Fiche de révision : Introduction aux variables aléatoires et lois associées

📋 Plan du Cours

1. Couple de variables aléatoires
2. Lois marginales
3. Lois conditionnelles
4. Indépendance variables
5. Espérance et variance
6. Covariance et décorrélation
7. Somme de variables
8. Loi de la somme
9. Série génératrice
10. Loi de la somme indépendante

📖 1. Couple de variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Couple de variables aléatoires (X, Y) : application (X, Y) : Ω → R², ω 7→ (X(ω), Y(ω)), où X et Y sont des VAD réelles sur Ω.
• Loi conjointe de X et Y : application P_{X,Y} : P(X(Ω)) × P(Y(Ω)) → [0,1], (A, B) 7→ P((X ∈ A) ∩ (Y ∈ B)). Elle donne la probabilité que X et Y prennent des valeurs dans des ensembles A et B respectivement.
• Lois marginales du couple (X, Y) : lois de X et Y séparément, définies par :
  • P(X = xi) = ∑_{j∈J} P(X = xi, Y = yj)
  • P(Y = yj) = ∑_{i∈I} P(X = xi, Y = yj)
• Lois conditionnelles du couple (X, Y) : loi de X sachant un événement A de probabilité non nulle, donnée par : P(X = x | A) = P((X = x) ∩ A) / P(A). En particulier, pour A = {Y = yj}, on définit P(X = xi | Y = yj).

📝 Points essentiels

• La loi conjointe est entièrement décrite par la famille de probabilités P(X = xi, Y = yj) pour tous (i, j).
• Les lois marginales s’obtiennent en sommant la loi conjointe sur l’un des indices :
  • P(X = xi) = ∑_{j} P(X = xi, Y = yj)
  • P(Y = yj) = ∑_{i} P(X = xi, Y = yj)
• La loi conditionnelle de X sachant Y = yj est définie par P(X = xi | Y = yj) = P(X = xi, Y = yj) / P(Y = yj).
• La famille d’événements ((X = xi) ∩ (Y = yj)) forme un système complet d’événements, et la somme des probabilités P(X = xi, Y = yj) sur tous (i, j) est égale à 1.

💡 À retenir

Le couple de variables aléatoires est caractérisé par sa loi conjointe, qui détermine ses lois marginales et conditionnelles, permettant d’étudier leur dépendance ou indépendance.

📖 2. Lois marginales

🔑 Notions clés & Définitions

Lois marginales : Ce sont les lois de probabilité associées à chaque variable aléatoire dans un couple (X, Y), indépendamment de l'autre variable. Elles sont obtenues en sommant (ou intégrant) la loi conjointe sur toutes les autres variables (voir section 3 pour lois conditionnelles).
Proposition 3 : Pour un couple (X, Y), la loi marginale de X est donnée par :
$P(X = x_i) = \sum_{j \in J} P(X = x_i, Y = y_j)$
De même, la loi marginale de Y est :
$P(Y = y_j) = \sum_{i \in I} P(X = x_i, Y = y_j)$

📝 Points essentiels

• Les lois marginales sont dérivées de la loi conjointe en sommant sur l'ensemble des valeurs de l'autre variable.
• La famille d’événements $\{(X = x_i) \cap (Y = y_j), (i,j) \in I \times J\}$ forme un système complet d’événements (SCE), et la somme des probabilités de tous ces événements est égale à 1 (Proposition 2).
• La loi marginale de X ne dépend pas de Y, et vice versa, mais elles peuvent être liées via la loi conjointe.
• La loi marginale est essentielle pour définir la distribution individuelle de chaque variable dans un vecteur aléatoire (voir section 1).
• La somme des lois marginales sur toutes leurs valeurs possibles doit être égale à 1.

💡 À retenir

Les lois marginales d’un couple de variables aléatoires sont obtenues en sommant la loi conjointe sur l’ensemble des valeurs de l’autre variable, permettant ainsi d’étudier chaque variable séparément.

📖 3. Lois conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi conditionnelle : Pour une variable aléatoire X et un événement A de probabilité non nulle, la loi de X sachant A est définie par :
  $P (X = x | A) = \frac{P ((X = x) \cap A)}{P(A)}$ (Proposition 4). Elle représente la distribution de X limitée à l'événement A, normalisée par la probabilité de A.

