Fiche de révision : Les fondamentaux de la trigonométrie

📋 Plan du Cours

1. Mesures d’angles en radians
2. Conversion degrés-radians
3. Angle orienté vecteurs
4. Fonctions trigonométriques cercle
5. Valeurs remarquables sin et cos
6. Parité des fonctions trigonométriques
7. Périodicité des fonctions sinus et cosinus
8. Dérivées des fonctions trigonométriques
9. Représentations graphiques sinus et cosinus
10. Résolution d’équations trigonométriques
11. Inéquations trigonométriques
12. Étude des fonctions sinus et cosinus

📖 1. Mesures d’angles en radians

🔑 Notions clés & Définitions

Radian
Le radian est une unité de mesure d’angle qui repose sur une relation géométrique précise avec un cercle. Il est défini comme étant la mesure d’un angle dont l’arc intercepté sur un cercle de rayon 1 (cercle unité) a une longueur égale à ce rayon. Autrement dit, si on considère un cercle de rayon 1, un angle en radians correspond à la longueur de l’arc de ce cercle que cet angle intercepte. La définition permet d’établir une correspondance directe entre la mesure angulaire et la longueur d’un arc, rendant la mesure intrinsèquement liée à la géométrie du cercle.

Arc intercepté
L’arc intercepté par un angle est la portion de cercle comprise entre deux points où les côtés de l’angle rencontrent le cercle. La longueur de cet arc est directement liée à la mesure de l’angle en radians lorsque le cercle considéré a un rayon de 1. Plus précisément, si un angle en radians intercepte un arc de longueur $l$ sur un cercle de rayon $r$, alors la mesure de cet angle est donnée par $\theta = \frac{l}{r}$. Dans le cas du cercle unité, cette formule se simplifie à $\theta = l$.

Cercle unité
Le cercle unité est un cercle de rayon 1, centré en un point $O$. Il sert de référence pour la définition du radian, car la longueur de l’arc intercepté par un angle en radians sur ce cercle est égale à la mesure de l’angle elle-même. La simplicité de ses propriétés en fait un outil fondamental en trigonométrie pour exprimer et comparer des angles.

Mesure d’angle en radians
La mesure en radians d’un angle est la longueur de l’arc intercepté par cet angle sur un cercle de rayon 1. Elle permet d’évaluer la grandeur d’un angle en utilisant une unité naturelle, directement liée à la géométrie du cercle. Par exemple, un angle plat (demi-tour) mesure $\pi$ radians, un angle droit mesure $\frac{\pi}{2}$ radians, et un angle de 30° correspond à $\frac{\pi}{6}$ radians.

📝 Points essentiels

• La mesure en radians d’un angle est la longueur de l’arc intercepté sur un cercle de rayon 1.
• Sur un cercle unité, la longueur de l’arc intercepté par un angle en radians est égale à la mesure de cet angle.
• Un angle plat (demi-tour) mesure $\pi$ radians.
• Un angle droit mesure $\frac{\pi}{2}$ radians.
• Un angle de 30° correspond à $\frac{\pi}{6}$ radians.
• La conversion entre degrés et radians s’effectue à l’aide d’un tableau de proportionnalité : $\pi$ radians correspond à 180°, donc pour convertir un angle en degrés en radians, on multiplie par $\frac{\pi}{180}$. Par exemple, pour 30° :
  $30° \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$

💡 À retenir

Le radian est une unité d’angle intrinsèquement liée à la longueur d’arc sur un cercle unité, ce qui en fait une mesure naturelle pour la trigonométrie. Comprendre cette relation permet d’aborder les angles avec une perspective géométrique précise et cohérente.

📖 2. Conversion degrés-radians

🔑 Notions clés & Définitions

Conversion degrés-radians : La conversion entre degrés et radians repose sur la relation fondamentale que π radians équivalent à 180 degrés. Elle permet d'exprimer un angle dans une unité adaptée aux calculs trigonométriques, facilitant notamment l’utilisation des fonctions trigonométriques sur le cercle trigonométrique.

Tableau de proportionnalité : La conversion s’effectue par une proportion directe entre la mesure en degrés et en radians, en utilisant la relation π radians = 180 degrés. Cela signifie que pour convertir un angle d’une unité à l’autre, on applique une règle de trois basée sur cette proportion.

Mesure en degrés : C’est une unité d’angle traditionnellement utilisée dans la vie courante et dans certains contextes mathématiques. La mesure en degrés indique combien de fois un angle contient une rotation d’un 360e de cercle. Elle est souvent notée avec le symbole °.

