QCM : Introduction aux Processus Stochastiques et Martingales — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la conséquence immédiate de la définition du mouvement brownien standard concernant ses trajectoires ?

Les trajectoires du mouvement brownien sont continues presque sûrement.
Les trajectoires du mouvement brownien sont discontinuës avec une infinité de sauts.
Les trajectoires du mouvement brownien sont bornées sur tout intervalle fini.
Les trajectoires du mouvement brownien présentent une dérivabilité en chaque point.

Les trajectoires du mouvement brownien sont continues presque sûrement.

Explication

La définition du mouvement brownien implique que ses trajectoires sont continues presque sûrement, ce qui est une propriété fondamentale du processus. Les autres options sont incorrectes : le mouvement brownien n'a pas de sauts, ses trajectoires ne sont pas dérivables en chaque point, et elles ne sont pas bornées sur tout intervalle fini.

2. Quelle est la définition précise du mouvement brownien standard dans un processus stochastique ?

C'est un processus qui conserve une valeur constante au cours du temps, sans variation.
C'est un processus dont la variance augmente de façon exponentielle avec le temps et qui a des trajectoires discontinues.
C'est un processus dont toutes les trajectoires sont discontinues et dont la distribution à chaque instant est uniforme.
C'est un processus qui démarre à zéro, avec des incréments indépendants, stationnaires, suivant une loi normale 𝒩(0, t−s), et dont les trajectoires sont continues.

C'est un processus qui démarre à zéro, avec des incréments indépendants, stationnaires, suivant une loi normale 𝒩(0, t−s), et dont les trajectoires sont continues.

Explication

Le mouvement brownien standard démarre à zéro, possède des incréments indépendants, stationnaires, et chaque incrément suit une loi normale 𝒩(0, t−s). Il est aussi caractérisé par la continuité de ses trajectoires, ce qui le distingue d’autres processus stochastiques. La réponse 1 correspond précisément à cette définition.

3. Comment appliquer la formule d’Itô pour résoudre une équation différentielle stochastique du type dX_t = a(t) dt + b(t) dW_t, afin d'obtenir l’expression explicite de X_t ?

Utiliser la formule d'Itô pour exprimer dX_t en fonction de X_t, de W_t, et de leurs différentiels, puis intégrer cette expression de 0 à t.
Intégrer directement les termes a(t) et b(t) en utilisant la formule d'Itô, ce qui donne X_t = X_0 + ∫₀ᵗ a(s) ds + ∫₀ᵗ b(s) dW_s.
Appliquer la formule d'Itô à la fonction logarithme de X_t pour transformer l’EDS en une équation plus simple à résoudre.
Calculer la dérivée en temps de X_t en utilisant la règle de dérivation classique, puis intégrer cette dérivée dans l'intervalle [0, t].

Intégrer directement les termes a(t) et b(t) en utilisant la formule d'Itô, ce qui donne X_t = X_0 + ∫₀ᵗ a(s) ds + ∫₀ᵗ b(s) dW_s.

Explication

L'option 0 est correcte car la formule d'Itô permet d'intégrer directement l'équation différentielle stochastique en séparant les termes déterministes et stochastiques. La solution explicite de X_t s'obtient en intégrant a(t) en temps classique et b(t) avec l'intégrale stochastique par rapport à W_t. Les autres options ne reflètent pas l’usage correct de la formule d’Itô pour résoudre une EDS, notamment la dérivation classique ou la transformation logarithmique qui ne sont pas directement applicables dans ce contexte.

4. Quelle est une caractéristique essentielle de la mesure de probabilité dans un espace probabilisé ?

La somme des probabilités de tous les événements est égale à 1
La mesure est invariante par translation
La mesure est additive sur les événements disjoints
La mesure de tout événement est comprise entre 0 et 1

La somme des probabilités de tous les événements est égale à 1

Explication

Dans un espace probabilisé, la mesure de probabilité doit être une mesure totale, ce qui implique que la somme des probabilités de tous les événements dans ℱ est 1. La propriété d’additivité sur événements disjoints fait partie des axiomes fondamentaux d’une mesure de probabilité, mais la caractéristique principale est que la mesure totale de l’espace est 1, ce qui garantit la cohérence de la mesure probabiliste.

