Introduction aux variables aléatoires et lois associées

📋 Plan du Cours

1. Couple de variables aléatoires
2. Lois marginales
3. Lois conditionnelles
4. Indépendance variables
5. Espérance et variance
6. Covariance et décorrélation
7. Somme de variables
8. Loi de la somme
9. Série génératrice
10. Loi de la somme indépendante

📖 1. Couple de variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Couple de variables aléatoires (X, Y) : application (X, Y) : Ω → R², ω 7→ (X(ω), Y(ω)), où X et Y sont des VAD réelles sur Ω.
• Loi conjointe de X et Y : application P_{X,Y} : P(X(Ω)) × P(Y(Ω)) → [0,1], (A, B) 7→ P((X ∈ A) ∩ (Y ∈ B)). Elle donne la probabilité que X et Y prennent des valeurs dans des ensembles A et B respectivement.
• Lois marginales du couple (X, Y) : lois de X et Y séparément, définies par :
  • P(X = xi) = ∑_{j∈J} P(X = xi, Y = yj)
  • P(Y = yj) = ∑_{i∈I} P(X = xi, Y = yj)
• Lois conditionnelles du couple (X, Y) : loi de X sachant un événement A de probabilité non nulle, donnée par : P(X = x | A) = P((X = x) ∩ A) / P(A). En particulier, pour A = {Y = yj}, on définit P(X = xi | Y = yj).

📝 Points essentiels