Mesure en radians : C’est une unité d’angle qui correspond à la longueur de l’arc de cercle correspondant à cet angle, dans un cercle de rayon 1. La mesure en radians est liée à la longueur de l’arc par la formule : longueur de l’arc = rayon × angle en radians.

📝 Points essentiels

La conversion s’effectue par la proportion π radians = 180 degrés. Cela signifie que pour passer d’une unité à l’autre, on utilise cette relation comme facteur de conversion.

• Pour convertir un angle en degrés en radians, on multiplie par π/180.
  Exemple : Si un angle mesure 60°, sa mesure en radians est :
  $60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$.

• Pour convertir un angle en radians en degrés, on multiplie par 180/π.
  Exemple : Si un angle mesure $\frac{\pi}{4}$ radians, sa mesure en degrés est :
  $\frac{\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = 45°$.

Cette méthode de conversion repose sur la proportionnalité entre les deux unités, permettant de passer facilement de l’une à l’autre en utilisant les facteurs $\frac{\pi}{180}$ et $\frac{180}{\pi}$.

💡 À retenir

Maîtriser la conversion entre degrés et radians est essentielle pour passer d’une mesure angulaire classique à une mesure adaptée aux calculs trigonométriques. La relation fondamentale π radians = 180 degrés sert de base pour effectuer ces conversions rapidement et avec précision.

📖 3. Angle orienté vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

Angle orienté de vecteurs
L’angle orienté entre deux vecteurs est défini comme la longueur de l’arc du cercle unité parcouru du premier vecteur au second dans le sens direct. Autrement dit, si l’on considère deux vecteurs dans le plan, l’angle orienté correspond à la mesure de l’arc du cercle unité que l’on parcourt en suivant le sens direct (sens anti-horaire) pour aller du vecteur initial au vecteur final. Ce concept introduit la notion de direction et de signe dans la mesure angulaire, ce qui différencie l’angle orienté d’un simple angle non orienté.

Sens direct (sens anti-horaire)
Le sens direct est défini comme le sens anti-horaire sur le cercle unité. Lorsqu’on mesure un angle orienté entre deux vecteurs, on considère toujours le parcours dans ce sens, ce qui permet d’attribuer une valeur positive ou négative selon la direction du déplacement sur le cercle.

Mesure principale d’un angle
La mesure principale d’un angle orienté est la valeur unique qui représente cet angle dans un intervalle précis, à savoir ]−π; +π]. Elle est dite « principale » car elle est la seule valeur dans cet intervalle qui correspond à l’angle orienté considéré. Cette mesure permet d’éviter toute ambiguïté dans la représentation de l’angle.

Modulo 2π
Les mesures d’un même angle orienté diffèrent de 2kπ, où k est un entier relatif (k ∈ Z). Cela signifie que si l’on ajoute ou soustrait un multiple entier de 2π à une mesure d’angle, on obtient une autre mesure représentant le même angle orienté. En d’autres termes, deux mesures d’angles sont équivalentes modulo 2π si leur différence est un multiple de 2π.

📝 Points essentiels

L’angle orienté entre deux vecteurs est la longueur de l’arc du cercle unité parcouru dans le sens direct du premier vecteur au second. Cette définition implique que l’angle possède une direction et un signe, ce qui est essentiel pour distinguer, par exemple, une rotation dans un sens ou dans l’autre. La mesure principale de cet angle est unique et se trouve dans l’intervalle ]−π; +π], garantissant une représentation standardisée et sans ambiguïté. Enfin, il est important de noter que les mesures d’un même angle orienté peuvent différer de 2kπ, avec k un entier relatif, ce qui reflète la nature périodique de la mesure angulaire sur le cercle unité.

💡 À retenir

L’angle orienté entre vecteurs introduit la notion de direction et signe dans la mesure angulaire, essentielle pour la compréhension des rotations et symétries. La mesure principale, comprise dans ]−π; +π], permet une représentation unique, tandis que la différence entre deux mesures d’un même angle peut être un multiple de 2π, soulignant la périodicité de la mesure angulaire.

📖 4. Fonctions trigonométriques cercle

🔑 Notions clés & Définitions

Fonctions sinus et cosinus
Les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions trigonométriques fondamentales qui associent à tout réel x un nombre réel correspondant à une coordonnée spécifique sur le cercle trigonométrique. Selon l’approche géométrique, pour un angle x, on considère un point M sur le cercle trigonométrique unité (de rayon 1). La fonction cosinus de x, notée cos(x), est l’abscisse du point M, c’est-à-dire la projection horizontale de M sur l’axe des abscisses. La fonction sinus de x, notée sin(x), est l’ordonnée de ce même point, c’est-à-dire la projection verticale de M sur l’axe des ordonnées. Ces deux fonctions permettent de relier angles et coordonnées cartésiennes dans une représentation géométrique.

Cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l’origine du plan cartésien. Il sert de référence pour définir géométriquement les fonctions sinus et cosinus. À tout angle x (mesuré en radians), on associe un point M sur ce cercle, dont la position est déterminée par l’angle x formé avec le rayon [OA] (où O est le centre du cercle et A un point fixe sur l’axe horizontal). La position de M est donnée par ses coordonnées (cos(x), sin(x)). La relation entre ces coordonnées et l’angle x est fondamentale pour la compréhension géométrique des fonctions trigonométriques.

Abscisse et ordonnée du point associé
Pour un réel x, le point M sur le cercle trigonométrique associé à x possède une abscisse égale à cos(x) et une ordonnée égale à sin(x). La cosinus correspond donc à la projection horizontale de M, tandis que le sinus correspond à sa projection verticale. Ces deux coordonnées permettent de représenter graphiquement et analytiquement la position du point M en fonction de l’angle x.

Tangente définie par sin/cos
La tangente d’un réel x, notée tan(x), est définie par le rapport sin(x) / cos(x), lorsque cos(x) ≠ 0. Elle représente la pente de la droite passant par l’origine et le point M sur le cercle trigonométrique. La tangente est une fonction dérivée des deux autres, reliant directement la position angulaire à une valeur numérique qui peut être interprétée géométriquement comme une pente.

📝 Points essentiels

• Le cosinus d’un réel x est l’abscisse du point sur le cercle trigonométrique associé à x.
  En d’autres termes, si on considère un point M correspondant à l’angle x, alors cos(x) est la projection horizontale de M sur l’axe des abscisses.

• Le sinus d’un réel x est l’ordonnée de ce point.
  Autrement dit, sin(x) est la projection verticale de M sur l’axe des ordonnées.

• La tangente est définie par tan(x) = sin(x)/cos(x) lorsque cos(x) ≠ 0.
  Cela signifie que la tangente est le rapport entre la projection verticale et horizontale du point M, représentant une pente ou une valeur de rapport entre ces deux coordonnées.

• Pour tout réel x, la relation fondamentale cos²(x) + sin²(x) = 1 est vérifiée.
  Cette identité découle directement de la définition du cercle trigonométrique, car le point M appartient à un cercle de rayon 1, ce qui implique que la somme des carrés de ses coordonnées est égale à 1.

💡 À retenir

Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont définies géométriquement via le cercle unité, où chaque angle x correspond à un point dont les coordonnées (cos(x), sin(x)). La tangente, quant à elle, relie ces deux fonctions par le rapport sin(x)/cos(x), permettant une interprétation géométrique en termes de pente ou de rapport. Ces relations fondamentales offrent une compréhension visuelle et analytique essentielle pour l’étude des fonctions trigonométriques.

📖 5. Valeurs remarquables sin et cos

🔑 Notions clés & Définitions

Valeurs remarquables : Ce sont des valeurs précises de sin et cos aux angles particuliers qui apparaissent fréquemment dans les calculs trigonométriques. Ces valeurs sont fondamentales pour résoudre rapidement et avec précision de nombreux problèmes en trigonométrie.

Angles π/6, π/4, π/3, π/2 : Ce sont des angles clés, souvent appelés angles remarquables, dont les valeurs de sin et cos sont connues et exactes. Leur connaissance permet d'éviter de recourir à la calculatrice pour obtenir des résultats précis.

Valeurs exactes de sin et cos : Ce sont des valeurs précises, souvent sous forme de fractions ou de racines, associées aux angles remarquables. Par exemple, sin(π/6) = 1/2, cos(π/4) = √2/2.

Valeurs de tan aux angles remarquables : La tangente, définie par tan(x) = sin(x)/cos(x), possède également des valeurs remarquables pour ces angles. Cependant, elle n’est pas définie en certains angles, notamment en π/2 + kπ.

📝 Points essentiels

Les valeurs exactes de sin et cos aux angles π/6, π/4, π/3 sont fondamentales et souvent utilisées. Par exemple, on a :

• sin(π/6) = 1/2
• cos(π/6) = √3/2
• sin(π/4) = √2/2
• cos(π/4) = √2/2
• sin(π/3) = √3/2
• cos(π/3) = 1/2

Ces valeurs permettent de déterminer rapidement les rapports trigonométriques sans approximation. La connaissance de ces valeurs facilite la résolution d’équations trigonométriques, la construction de graphiques et la compréhension des comportements des fonctions sin et cos.