• Probabilités totales : Si la famille d’événements $(Y = y_j)$ forme un système complet d’événements (c’est-à-dire qu’ils forment une partition de l’univers avec une probabilité totale de 1), alors pour tout i, la probabilité de $X = x_i$ peut s’écrire comme la somme des probabilités conditionnelles pondérées par la loi marginale de Y :
  $P (X = x_i) = \sum_{j} P (Y = y_j) \times P (X = x_i | Y = y_j)$ (Proposition 4).

📝 Points essentiels

• La loi conditionnelle permet de décrire la distribution de X en fonction d’un événement ou d’une autre variable, en utilisant la formule :
  $P (X = x | A) = \frac{P ((X = x) \cap A)}{P(A)}$ (Proposition 4).

• La formule des probabilités totales s’applique lorsque l’on considère un système complet d’événements $(Y = y_j)$, permettant de décomposer la loi de X en sommation sur ces événements :
  $P (X = x_i) = \sum_{j} P (Y = y_j) \times P (X = x_i | Y = y_j)$ (Proposition 4).

• La famille $(Y = y_j)$ étant complète, cette formule permet de calculer la loi marginale de X à partir des lois conditionnelles et de la loi marginale de Y.

💡 À retenir

Les lois conditionnelles permettent de décomposer une loi marginale en sommation de lois conditionnelles pondérées par la loi marginale de l’événement ou de la variable conditionnante, conformément à la formule des probabilités totales.

📖 4. Indépendance variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance de deux variables aléatoires (X ⊥⊥ Y) : Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si, pour tout couple de valeurs (xi, yj), la probabilité conjointe P((X = xi) ∩ (Y = yj)) est égale au produit de leurs probabilités marginales P(X = xi) et P(Y = yj).
  Source : PT (Chapitre 19)

• Indépendance de plusieurs variables : X1, ..., Xn sont indépendantes si, pour toutes valeurs αi ∈ Xi(Ω), la probabilité de leur intersection est le produit des probabilités individuelles :
  P(⋂{i=1}^n (Xi = αi)) = ∏{i=1}^n P(Xi = αi).
  Source : PT (Chapitre 19)

• Formule de transfert pour n variables : La formule permettant de calculer l'espérance du produit de n variables indépendantes :
  E(X1 X2 ... Xn) = ∑_{(x1,...,xn)} xi ... xn P(X1 = x1, ..., Xn = xn),
  sous réserve de convergence.
  Source : PT (Chapitre 19)

📝 Points essentiels

• L’indépendance de deux variables X et Y peut aussi se caractériser par la propriété :
  ∀A, B ⊂ R, P((X ∈ A) ∩ (Y ∈ B)) = P(X ∈ A) × P(Y ∈ B).
  Source : PT (Chapitre 19)

• La formule de transfert (Proposition 6) permet de calculer E(XY) en utilisant la loi conjointe :
  E(XY) = ∑_{i,j} xi yj P(X = xi, Y = yj).
  Si X et Y sont indépendantes, alors E(XY) = E(X) E(Y).
  Source : PT (Chapitre 19)

• La généralisation à n variables (Proposition 8) stipule que X1, ..., Xn sont indépendantes si et seulement si :
  P(⋂{i=1}^n (Xi ∈ Ai)) = ∏{i=1}^n P(Xi ∈ Ai) pour toutes parties Ai ⊂ Xi(Ω).
  Source : PT (Chapitre 19)

• La formule de transfert à n variables (Proposition 10) :
  E(X1 X2 ... Xn) = ∑_{(x1,...,xn)} xi ... xn P(X1 = x1, ..., Xn = xn).
  Elle est valable sous réserve de convergence.
  Source : PT (Chapitre 19)

💡 À retenir

L’indépendance de plusieurs variables aléatoires permet de simplifier le calcul de leurs espérances et de leurs lois conjointes, en utilisant la propriété multiplicative des probabilités, notamment via la formule de transfert pour n variables.

📖 5. Espérance et variance

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance d’un produit (E(XY)) : sous réserve de convergence, c’est la somme des produits xi et yj pondérés par la probabilité conjointe P(X=xi, Y=yj), soit
  $E(XY) = \sum_{(i,j) \in I \times J} x_i y_j P(X= x_i, Y= y_j)$ (Proposition 6).

• Variance d’une somme (V(X + Y)) : si X et Y sont indépendantes, alors
  $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ (Proposition 7).

