avec incréments indépendants et stationnaires.
• La distribution de W_t est normale avec moyenne 0 et variance t.
• La propriété d’indépendance des incréments implique que pour s < t, W_t − W_s est indépendant de ℱ_s.
• La continuité des trajectoires est presque sûre.
• La covariance entre deux temps t et s est donnée par min(t, s).
• Le processus {W_t^2 − t} est une martingale.
• Le mouvement brownien standard est une martingale adaptée avec espérance constante nulle.

💡 À retenir

Le mouvement brownien est un processus stochastique continu, à incréments indépendants et stationnaires, dont la trajectoire est presque sûrement continue et dont la distribution à chaque instant suit une loi normale.

📖 3. Équations différentielles stochastiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Processus stochastique : Ensemble de variables aléatoires {𝑋𝑡 | 𝑡 ∈ 𝔗} sur un espace probabilisé, modélisant une évolution aléatoire dans le temps. (Source : description générale)
• Mouvement brownien (ou processus de Wiener) : Processus stochastique standard {𝑊𝑡} tel que 𝑊0 = 0, avec des incréments indépendants et distribués selon 𝒩(0, 𝑡−𝑠). (Source : définition du mouvement brownien standard)
• Équation différentielle stochastique (EDS) : Équation impliquant des éléments aléatoires dans la dynamique d’un système, souvent formulée avec un mouvement brownien. (Source : description générale)
• Itô : Formule fondamentale pour le calcul différentiel stochastique, permettant d’intégrer des processus par rapport à un mouvement brownien. (Source : mention des formules d’Itô)
• Filtration : Famille {ℱ𝑡} de tribus croissantes représentant l’information disponible jusqu’au temps 𝑡. (Source : définition de filtration)
• Martingale : Processus adapté à une filtration où l’espérance conditionnelle future est égale à la valeur présente. (Source : définition de martingale)

📝 Points essentiels

• Les EDS modélisent l’évolution de systèmes soumis à l’aléa, en intégrant un terme déterministe et un terme stochastique via un mouvement brownien.
• La solution d’une EDS s’obtient souvent par la formule d’Itô, qui permet de calculer les variations du processus en fonction du mouvement brownien.
• Le mouvement brownien standard {𝑊𝑡} possède des propriétés clés : trajectoires continues, incréments indépendants et distribution normale 𝒩(0, 𝑡).
• La filtration {ℱ𝑡} est essentielle pour définir l’adaptation d’un processus et appliquer la formule d’Itô.
• Les équations différentielles stochastiques sont utilisées pour modéliser des phénomènes complexes comme la diffusion ou l’évolution des marchés financiers.
• La propriété de martingale est centrale dans le contexte des EDS, notamment pour montrer que certains processus issus d’intégrales stochastiques ont une espérance constante.

💡 À retenir

Les équations différentielles stochastiques combinent la dynamique déterministe et aléatoire via le calcul d’Itô, permettant de modéliser efficacement des phénomènes évoluant sous incertitude dans divers domaines.

📖 4. Notions de base en probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace probabilisé : Triplet (Ω, ℱ, ℙ) où Ω est l’ensemble des résultats possibles, ℱ une tribu (ou 𝜎-algèbre) sur Ω, et ℙ une mesure de probabilité.
• Tribu (ou 𝜎-algèbre) : Collection ℱ de sous-ensembles de Ω telle que :
  • Ω ∈ ℱ
  • Si A ∈ ℱ, alors Aᶜ ∈ ℱ
  • Si A₁, A₂, ... ∈ ℱ, alors ∪ᵢ≥1 Aᵢ ∈ ℱ
• Événement : Élément A ∈ ℱ.
• Partition finie : Famille d’événements {A₁, ..., Aₙ} telle que :
  • Ai ≠ ∅ pour tout i
  • Ai ∩ Aj = ∅ pour i ≠ j
  • Ω = ⋃_{i=1}^n Ai
• Mesure de probabilité : Fonction ℙ : ℱ → [0,1] vérifiant :
  • ℙ(Ω) = 1
  • Pour tout A ∈ ℱ, 0 ≤ ℙ(A) ≤ 1
  • Disjonction finie : si Ai sont disjoints, alors ℙ(∪i Ai) = Σi ℙ(Ai)
• Espace probabilisé : Triplet (Ω, ℱ, ℙ).
• Variable aléatoire : Fonction X : Ω → ℝ telle que {ω | X(ω) ≤ x} ∈ ℱ pour tout x. Elle est ℱ-mesurable.
• Tribu engendrée par X : Notée 𝜎(X), la plus petite tribu rendant X mesurable.
• Processus stochastique : Famille {X_t | t ∈ T} de variables aléatoires sur (Ω, ℱ). T peut être continu ou discret.
• Filtration : Famille {ℱ_t | t ∈ T} de tribus avec inclusions croissantes (ℱ_t ⊆ ℱ_s si t ≤ s).
• Processus adapté : X_t est ℱ_t-mesurable pour tout t.
• Indépendance : Deux événements ou variables X,Y sont indépendants si P(A∩B)=P(A)P(B). Variables X,Y sont indépendantes si pour partitions finies {A_i}, {B_j} on a P(A_i∩B_j)=P(A_i)P(B_j).