En ce qui concerne la tangente, aux angles remarquables, on a :

• tan(π/6) = (sin(π/6))/(cos(π/6)) = (1/2)/(√3/2) = 1/√3 = √3/3
• tan(π/4) = (√2/2)/(√2/2) = 1
• tan(π/3) = (√3/2)/(1/2) = √3

Il est important de noter que la tangente n’est pas définie en π/2 + kπ, car dans ces cas, cos(x) = 0, ce qui rend la division par zéro impossible. Cela correspond à une asymptote verticale pour la fonction tangente.

💡 À retenir

Connaître précisément les valeurs trigonométriques aux angles clés π/6, π/4, π/3, et leur relation avec la tangente, permet de résoudre rapidement et exactement de nombreux problèmes en trigonométrie. La maîtrise de ces valeurs est essentielle pour une compréhension approfondie des fonctions sin, cos et tan.

📖 6. Parité des fonctions trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

Fonction paire
Une fonction $f$ est dite paire si, pour tout réel $x$, elle vérifie la relation :
$f(-x) = f(x)$
Cela signifie que le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. La fonction cosinus est un exemple typique de fonction paire, car elle satisfait cette propriété.

Fonction impaire
Une fonction $f$ est dite impaire si, pour tout réel $x$, elle vérifie :
$f(-x) = -f(x)$
Ce qui implique que le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l’origine. La fonction sinus est un exemple de fonction impaire, car elle satisfait cette propriété.

Parité de cosinus
La fonction cosinus est paire : pour tout $x$, $\cos(-x) = \cos(x)$.
Cette propriété résulte de la symétrie du cercle unité par rapport à l’axe des abscisses, ce qui implique que l’abscisse du point correspondant à $-x$ est la même que celle de $x$.

Parité de sinus
La fonction sinus est impaire : pour tout $x$, $\sin(-x) = -\sin(x)$.
Elle découle de la symétrie du cercle unité par rapport à l’origine, où le point correspondant à $-x$ a une ordonnée opposée à celle de $x$.

📝 Points essentiels

• La fonction cosinus est paire : $\cos(-x) = \cos(x)$.
  La démonstration repose sur la symétrie du cercle unité : si on considère un point $M$ tel que $(−→OA, −−→OM) = x$, alors le point $M'$ tel que $(−→OA, −−−→OM') = -x$ est la symétrie de $M$ par rapport à l’axe des abscisses.
  Comme $M$ et $M'$ ont la même abscisse, mais des ordonnées opposées, cela implique que $\cos(x) = \cos(-x)$.

• La fonction sinus est impaire : $\sin(-x) = -\sin(x)$.
  La démonstration s’appuie sur la même symétrie : le point $M'$ correspondant à $-x$ a une ordonnée opposée à celle de $M$, ce qui implique que $\sin(-x) = -\sin(x)$.

• Une fonction impaire définie en 0 s’annule en 0 : si $f$ est impaire et $f(0)$ est défini, alors $f(0) = 0$.
  En effet, en remplaçant $x$ par 0 dans la relation $f(-x) = -f(x)$, on obtient $f(0) = -f(0)$, donc $f(0) = 0$.

💡 À retenir

La parité des fonctions sinus et cosinus révèle leurs symétries fondamentales : la cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (fonction paire), tandis que le sinus est symétrique par rapport à l’origine (fonction impaire). Ces propriétés simplifient l’étude de leurs graphes et de leurs comportements.

📖 7. Périodicité des fonctions sinus et cosinus

🔑 Notions clés & Définitions

Période : La période d’une fonction est la plus petite valeur positive $T$ telle que, pour tout réel $x$, la fonction reprend la même valeur lorsque l’on ajoute $T$ à $x$. Autrement dit, si $f$ est une fonction, alors $T$ est une période de $f$ si, pour tout $x$, on a $f(x + T) = f(x)$.

Fonctions périodiques : Ce sont des fonctions qui possèdent une ou plusieurs périodes. La caractéristique principale de ces fonctions est leur répétition régulière de valeurs dans l’espace de définition, traduisant leur nature cyclique.

Période fondamentale 2π : La période fondamentale d’une fonction périodique est la plus petite période positive. Pour les fonctions sinus et cosinus, cette période fondamentale est précisément $2\pi$. Cela signifie que, pour tout $x$, $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ et $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$.