5. Qui a formulé le mouvement brownien standard comme processus stochastique ?

Norbert Wiener
Albert Einstein
Paul Langevin
André Weil

Norbert Wiener

Explication

Norbert Wiener est crédité d'avoir formulé le mouvement brownien comme un processus stochastique formel, en établissant ses propriétés mathématiques fondamentales. Les autres chercheurs mentionnés ont contribué à d’autres aspects de la physique ou des mathématiques, mais ne sont pas à l’origine de cette formalisation.

6. Quel est le rôle principal de l'adaptation d'un processus à une filtration dans la modélisation stochastique ?

Elle assure que le processus possède des trajectoires continues.
Elle garantit que le processus est indépendant du mouvement brownien.
Elle permet de calculer l'espérance conditionnelle du processus.
Elle garantit que le processus ne dépend que de l'information disponible jusqu'au moment actuel.

Elle garantit que le processus ne dépend que de l'information disponible jusqu'au moment actuel.

Explication

L'adaptation d'un processus à une filtration assure que ses valeurs à chaque instant sont déterminées uniquement par l'information disponible jusqu'à ce moment, évitant ainsi toute anticipation ou dépendance aux données futures, ce qui est essentiel pour la cohérence de la modélisation stochastique.

7. À quel moment la propriété suivante est-elle généralement établie pour un processus martingale comme le mouvement brownien : l'espérance conditionnelle par rapport à l'information jusqu'à ce moment est égale à la valeur présente ?

Après la terminaison du processus, lors de l’arrêt
À un moment aléatoire déterminé par un temps d’arrêt
À chaque instant t, en utilisant la filtration jusqu’à t
Au tout début du processus, à l'instant initial

À chaque instant t, en utilisant la filtration jusqu’à t

Explication

La propriété d'espérance conditionnelle constante pour une martingale comme le mouvement brownien est établie à chaque instant t, en utilisant la filtration ℱ_t qui représente l'information disponible jusqu’à cet instant. Cela signifie que, conditionnellement à ℱ_t, l'espérance de W_t est égale à W_s pour tout s ≤ t, et en particulier, à t, cette propriété est vérifiée. La réponse correcte est donc à chaque instant t, en utilisant la filtration jusqu’à t, car c’est la définition même de la martingale en temps continu.

8. Dans le contexte des variables gaussiennes, en quoi l’indépendance et la covariance sont-elles liées ?

Pour les variables gaussiennes, l’indépendance est équivalente à une covariance nulle.
Une covariance nulle garantit l’indépendance uniquement pour les variables gaussiennes, mais pas pour d’autres lois.
L’indépendance et la covariance sont deux notions totalement indépendantes, sans lien particulier.
L’indépendance implique toujours une covariance nulle, mais une covariance nulle n’implique pas nécessairement l’indépendance.

Pour les variables gaussiennes, l’indépendance est équivalente à une covariance nulle.

Explication

Pour les variables gaussiennes, l’indépendance est équivalente à la covariance nulle. Cela signifie que si deux variables normales ont une covariance nulle, elles sont indépendantes, ce qui n'est pas le cas en général pour d’autres types de variables.

9. Quelle est la loi de W_t, où {W_t} est un mouvement brownien standard, à un instant fixé t > 0 ?

Loi normale N(0, t)
Loi de Cauchy avec paramètre 0 et t
Loi uniforme sur [0, t]
Loi exponentielle de paramètre 1

Loi normale N(0, t)

Explication

La loi de W_t pour un mouvement brownien standard est une loi normale N(0, t), caractérisée par sa moyenne nulle et sa variance t, conformément à la définition du mouvement brownien.

Révisez avec les flashcards

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Processus stochastique — définition ?

Famille de variables aléatoires {X_t} sur un espace probabilisé.

Filtration — rôle ?

Modélise l'information disponible jusqu’au temps t.

Mouvement brownien — propriétés ?

Incréments indépendants, stationnaires, trajectoires continues, loi normale.

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