• Formule de transfert pour n variables (E(X_1 X_2 \dots X_n)) : sous réserve de convergence, la valeur attendue du produit de n variables aléatoires X1, ..., Xn est
  $E(X_1 X_2 \dots X_n) = \sum_{(x_1, \dots, x_n) \in X_1(\Omega) \times \dots \times X_n(\Omega)} x_1 \dots x_n P(X_1 = x_1, \dots, X_n = x_n)$ (Proposition 10).

📝 Points essentiels

• La formule de transfert permet de calculer l’espérance d’un produit de variables aléatoires discrètes en utilisant leur loi conjointe.
• Si X et Y sont indépendantes, on a la propriété simplificatrice :
  $E(XY) = E(X) E(Y)$ (Proposition 7). La réciproque n’est pas toujours vraie.
• La variance d’une somme de variables indépendantes se décompose en la somme de leurs variances :
  $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ (Proposition 7).

💡 À retenir

L’espérance d’un produit de variables dépend de leur dépendance ou indépendance, et la variance d’une somme de variables indépendantes se simplifie en une addition. La formule de transfert est essentielle pour calculer l’espérance de produits dans le cas discret.

📖 6. Covariance et décorrélation

🔑 Notions clés & Définitions

Covariance (Proposition 12) :
La covariance entre deux variables aléatoires (X, Y) dans (L2(Ω))² est définie par :
$\text{cov}(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))$
Elle peut aussi s’écrire :
$\text{cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$

Propriétés de la covariance (Proposition 13) :

• La covariance de X avec elle-même est la variance : $\text{cov}(X, X) = V(X) > 0$.
• La covariance est une forme bilinéaire, symétrique et positive (non définie) sur L2(Ω).
• La formule de Cauchy-Schwarz s'applique : $|\text{cov}(X, Y)| \leq \sigma(X)\sigma(Y)$.
• La covariance de la somme : $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 \text{cov}(X, Y)$.
• Si X et Y sont indépendantes, alors $\text{cov}(X, Y) = 0$ (décorrélation). La réciproque est fausse.

Décorrélation (Proposition 13) :
Deux variables X et Y sont dites décorrélées si :
$\text{cov}(X, Y) = 0$
Ce qui implique que leur covariance est nulle, mais cela ne signifie pas nécessairement qu’elles sont indépendantes.

📝 Points essentiels

• La covariance mesure la dépendance linéaire entre deux variables aléatoires.
• La formule $\text{cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ relie directement covariance, espérance et produit attendu.
• La covariance est une forme bilinéaire, symétrique et positive (non définie) sur l’espace L2(Ω).
• La propriété fondamentale : si X et Y sont indépendantes, alors $\text{cov}(X, Y) = 0$, mais l'inverse n’est pas vrai en général.
• La covariance permet de calculer la variance d’une somme de variables : $V(\sum X_i) = \sum V(X_i) + 2 \sum_{i<j} \text{cov}(X_i, X_j)$.
• La décorrélation ne garantit pas l’indépendance, elle indique simplement une absence de dépendance linéaire.

💡 À retenir

La covariance quantifie la dépendance linéaire entre deux variables, et leur décorrélation (covariance nulle) indique une absence de relation linéaire, mais pas nécessairement d’indépendance.

📖 7. Somme de variables

🔑 Notions clés & Définitions

Loi d’une somme de variables indépendantes : La loi de la somme $X + Y$ de deux variables aléatoires discrètes $X$ et $Y$ indépendantes est donnée par la convolution de leurs lois respectives. Plus précisément, pour tout $z$,
$P(X + Y = z) = \sum_{i \in I} P(X = x_i) \times P(Y = z - x_i)$
où $x_i$ appartient à l’image de $X$.

Loi de la somme pour variables binomiales et de Poisson :

• Si $X_1, \ldots, X_n$ sont indépendantes et chacune suit une loi binomiale $B(p)$, alors leur somme suit une loi binomiale $B(n, p)$.
• Si $X \sim P(\lambda)$ et $Y \sim P(\mu)$ sont indépendantes, alors leur somme suit une loi de Poisson $P(\lambda + \mu)$.