Translations de période : La translation d’une fonction par une période consiste à décaler son graphique horizontalement de cette période sans en modifier la forme. Par exemple, si $T$ est une période de $f$, alors la fonction $g(x) = f(x + T)$ a le même graphique que $f$, mais décalé horizontalement.

📝 Points essentiels

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π. Cela signifie que, pour tout réel $x$, ces fonctions se répètent tous les $2\pi$. Plus précisément, on a :

• $\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)$
• $\cos(x + 2k\pi) = \cos(x)$
  pour tout entier $k$.

La plus petite période positive, appelée période fondamentale, est donc $2\pi$. Elle représente le plus court intervalle sur lequel la fonction complète une répétition complète de ses valeurs.

Les translations de période consistent à décaler le graphique d’une fonction périodique par un multiple de sa période, sans changer sa forme. Par exemple, déplacer la courbe de $\sin(x)$ de $2\pi$ unités vers la droite ou la gauche ne modifie pas ses valeurs ou sa forme, mais simplement sa position.

💡 À retenir

La périodicité des fonctions sinus et cosinus traduit leur nature cyclique, essentielle pour modéliser des phénomènes répétitifs. Leur période fondamentale est $2\pi$, et toute translation par un multiple de cette période laisse la fonction inchangée, illustrant leur comportement répétitif et symétrique.

📖 8. Dérivées des fonctions trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

Dérivée de sin(x)
La dérivée de la fonction sinus, notée $\frac{d}{dx} \sin(x)$, est la fonction cosinus, soit $\cos(x)$. Cela signifie que la variation instantanée de sin(x) en un point x est donnée par la valeur de cos(x) en ce même point.

Dérivée de cos(x)
La dérivée de la fonction cosinus, notée $\frac{d}{dx} \cos(x)$, est négative du sinus, soit $-\sin(x)$. Autrement dit, la variation instantanée de cos(x) en un point x est donnée par $-\sin(x)$.

Dérivées composées
Pour une fonction composée $\sin(u(x))$, la dérivée s’obtient en utilisant la règle de la dérivée d’une composition :
$\frac{d}{dx} \sin(u(x)) = u'(x) \cos(u(x))$
De même, pour $\cos(u(x))$, la dérivée est :
$\frac{d}{dx} \cos(u(x)) = -u'(x) \sin(u(x))$
Ces formules illustrent comment dériver des fonctions trigonométriques appliquées à une fonction intérieure u(x).

Notation physique des dérivées
En physique, la dérivée d’une fonction par rapport au temps, par exemple, est souvent notée $\frac{d}{dt}$. Lorsqu’on parle de dérivées de fonctions trigonométriques dans un contexte physique, cette notation est utilisée pour représenter la vitesse ou la variation instantanée d’une grandeur oscillatoire ou périodique.

📝 Points essentiels

• La dérivée de sin(x) est cos(x).
• La dérivée de cos(x) est −sin(x).
• La dérivée de sin(u(x)) est u'(x) cos(u(x)).
• La dérivée de cos(u(x)) est −u'(x) sin(u(x)).

Ces résultats fondamentaux permettent d’étudier les variations des fonctions trigonométriques, essentielles pour analyser leur comportement, notamment en termes de croissance, décroissance, et points critiques. La connaissance de ces dérivées est également indispensable pour modéliser des phénomènes oscillatoires ou périodiques, en particulier dans les domaines de la physique et de l’ingénierie.

💡 À retenir

Les dérivées des fonctions trigonométriques, sin(x) et cos(x), sont respectivement cos(x) et −sin(x). Lorsqu’elles sont appliquées à une fonction composée, leur dérivée s’obtient en multipliant par la dérivée de la fonction intérieure, illustrant leur rôle central dans l’analyse des variations et la modélisation des phénomènes oscillatoires.

📖 9. Représentations graphiques sinus et cosinus

🔑 Notions clés & Définitions

Sinusoïdes
Une sinusoïde est la courbe représentative d’une fonction trigonométrique sinus ou cosinus. Elle se caractérise par sa forme ondulée, régulière et périodique, qui oscille entre des valeurs maximales et minimales. La sinusoïde est une courbe continue, symétrique et répétitive, dont la forme est souvent utilisée pour modéliser des phénomènes périodiques tels que les ondes ou les vibrations.