📝 Points essentiels

• La fonction mesure de probabilité vérifie la loi des événements disjoints et la normalisation P(Ω)=1.
• La variable aléatoire est caractérisée par sa mesurabilité par rapport à une tribu donnée. La tribu engendrée par X est la plus petite contenant toutes les préimages d’intervalles réels sous X.
• La filtration représente l’information disponible à chaque instant; un processus adapté est mesurable à cette filtration.
• L’indépendance entre variables ou événements se vérifie via leur probabilité conjointe et leurs mesures marginales sur partitions finies.
• La condition d’indépendance implique que l’espérance conditionnelle d’une variable donnée Y par rapport à une tribu contenant X est égale à son espérance inconditionnelle si X et Y sont indépendants.

💡 À retenir

Les notions fondamentales en probabilité reposent sur l’espace probabilisé, la tribu et la variable aléatoire, avec la filtration permettant de modéliser l’évolution de l’information; l’indépendance se vérifie via les mesures associées sur partitions finies.

📖 5. Variables aléatoires et mesures

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace probabilisé : Triplet (Ω, ℱ, ℙ) où Ω est l’ensemble fondamental, ℱ une tribu (𝜎-algèbre) de Ω, et ℙ une mesure de probabilité sur ℱ.

• Variable aléatoire : Fonction 𝑋 : Ω → ℝ, ℱ-mesurable, telle que pour tout x ∈ ℝ, {ω ∈ Ω : 𝑋(ω) ≤ x} ∈ ℱ.

• Processus stochastique : Famille de variables aléatoires {𝑋𝑡 : t ∈ 𝔗} construites sur (Ω, ℱ), indexées par le temps t.

• Filtration : Famille {ℱ𝑡 : t ∈ 𝔗} de tribus telle que ℱ𝑡 ⊆ ℱ𝑡' si t ≤ t', et adaptée si 𝑋𝑡 est ℱ𝑡-mesurable.

• Indépendance : Deux événements A, B ∈ ℱ sont indépendants si ℙ(A ∩ B) = ℙ(A)ℙ(B). Deux variables X, Y sont indépendantes si leurs σ-algèbres respectives sont indépendantes.

• Espérance : 𝐸ℙ[X] = Σ_{ω∈Ω} X(ω)ℙ(ω), somme finie ou intégrale selon contexte.

• Moment d’ordre k : 𝐸ℙ[X^k].

• Variance : 𝑉arℙ[X] = 𝐸ℙ[(X − 𝐸ℙ[X])^2].

• Covariance : 𝐶ovℙ[X,Y] = 𝐸ℙ[(X − 𝐸ℙ[X])(Y − 𝐸ℙ[Y])].

• Probabilité conditionnelle : Pour A avec ℙ(A) ≠ 0, 𝐸ℙ[

• | A] = (1/ℙ(A)) Σ_{ω∈A}

• (ω)ℙ(ω).

• Espérance conditionnelle : 𝐸ℙ[X | 𝒢], avec 𝒢 ⊆ ℱ tribu engendrée par partition finie; variable ℱ𝑡-mesurable si adaptée à la filtration.

📝 Points essentiels

• La tribu ℱ est engendrée par des partitions finies {A₁,...,Aₙ} si elle est la plus petite contenant ces éléments; ses atomes sont les Aᵢ.

• La mesure de probabilité vérifie : ℙ(Ω)=1, ∀A∈ℱ, 0 ≤ ℙ(A) ≤1, et additive sur événements disjoints.