Loi faible des grands nombres :
Soit $(X_k)_{k \in \mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées avec espérance $\mu$. La moyenne empirique $\frac{S_n}{n}$, où $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$, converge en probabilité vers $\mu$ lorsque $n \to +\infty$. Formule :
$\forall \varepsilon > 0, \lim_{n \to +\infty} P \left( \left| \frac{S_n}{n} - \mu \right| > \varepsilon \right) = 0$

📝 Points essentiels

• La loi de la somme de deux variables indépendantes est obtenue par convolution de leurs lois.
• La somme de variables binomiales indépendantes avec le même paramètre $p$ est une loi binomiale avec paramètre $n$ (nombre de termes) et $p$.
• La somme de deux lois de Poisson indépendantes est une loi de Poisson dont le paramètre est la somme des deux paramètres.
• La loi faible des grands nombres repose sur la convergence en probabilité de la moyenne empirique vers l’espérance $\mu$, utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

💡 À retenir

La somme de variables indépendantes suit une loi qui résulte de la convolution de leurs lois individuelles, et cette propriété permet notamment de construire des lois usuelles comme la binomiale ou la Poisson par somme de variables plus simples. La loi faible des grands nombres garantit la convergence en probabilité de la moyenne empirique vers l’espérance.

📖 8. Loi de la somme

🔑 Notions clés & Définitions

Série génératrice d’une variable discrète :
GX : t → E(t^X) = ∑_{n=0}^∞ P(X = n) t^n.
C’est une série entière réelle qui décrit entièrement la loi de X, avec un rayon de convergence R > 1. Elle est de classe C∞ sur ]−R, R[ et permet de caractériser X via ses dérivées en 1.

Propriétés de la série génératrice :

• GX(1) = 1.
• X est d’espérance finie si GX est dérivable en 1, avec G′_X(1) = E(X).
• X est de variance finie si GX est deux fois dérivable en 1, avec G′′_X(1) = E(X(X−1)).
• La variance : V(X) = G′′_X(1) − (G′_X(1))^2 + G′_X(1).

Série génératrice d’une somme de variables indépendantes :
Si X et Y sont indépendantes, à valeurs dans N, alors la série génératrice de X + Y est le produit des séries génératrices :
GX+Y(t) = GX(t) × GY(t).
Le rayon de convergence R′′ > min(R, R′).

📝 Points essentiels

• La série génératrice GX permet de décrire entièrement la loi de X, notamment par ses dérivées en 1.
• La convergence de GX en 1 est liée à l’espérance de X : si GX est dérivable en 1, alors E(X) = G′_X(1).
• La variance de X peut être calculée via la seconde dérivée de GX en 1 : V(X) = G′′_X(1) − (G′_X(1))^2.
• La série génératrice d’une somme de variables indépendantes est le produit de leurs séries génératrices, ce qui facilite le calcul de la loi de la somme.

💡 À retenir

La série génératrice d’une variable discrète est un outil puissant pour caractériser sa loi et ses moments, et la propriété multiplicative pour la somme de variables indépendantes simplifie grandement leur étude.

📖 9. Série génératrice

🔑 Notions clés & Définitions

Série génératrice :
Pour une variable aléatoire discrète $X$ dont l’image est contenue dans $\mathbb{N}$, la série génératrice $GX$ est la série entière réelle définie par :
$GX(t) = E(t^X) = \sum_{n=0}^{+\infty} P(X=n) t^n$
Elle permet de décrire entièrement la loi de $X$ grâce à son développement en série entière.

Rayon de convergence :
Le rayon de convergence $R$ d’une série génératrice $GX(t)$ est la valeur $R > 0$ telle que la série converge pour tout $t$ dans l’intervalle $(-R, R)$. La série génératrice admet toujours un rayon de convergence strictement supérieur à 1, avec $GX(1) = 1$.

Dérivabilité de la série génératrice :
La série génératrice $GX(t)$ est de classe $C^\infty$ sur $(-R, R)$. La dérivabilité en $t=1$ est liée à l’espérance de $X$ :

• $X$ a une espérance finie si et seulement si $GX$ est dérivable en 1, et alors $G'_X(1) = E(X)$.
• $X$ a une variance finie si et seulement si $GX$ est deux fois dérivable en 1, et alors $G''_X(1) = E(X(X-1))$.

📝 Points essentiels

• La série génératrice $GX(t)$ est une représentation en série entière de la loi de $X$, unique par développement en série.
• La valeur $GX(1) = 1$ est toujours vérifiée, ce qui implique que la série converge au moins pour $t=1$.
• La série génératrice possède un rayon de convergence $R > 1$, garantissant la convergence dans un intervalle autour de 1.
• La dérivabilité en 1 permet d’obtenir l’espérance : $E(X) = G'_X(1)$.
• La deuxième dérivée en 1 donne la variance via $V(X) = G''_X(1) - (G'_X(1))^2$.