Symétries graphiques
Les symétries graphiques désignent les propriétés de la courbe d’une fonction trigonométrique par rapport à certains axes ou points. La courbe du cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, ce qui signifie qu’elle est paire. La courbe du sinus, quant à elle, est symétrique par rapport à l’origine, ce qui indique qu’elle est impaire. Ces symétries sont essentielles pour comprendre la parité des fonctions sinus et cosinus.

Translation périodique
La translation périodique désigne le fait que les courbes des fonctions sinus et cosinus se répètent à intervalles réguliers lorsqu’on effectue une translation horizontale. Plus précisément, ces courbes se répètent tous les 2π unités. Cela signifie que si l’on déplace la courbe d’un multiple de 2π sur l’axe des abscisses, la courbe reste inchangée, illustrant leur périodicité.

Courbes sur [0; π]
Pour tracer les courbes de sinus et cosinus, on commence généralement par représenter leurs valeurs sur l’intervalle [0; π]. Ensuite, on complète la courbe en utilisant les propriétés de symétrie et de périodicité. Cela permet de construire la courbe complète sur toute la ligne réelle de manière efficace et précise, en évitant de redessiner toute la courbe de zéro.

📝 Points essentiels

• La courbe du cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, ce qui traduit sa propriété de fonction paire. Autrement dit, pour tout x, cos(−x) = cos(x).
• La courbe du sinus est symétrique par rapport à l’origine, ce qui traduit sa propriété de fonction impaire. Autrement dit, pour tout x, sin(−x) = −sin(x).
• Les courbes de sinus et cosinus se répètent par translation horizontale de 2π, leur période étant donc 2π. Cela signifie que pour tout x et tout entier k, sin(x + 2kπ) = sin(x) et cos(x + 2kπ) = cos(x).
• Lors de la construction graphique, on trace d’abord la courbe sur l’intervalle [0; π], puis on utilise la symétrie et la périodicité pour compléter la courbe sur tout ℝ, évitant ainsi de redessiner intégralement chaque partie.

💡 À retenir

Les graphes des fonctions sinus et cosinus illustrent visuellement leurs propriétés de parité (paire pour cosinus, impaire pour sinus) et de périodicité (répétition tous les 2π), ce qui facilite leur interprétation et leur utilisation dans l’étude des phénomènes périodiques.

📖 10. Résolution d’équations trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

Équation cos x = a
L’équation cos x = a, avec a dans l’intervalle [-1, 1], admet deux familles de solutions. La première famille est donnée par x = x₁ + 2kπ, où x₁ est une solution principale dans un intervalle de référence, généralement [-π, π], et k est un entier relatif. La deuxième famille est x = −x₁ + 2kπ, correspondant à la symétrie par rapport à l’axe vertical. Ces solutions reflètent la périodicité de la fonction cosinus, qui se répète tous les 2π.

Équation sin x = a
L’équation sin x = a, avec a dans [-1, 1], possède également deux familles de solutions. La première est x = x₁ + 2kπ, où x₁ est une solution principale. La seconde est x = π − x₁ + 2kπ, correspondant à la symétrie par rapport à l’axe horizontal passant par π/2. La périodicité de la fonction sinus étant 2π, ces solutions permettent d’exprimer toutes les solutions possibles de l’équation.

Solutions générales
Les solutions générales d’une équation trigonométrique sont celles qui prennent en compte la périodicité des fonctions cosinus et sinus. Pour cos x = a, elles s’écrivent :
x = x₁ + 2kπ ou x = −x₁ + 2kπ.
Pour sin x = a, elles s’écrivent :
x = x₁ + 2kπ ou x = π − x₁ + 2kπ.
Ces formules permettent d’obtenir l’ensemble complet des solutions en fonction de la solution principale x₁.

Utilisation de la calculatrice
La calculatrice permet de déterminer une solution principale d’une équation trigonométrique, c’est-à-dire une valeur de x dans un intervalle de référence (souvent [-π, π] ou [0, 2π]) qui vérifie l’équation. Ensuite, en utilisant la périodicité, on peut générer toutes les autres solutions en ajoutant ou soustrayant des multiples de 2π (pour cos x) ou en utilisant la formule π − x₁ (pour sin x).

📝 Points essentiels

L’équation cos x = a (−1 ≤ a ≤ 1) admet deux familles de solutions :

• x = x₁ + 2kπ, où x₁ est une solution principale.
• x = −x₁ + 2kπ, correspondant à la symétrie par rapport à l’axe vertical.

L’équation sin x = a (−1 ≤ a ≤ 1) admet également deux familles de solutions :

• x = x₁ + 2kπ, avec x₁ solution principale.
• x = π − x₁ + 2kπ, correspondant à la symétrie par rapport à l’axe horizontal passant par π/2.