• La variable aléatoire X est ℱ-mesurable si {X ≤ x} ∈ ℱ pour tout x. La tribu engendrée par X est notée σ(X).

• Processus stochastique {X_t} est adapté à {ℱ_t} si X_t est ℱ_t-mesurable. La filtration est croissante: t₁ ≤ t₂ ⇒ ℱ_{t₁} ⊆ ℱ_{t₂}.

• Deux variables X,Y sont indépendantes si pour toutes partitions finies {A_i}, {B_j}, on a P(A_i ∩ B_j)=P(A_i)P(B_j).

• Espérance d’une variable à densité continue ou discrète se définit par somme ou intégrale; variance = E[(X−E[X])^2].

• Espérance conditionnelle E[X|𝒢] est constante sur les atomes de la tribu 𝒢; elle vérifie propriétés d’additivité et de linéarité.

💡 À retenir

Les variables aléatoires sont mesurables par rapport à une tribu spécifique; l’espérance et la covariance permettent d’analyser leur comportement en lien avec la structure probabiliste. La filtration modélise l’évolution de l’information dans le temps.

📖 6. Processus adaptés et filtrations

🔑 Notions clés & Définitions

• Processus stochastique : Famille de variables aléatoires {𝑋𝑡} indexées par un ensemble 𝔗, construite sur (Ω, ℱ). Peut être continu (𝔗 = [0, +∞[) ou discret (𝔗 = {0,1,2,...}).

• Filtration : Famille {ℱ𝑡} de tribus de Ω telle que ℱ𝑡 ⊆ ℱ ∀ 𝑡 et si 𝑡₁ ≤ 𝑡₂, alors ℱ𝑡₁ ⊆ ℱ𝑡₂.

• Processus adapté : Processus {𝑋𝑡} est adapté à la filtration 𝔽 si 𝑋𝑡 est ℱ𝑡-mesurable ∀ 𝑡.

• Filtration engendrée par un processus : La plus petite filtration {ℱ𝑡} telle que chaque 𝑋𝑡 soit ℱ𝑡-mesurable, notée {ℱ𝑡 = σ(trajectory jusqu’à t)}.

• Processus de filtrage : Processus stochastique {X_t} où chaque X_t est ℱ_t-mesurable.

📝 Points essentiels

• Processus adapté et filtration : Un processus est dit adapté si ses valeurs sont mesurables par la tribu ℱ𝑡 à chaque instant t. La filtration représente l’information disponible jusqu’au temps t.

• Filtration engendrée par un processus : Elle est construite à partir des trajectoires du processus. Par exemple, pour un processus X, ℱₜ = σ({X_s | s ≤ t}).

• Notion de filtration naturelle : La filtration générée par un processus {X_t} est la plus petite filtrations rendant le processus mesurable à chaque instant.

• Exemples d’applications : La filtration permet de formaliser l’information disponible dans le temps pour modéliser des phénomènes évolutifs ou filtrés.

💡 À retenir

Les processus adaptés sont ceux dont chaque valeur à un instant t est mesurable par la tribu représentant l'information disponible jusqu’à ce moment. La filtration organise cette information dans le temps, permettant d’étudier la dynamique des processus stochastiques en lien avec leur évolution temporelle.

📖 7. Indépendance et espérance conditionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance d’événements : Deux événements 𝐴, 𝐵 ∈ ℱ sont indépendants si ℙ(𝐴 ∩ 𝐵) = ℙ(𝐴)ℙ(𝐵).

• Indépendance de variables aléatoires : Deux variables 𝑋, 𝑌 sont indépendantes si, pour toute partition finie 𝒫𝑋 = {𝐴₁, … , 𝐴ₘ} de 𝜎(𝑋) et 𝒫𝑌 = {𝐵₁, … , 𝐵ₙ} de 𝜎(𝑌), on a ℙ(𝐴ᵢ ∩ 𝐵ⱼ) = ℙ(𝐴ᵢ)ℙ(𝐵ⱼ).

• Probabilité conditionnelle : Pour tout A ∈ ℱ avec ℙ(𝐴) ≠ 0, la probabilité conditionnelle est ℙ(

• | 𝐴) : ℱ → [0,1], définie par ℙ(𝐵 | 𝐴) = ℙ(𝐴 ∩ 𝐵)/ℙ(𝐴).

