La loi binomiale
Explication
La loi binomiale compte le nombre de succès sur un nombre fixé d’essais indépendants de probabilité p. La loi géométrique compte, elle, le nombre d’essais jusqu’au premier succès.
P(X\le q_{1-\alpha})=1-\alpha
Explication
Par définition, le quantile d’ordre 1-\alpha laisse 1-\alpha de probabilité à gauche. C’est l’outil central pour construire des intervalles de confiance via les bornes critiques.
À calibrer la décision entre H0 et H1
Explication
La loi sous H0 permet de déterminer des seuils, des régions de rejet et des p-valeurs. C’est elle qui contrôle le niveau du test.
Le rapport de vraisemblance
Explication
Le test optimal classe les observations à l’aide du rapport de vraisemblance entre H1 et H0. Le théorème de Neyman-Pearson dit qu’un seuil sur ce rapport maximise la puissance à niveau fixé.
Uniforme sur [0,1]
Explication
Si la statistique est continue, la p-valeur est uniformément distribuée sur [0,1] sous H0. En revanche, dans le cas discret, elle n’est pas parfaitement uniforme.
Qu’une somme ou moyenne i.i.d. peut être approchée par une loi gaussienne
Explication
Le TCL permet d’approximer une somme ou une moyenne de variables i.i.d. par une gaussienne quand n est grand. Cela rend les p-valeurs et les tests plus simples à calculer.
\(T=\frac{\sqrt{n}(\bar X-\mu_0)}{\hat\sigma}\)
Explication
Quand la variance est inconnue, la statistique de Student remplace la variance vraie par l’écart-type empirique. Sous H0, elle suit une loi de Student à n-1 degrés de liberté.
Le test sur la variance
Explication
Pour tester une hypothèse sur la variance, on utilise une statistique de type chi-deux puis un quantile de la loi correspondante. Le test de Fisher, lui, compare deux variances via un rapport de variances.
La somme des écarts au carré divisés par les effectifs attendus
Explication
Le test du chi-deux repose sur la somme \(\sum (O_i-E_i)^2/E_i\), qui mesure l’écart entre effectifs observés et attendus. C’est cette statistique qu’on compare à une loi du chi-deux approchée.
La distance maximale entre la fonction de répartition empirique et une fonction théorique
Explication
La statistique KS est la borne supérieure de |\hat F_n(x)-F_0(x)| sur tous les x. Elle mesure donc l’écart maximal entre la loi empirique et la loi théorique.
\(F=\frac{S_{inter}/(I-1)}{S_{intra}/(n-I)}\)
Explication
Sous H0, la statistique ANOVA/Fisher compare la variance inter-groupes à la variance intra-groupes normalisées par leurs degrés de liberté. Elle suit une loi de Fisher \(F(I-1,n-I)\) sous H0.
Le test seuil \(1\{X\ge \rho/2\}\)
Explication
Le test seuil en \(\rho/2\) atteint exactement la borne minimax indiquée, avec un risque \(2(1-\Phi(\rho/2))\). Il est donc optimal au sens minimax.
Mémorisez les réponses avec 24 flashcards sur Introduction aux tests statistiques et lois de base.
Distributions usuelles — définition ?
Lois de base comme binomiale, gaussienne, Poisson, etc.
Lois de base — rôle ?
Modéliser phénomènes aléatoires courants.
Intervalle de confiance — rôle ?
Estimer un paramètre avec une probabilité de couverture.
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