La calculatrice ne donne qu’une solution principale, c’est-à-dire une valeur de x dans un intervalle de référence, généralement compris entre -π et π ou 0 et 2π. À partir de cette solution, on peut retrouver toutes les autres solutions en utilisant la périodicité des fonctions trigonométriques.

💡 À retenir

Résoudre une équation trigonométrique consiste à déterminer une solution principale à l’aide de la calculatrice, puis à utiliser la périodicité des fonctions cosinus et sinus pour exprimer l’ensemble des solutions. La connaissance des solutions principales et de leur périodicité est essentielle pour décrire toutes les solutions possibles.

📖 11. Inéquations trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

Inéquations cos x ≤ a
Une inéquation de la forme cos x ≤ a consiste à déterminer pour quelles valeurs de x la fonction cosinus, évaluée en x, est inférieure ou égale à une constante a. La fonction cos x est une fonction périodique, paire, et continue, dont la valeur varie entre -1 et 1. La résolution de cette inéquation revient à identifier les intervalles où cos x prend des valeurs inférieures ou égales à a, en utilisant ses valeurs remarquables et sa périodicité.

Inéquations sin x > a
Une inéquation de la forme sin x > a consiste à trouver tous les x pour lesquels la fonction sinus, évaluée en x, est strictement supérieure à une constante a. La fonction sin x est également périodique, continue, impaire, et ses valeurs oscillent entre -1 et 1. La résolution de cette inéquation implique de repérer les intervalles où sin x dépasse a, en utilisant ses valeurs remarquables, ses périodes, et ses propriétés de symétrie.

Résolution sur un intervalle donné
Résoudre une inéquation trigonométrique sur un intervalle donné, par exemple [α; β], consiste à déterminer tous les x appartenant à cet intervalle qui satisfont l’inégalité. La méthode repose sur la recherche des intervalles où la fonction trigonométrique satisfait la condition, en utilisant la périodicité, les valeurs remarquables, et en tenant compte des limites de l’intervalle.

Intervalles de solutions
Les intervalles de solutions sont les segments précis de la droite réelle où la fonction trigonométrique satisfait l’inéquation. La détermination de ces intervalles repose sur l’analyse des valeurs remarquables, la périodicité de la fonction, et la résolution des inéquations associées à une période donnée. Ces intervalles peuvent se répéter périodiquement selon la comportement de la fonction.

📝 Points essentiels

Les inéquations trigonométriques se résolvent en déterminant les intervalles où la fonction satisfait l’inégalité. Par exemple, pour résoudre cos x ≤ √2/2, il faut identifier l’ensemble des x où la valeur de cos x est inférieure ou égale à √2/2. La résolution de ces inéquations se fait en utilisant les valeurs remarquables de la fonction trigonométrique, c’est-à-dire ses valeurs particulières à des angles spécifiques, et en tenant compte de la périodicité de la fonction. La périodicité permet d’étendre la solution sur tout l’ensemble des solutions possibles, en répétant le motif sur chaque période.

💡 À retenir

La résolution d’inéquations trigonométriques consiste à déterminer précisément les intervalles où la fonction trigonométrique satisfait l’inégalité, en combinant la connaissance des valeurs clés et la périodicité de la fonction. Cela permet d’obtenir une description complète et exacte des solutions sur un intervalle donné ou sur la droite réelle.

📖 12. Étude des fonctions sinus et cosinus

🔑 Notions clés & Définitions

Sens de variation
Le sens de variation d'une fonction désigne la direction dans laquelle la fonction augmente ou diminue sur un intervalle donné. Autrement dit, si pour deux valeurs x₁ et x₂ de l'intervalle, x₁ < x₂, on a f(x₁) < f(x₂), alors la fonction est croissante sur cet intervalle. Inversement, si f(x₁) > f(x₂), la fonction est décroissante. La détermination du sens de variation est essentielle pour analyser le comportement global d'une fonction.

Tableaux de variation
Les tableaux de variation synthétisent l'étude du comportement d'une fonction sur un intervalle. Ils indiquent les points où la fonction atteint ses extremums (maximum ou minimum), où elle change de sens, ainsi que ses valeurs aux points critiques. Ces tableaux sont construits à partir de l'étude de la dérivée ou du sens de variation, permettant une représentation claire et précise du comportement de la fonction.