• Indépendance via probabilité conditionnelle : Deux variables 𝑋, 𝑌 sont indépendantes si et seulement si, pour tout A ∈ σ(𝑋), B ∈ σ(𝑌), on a ℙ(B | A) = ℙ(B).

• Variables indépendantes sur partitions : Si partitions finies 𝒫𝑋 et 𝒫𝑌 vérifient ℙ(𝐴ᵢ ∩ 𝐵ⱼ) = ℙ(𝐴ᵢ)ℙ(𝐵ⱼ), alors 𝑋 et 𝑌 sont indépendantes.

• Indépendance et espérance conditionnelle : Si 𝑋 et 𝑌 sont indépendantes, alors pour toute tribu ⊆ ℱ, on a ℙ(

• | σ(𝑌)) = ℙ(

• ), donc aussi pour l’espérance conditionnelle :     E[𝑋 | σ(𝑌)] = E[𝑋]

📝 Points essentiels

• Indépendance d’événements implique que la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités individuelles.

• Variables aléatoires indépendantes se caractérisent par la factorisation des probabilités jointes sur partitions finies ou par la propriété que leur espérance conditionnelle l’une par rapport à l’autre est constante (égale à leur espérance).

• La probabilité conditionnelle permet d’établir une relation entre deux événements ou variables en tenant compte d’une information donnée.

• Si deux variables sont indépendantes, leur espérance conditionnelle est égale à leur espérance inconditionnelle :
      E[𝑋 | σ(𝑌)] = E[𝑋]

• La notion d’indépendance se vérifie aussi via la covariance :
      Cov[X,Y] = E[XY] - E[X]E[Y] = 0 implique souvent l’indépendance si X et Y sont normales.

💡 À retenir

L’indépendance entre événements ou variables aléatoires se traduit par une factorisation des probabilités ou espérances conditionnelles. Elle implique que connaître une variable n’apporte aucune information sur l’autre.

📖 8. Variables gaussiennes et indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire gaussienne : Variable dont la loi suit une distribution normale. (Source : contexte général, non explicitement défini dans le texte, mais implicite par la mention de variables normales).

• Indépendance : Deux variables aléatoires 𝑋 et 𝑌 sont indépendantes si, pour toute partition finie 𝒫𝑋 = {𝐴₁, …, 𝐴ₘ} de 𝜎(𝑋) et 𝒫𝑌 = {𝐵₁, …, 𝐵ₙ} de 𝜎(𝑌), on a :

  $\forall 𝐴 ∈ 𝒫𝑋, \forall 𝐵 ∈ 𝒫𝑌,\quad ℙ(𝐴 ∩ 𝐵) = ℙ(𝐴) \times ℙ(𝐵)$

• Covariance : Pour deux variables aléatoires X et Y construites sur un espace probabilisé (Ω, ℱ, ℙ), la covariance est définie par :

  $\operatorname{Cov}_ℙ[X,Y] = E_ℙ[(X - E_ℙ[X])(Y - E_ℙ[Y])]$

• Indépendance pour variables normales : Si X et Y sont gaussiennes, elles sont indépendantes si et seulement si leur covariance est nulle :

  $\operatorname{Cov}_ℙ[X,Y] = 0$

📝 Points essentiels

• Indépendance et covariance : Pour deux variables normales, l’indépendance est équivalente à la covariance nulle.

• Variables gaussiennes indépendantes : Si X ~ N(μ₁, σ₁²) et Y ~ N(μ₂, σ₂²) sont indépendantes, alors leur somme Z = X + Y suit une loi normale avec :

  $Z \sim N(\mu_1 + \mu_2,\, σ_1^2 + σ_2^2)$

• Propriété de covariance dans le mouvement brownien : Pour un mouvement brownien standard W, on a :

  $\operatorname{Cov}[W_t,W_s] = \min(t,s)$

  indiquant que W_t et W_s sont indépendants si t ≠ s uniquement si leur covariance est nulle (ce qui n’est pas le cas sauf en t=0).

💡 À retenir

Les variables gaussiennes sont indépendantes si leur covariance est nulle ; cette propriété simplifie la vérification de l’indépendance dans le cas des lois normales.