💡 À retenir

La série génératrice est un outil puissant pour caractériser la loi d’une variable discrète, notamment par ses propriétés de convergence et de dérivabilité, qui permettent d’accéder à ses moments d’ordre 1 et 2.

📖 10. Loi de la somme indépendante

🔑 Notions clés & Définitions

• Série génératrice (GX) : Pour une variable aléatoire discrète X, la série génératrice est la série entière réelle définie par :
  $GX(t) = E(t^X) = \sum_{n=0}^{+\infty} P(X = n) t^n$
  Elle permet de décrire entièrement la loi de X grâce à son développement en série entière.

• Unicité de la série génératrice : La série génératrice d’une variable discrète X est unique, ce qui signifie que si deux séries génératrices sont égales dans leur rayon de convergence, alors les lois associées sont identiques.

• Dérivabilité en 1 : La dérivabilité de GX en t = 1 est liée à l’espérance de X. Plus précisément, si GX est dérivable en 1, alors :
  $G'_X(1) = E(X)$
  La dérivabilité en 1 est une condition nécessaire pour que X ait une espérance finie.

• Dérivabilité en 1 et variance : La deuxième dérivée de GX en 1, si elle existe, est liée à la variance de X :
  $G''_X(1) = E(X(X-1))$
  et la variance s’obtient par :
  $V(X) = G''_X(1) - (G'_X(1))^2 + G'_X(1)$

📝 Points essentiels

• La série génératrice d’une variable discrète X est une représentation analytique qui caractérise entièrement la loi de X.
• La série génératrice admet un rayon de convergence R > 1, ce qui garantit sa validité dans un intervalle autour de 1.
• La dérivabilité en 1 de GX est essentielle pour déterminer l’espérance et la variance de X.
• La somme de variables indépendantes discrètes X et Y a pour série génératrice le produit des séries génératrices respectives :
  $GX+Y(t) = GX(t) \times GY(t)$ ce qui permet de calculer la loi de la somme à partir des lois individuelles.

💡 À retenir

La série génératrice est un outil unique et puissant pour décrire la loi d’une variable discrète, et sa dérivabilité en 1 permet d’obtenir ses moments d’ordre 1 et 2. La somme de variables indépendantes se traduit par la multiplication de leurs séries génératrices.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre loi conjointe et lois marginales : la première concerne la paire (X,Y), les autres sont obtenues par sommation.
2. Oublier que la loi marginale ne dépend pas de l'autre variable, mais est dérivée de la loi conjointe.
3. Confondre la formule de la loi conditionnelle avec la loi marginale : la conditionnelle est normalisée par P(A).
4. Supposer l’indépendance sans vérification de la propriété P(X=xi, Y=yj) = P(X=xi) P(Y=yj).
5. Confondre la formule de transfert pour deux variables et sa généralisation à n variables.
6. Négliger la condition de convergence pour l’utilisation de la formule d’espérance du produit.
7. Confondre la dépendance ou indépendance avec la corrélation ou décorrélation (qui ne sont pas équivalentes).

✅ Checklist Examen

• Connaître la définition précise d’un couple de variables aléatoires et leur application (notamment la loi conjointe).
• Maîtriser la formule pour obtenir les lois marginales à partir de la loi conjointe.
• Savoir définir et calculer une loi conditionnelle, et appliquer la formule des probabilités totales.
• Comprendre la notion d’indépendance entre deux ou plusieurs variables, et ses implications pour la loi conjointe et l’espérance.
• Être capable d’écrire et d’utiliser la formule de transfert pour l’espérance du produit de deux ou plusieurs variables.
• Savoir calculer la variance d’une somme de variables indépendantes.
• Connaître la différence entre corrélation, décorrélation et indépendance.
• Savoir que la somme des lois marginales est égale à 1.
• Maîtriser la relation entre espérance, variance, covariance et décorrélation.
• Connaître la définition et la propriété de la covariance.
• Savoir que la somme de variables indépendantes a une loi dont l’espérance est la somme des espérances.
• Vérifier si deux variables sont indépendantes en utilisant leur loi conjointe ou marginale.