Fonctions circulaires
Les fonctions sinus et cosinus sont appelées fonctions circulaires car leur représentation graphique correspond à des courbes appelées sinusoïdes, qui sont des projections d’un cercle unité sur un plan. Ces fonctions sont continues et bornées entre −1 et 1, ce qui signifie qu'elles prennent toutes leurs valeurs dans cet intervalle. Leur périodicité est fondamentale : elles se répètent à intervalles réguliers, ce qui facilite leur étude globale.

Symétries et périodicité pour l’étude globale
Les fonctions sinus et cosinus possèdent des propriétés de symétrie et de périodicité qui permettent d’étendre leur étude locale à l’ensemble de la droite réelle. La périodicité de 2π signifie que pour tout x, f(x + 2π) = f(x). La symétrie de la fonction sinus est impaire : sin(−x) = −sin(x), tandis que celle du cosinus est paire : cos(−x) = cos(x). Ces propriétés permettent de déduire leur comportement sur tout R à partir de leur comportement sur un intervalle fondamental, généralement [0, π/2].

📝 Points essentiels

• Le cosinus est décroissant sur l’intervalle [0; π], ce qui implique que, dans cet intervalle, lorsque x augmente, cos(x) diminue. En revanche, le sinus est croissant sur [0; π/2], ce qui signifie que sin(x) augmente lorsque x augmente dans cet intervalle. Ensuite, le sinus devient décroissant sur [π/2; π], indiquant une diminution de sin(x) lorsque x progresse dans cet intervalle.

• Les variations sur R se déduisent facilement par parité et périodicité. La parité de cos(x) (paire) et la nature impaire de sin(x) permettent de connaître leur comportement sur tout R en se concentrant sur un intervalle fondamental, puis en utilisant ces propriétés pour étendre l’analyse.

• Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R, ce qui garantit qu’elles n’ont pas de sauts ou interruptions dans leur courbe. Elles sont également bornées entre −1 et 1, ce qui limite leur amplitude et facilite leur représentation graphique.

• La courbe de ces fonctions, appelée sinusoïde, présente une forme caractéristique oscillante, régulière, et périodique, essentielle pour leur étude et leur utilisation dans divers domaines.

💡 À retenir

L’étude détaillée des variations des fonctions sinus et cosinus sur un intervalle fondamental permet de comprendre leur comportement global grâce aux symétries et périodicité. Ces propriétés facilitent leur analyse complète sur l’ensemble de la droite réelle, en simplifiant la détermination de leurs valeurs, extrema, et sens de variation.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la mesure en degrés et en radians sans utiliser la conversion appropriée.
2. Oublier que la mesure d’un angle en radians sur le cercle unité est égale à la longueur de l’arc intercepté.
3. Confusion entre angle non orienté et angle orienté, notamment sur le sens direct (anti-horaire).
4. Négliger la périodicité des fonctions trigonométriques, notamment la différence entre valeurs principales et autres valeurs équivalentes.
5. Erreur dans la conversion inverse (radians vers degrés) en inversant les facteurs $\frac{\pi}{180}$ et $\frac{180}{\pi}$.
6. Mauvaise interprétation de l’angle principal dans $]−\pi; +\pi]$, notamment pour les vecteurs.
7. Omettre que deux angles peuvent différer de $2k\pi$ tout en représentant le même angle orienté.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition du radian comme étant la longueur d’un arc intercepté sur un cercle unité.
2. Savoir que la longueur de l’arc intercepté par un angle en radians sur un cercle de rayon 1 est égale à la mesure de cet angle.
3. Maîtriser la relation fondamentale entre π radians et 180° pour effectuer des conversions.
4. Savoir convertir un angle de degrés en radians en multipliant par $\frac{\pi}{180}$.
5. Savoir convertir un angle en radians en degrés en multipliant par $\frac{180}{\pi}$.
6. Comprendre que l’angle orienté entre deux vecteurs est défini comme l’arc parcouru dans le sens direct (anti-horaire).
7. Connaître que la mesure principale d’un angle orienté est dans l’intervalle $]−\pi; +\pi]$.
8. Être capable d’expliquer la notion de modulo $2\pi$ pour les mesures d’angles.
9. Maîtriser la différence entre angles non orientés et angles orientés, notamment leur signe et leur direction.
10. Savoir que deux mesures d’un même angle peuvent différer de $2k\pi$ sans changer leur représentation géométrique.
11. Connaître les propriétés fondamentales des fonctions trigonométriques sinus et cosinus, notamment leur périodicité.
12. Être capable de représenter graphiquement sinus et cosinus, ainsi que leurs valeurs remarquables ($0, \pm 1, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$).