📖 9. Martingales en temps continu

🔑 Notions clés & Définitions

• Processus de martingale (temps continu) : Processus 𝑀 = {𝑀𝑡 ∶ 𝑡 ≥ 0} adapté à une filtration 𝔽 = {ℱ𝑡} où  𝐸ℙ[|𝑀𝑡|] < +∞ ∀ 𝑡 ≥ 0,  ℱ𝑡-mesurable,  𝐸ℙ[𝑀𝑡 | ℱ𝑠] = 𝑀𝑠 ∀ s < t.

• Mouvement brownien standard : Processus {𝑊𝑡 ∶ 𝑡 ≥ 0} tel que  𝑊0(ω) = 0,  Incréments indépendants et stationnaires,  𝑊t − 𝑊s ~ 𝒩(0, t−s),  Trajectoires continues.

• Temps d’arrêt : Fonction ℱ-mesurable τ : Ω → [0, +∞], telle que {ω ∈ Ω | τ(ω) ≤ t} ∈ ℱt ∀ t ≥ 0.

• Théorème d’arrêt : Si 𝑀 est une martingale à trajectoires continues et τ un temps d’arrêt fini, alors 𝐸ℙ[𝑀τ] = 𝐸ℙ[𝑀0].

📝 Points essentiels

• Martingale en temps continu : Modèle où l’espérance conditionnelle à une filtration croissante est constante dans le temps. Elle modélise un processus sans tendance ni gain attendu.

• Propriétés du mouvement brownien :

  • Continuité des trajectoires.
  • Incréments indépendants et gaussiens.
  • Distribution normale : Wt ~ 𝒩(0, t).

• Martingale du mouvement brownien :

  • {Wt} est une martingale.

• Invariance temporelle et transformations :

  • {Wt+ s − Ws} est aussi un mouvement brownien.
  • {−Wt} est un mouvement brownien.
  • {cWt} avec c ≠ 0 est un mouvement brownien (dilatation temporelle).

• Indépendance et covariance :

  • Deux variables normales indépendantes ont covariance nulle.

• Intégration stochastique :

  • L’intégrale ∫₀ᵗ Xs dWs est une martingale si X est adaptée et intégrable.

• Théorème d’arrêt en temps continu :

  • Pour une martingale continue M et τ un temps d’arrêt fini, Eℙ[Mτ] = M0.

💡 À retenir

Les martingales en temps continu sont des processus dont l’espérance conditionnelle reste constante dans le temps, notamment illustrée par le mouvement brownien qui joue un rôle central dans la modélisation stochastique. Le théorème d’arrêt garantit que ces propriétés sont conservées même à l’instant aléatoire où le processus s’arrête.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la continuité des trajectoires du mouvement brownien avec la continuité du processus lui-même (trajectoires continues presque sûre).
2. Assimiler à tort la propriété d’indépendance des incréments à une dépendance éventuelle entre W_t et W_s pour s < t.
3. Omettre que l’intégrale stochastique ∫ X_s dW_s est une martingale à espérance nulle.
4. Confondre la filtration {ℱ_t} avec l’ensemble de toutes les tribus possibles sans restriction.
5. Mal interpréter la covariance min(t,s) comme une mesure d’indépendance ou de corrélation nulle.
6. Négliger que la propriété de martingale implique l’espérance conditionnelle constante dans le temps.
7. Confondre la notion de variable aléatoire avec celle de processus adapté ou filtré.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition précise d’un processus stochastique et ses composants (famille {X_t}, espace probabilisé).
2. Savoir ce qu’est une filtration et son rôle dans la modélisation des informations disponibles.
3. Maîtriser les propriétés du mouvement brownien : trajectoires continues, incréments indépendants et stationnaires, distribution normale.
4. Être capable d’énoncer et d’expliquer la propriété de covariance du mouvement brownien : min(t,s).
5. Comprendre que {W_t} est une martingale en temps continu avec espérance nulle.
6. Connaître la formule d’Itô pour l’intégrale stochastique et ses applications.
7. Savoir ce qu’est une équation différentielle stochastique (EDS) et ses éléments constitutifs.
8. Maîtriser les notions fondamentales en probabilité : espace probabilisé (Ω, ℱ, ℙ), variable aléatoire, tribu engendrée.
9. Être capable d’identifier une variable ou un processus comme étant adapté ou non à une filtration donnée.
10. Connaître la définition d’indépendance entre événements et variables aléatoires.
11. Savoir que le processus {W_t^2 − t} est une martingale.
12. Vérifier si un processus est adapté à une filtration donnée et si ses trajectoires sont continues.

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