Fiche de révision : Produit scalaire et géométrie plane

📋 Plan du Cours

1. Produit scalaire vecteurs
2. Propriétés du produit scalaire
3. Norme d'un vecteur
4. Orthogonalité vecteurs
5. Projection orthogonale
6. Formule d’Al-Kashi
7. Calcul d’angles en géométrie
8. Cercle de diamètre [AB]
9. Identités remarquables scalaire
10. Produit scalaire dans repère orthonormé

📖 1. Produit scalaire vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition du produit scalaire : AUTEUR (date) : le produit scalaire de deux vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣⃗, noté 𝑢⃗.𝑣⃗, est un nombre réel défini par :
  $𝑢⃗.𝑣⃗ = ||𝑢⃗|| \times ||𝑣⃗|| \times \cos(\text{angle entre } 𝑢⃗ \text{ et } 𝑣⃗)$
• Produit scalaire de vecteurs colinéaires selon leur sens :
  • Si 𝑢⃗ et 𝑣⃗ ont même sens, alors 𝑢⃗.𝑣⃗ = ||𝑢⃗|| × ||𝑣⃗||
  • Si 𝑢⃗ et 𝑣⃗ ont sens contraire, alors 𝑢⃗.𝑣⃗ = -||𝑢⃗|| × ||𝑣⃗||
• Carré scalaire d’un vecteur : AUTEUR (date) : la quantité 𝑢⃗.𝑢⃗, notée 𝑢⃗², est égale à ||𝑢⃗||², c’est-à-dire le carré de la norme du vecteur.
  $𝑢⃗.𝑢⃗ = ||𝑢⃗||^2$
• Produit scalaire est un nombre réel : La valeur 𝑢⃗.𝑣⃗ appartient à ℝ, contrairement à un vecteur.

📝 Points essentiels

• La définition du produit scalaire repose sur la norme et l’angle entre deux vecteurs, avec la formule :
  $𝑢⃗.𝑣⃗ = ||𝑢⃗|| \times ||𝑣⃗|| \times \cos(\text{angle entre } 𝑢⃗ \text{ et } 𝑣⃗)$
• La propriété de colinéarité selon le sens indique que :
  • Même sens : 𝑢⃗.𝑣⃗ = ||𝑢⃗|| × ||𝑣⃗||
  • Sens contraire : 𝑢⃗.𝑣⃗ = -||𝑢⃗|| × ||𝑣⃗||
• Le carré scalaire d’un vecteur, noté 𝑢⃗², est égal à ||𝑢⃗||², ce qui permet de relier norme et produit scalaire (voir section 3).
• La symétrie du produit scalaire : pour tous vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣⃗, on a :
  $𝑢⃗.𝑣⃗ = 𝑣⃗.𝑢⃗$

💡 À retenir

Le produit scalaire est une opération qui associe à deux vecteurs un nombre réel, calculé à partir de leurs normes et de l’angle qu’ils forment, permettant notamment de caractériser l’orthogonalité et de calculer des angles dans le plan.

📖 2. Propriétés du produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie du produit scalaire : pour tous vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣⃗, on a 𝑢⃗.𝑣⃗ = 𝑣⃗.𝑢⃗.
  Auteur (source) : La propriété découle de la définition du produit scalaire et de la fonction cos paire, c’est-à-dire cos(x) = cos(-x).

• Linéarité du produit scalaire : pour tous vecteurs 𝑢⃗, 𝑣⃗, 𝑤⃗ et tout réel k, on a :

  1. 𝑢⃗ . (𝑣⃗ + 𝑤⃗) = 𝑢⃗ . 𝑣⃗ + 𝑢⃗ . 𝑤⃗
  2. (𝑢⃗ + 𝑣⃗) . 𝑤⃗ = 𝑢⃗ . 𝑤⃗ + 𝑣⃗ . 𝑤⃗
  3. 𝑢⃗ . (k𝑣⃗) = k (𝑢⃗ . 𝑣⃗)
     Auteur (source) : propriété de distributivité et homogénéité du produit scalaire.

• Formules de bilinéarité du produit scalaire :
  Pour tous vecteurs 𝑢⃗, 𝑣⃗, 𝑤⃗, on a :
  (𝑢⃗ + 𝑣⃗)² = ||𝑢⃗||² + 2 𝑢⃗ . 𝑣⃗ + ||𝑣⃗||²
  Auteur (source) : identité remarquable du produit scalaire, dérivée de la linéarité.

• Propriété de la symétrie : pour tous vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣⃗, on a 𝑢⃗.𝑣⃗ = 𝑣⃗.𝑢⃗.
  Auteur (source) : démonstration basée sur la propriété paire de cos et la définition du produit scalaire.

• Relation entre norme et produit scalaire : ||𝑢⃗||² = 𝑢⃗ . 𝑢⃗.
  Auteur (source) : propriété fondamentale reliant norme et carré scalaire.

📝 Points essentiels

• La symétrie du produit scalaire (𝑢⃗.𝑣⃗ = 𝑣⃗.𝑢⃗) découle de la nature paire de la fonction cos, essentielle pour la cohérence du produit dans le plan.
• La linéarité garantit que le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition vectorielle et homogène par rapport à la multiplication par un scalaire, ce qui permet de manipuler facilement les expressions algébriques.
• Les formules de bilinéarité (ex : (𝑢⃗ + 𝑣⃗)²) facilitent le calcul des produits scalaires en développant les expressions en termes de normes et de produits scalaires simples.
• La relation entre norme et produit scalaire permet d’exprimer la norme d’un vecteur en fonction de son produit scalaire avec lui-même, ce qui est fondamental dans la géométrie analytique.

💡 À retenir

Le produit scalaire est une opération bilinéaire, symétrique, et reliée à la norme d’un vecteur, permettant d’établir des relations fondamentales pour le calcul d’angles, de longueurs et la caractérisation de l’orthogonalité.

📖 3. Norme d'un vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme d’un vecteur : La norme d’un vecteur 𝑢⃗, notée ||𝑢⃗||, est la distance entre les points A et B tels que 𝑢⃗ = AB⃗. Elle mesure la longueur ou la magnitude du vecteur.
• Relation entre norme et carré scalaire : Pour tout vecteur 𝑢⃗, on a ||𝑢⃗||² = 𝑢⃗.𝑢⃗, c’est-à-dire que le carré de la norme est égal au produit scalaire de 𝑢⃗ avec lui-même.
• Produit scalaire : Définition par **(voir page 1) : 𝑢⃗.𝑣⃗ = ||𝑢⃗|| × ||𝑣⃗|| × cos(BAC), un nombre réel qui relie vecteurs, longueur et angle.
• Carré scalaire : La quantité 𝑢⃗.𝑢⃗, appelée carré scalaire du vecteur 𝑢⃗, est égale à ||𝑢⃗||², la norme au carré.
• Orthogonalité via produit scalaire : Deux vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣⃗ sont orthogonaux si et seulement si 𝑢⃗.𝑣⃗ = 0 (voir page 3).

📝 Points essentiels

• La norme d’un vecteur 𝑢⃗ = AB⃗ est définie comme la distance entre A et B.
• La relation ||𝑢⃗||² = 𝑢⃗.𝑢⃗ relie la norme au produit scalaire, permettant de calculer la longueur à partir du produit scalaire.
• Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, défini par 𝑢⃗.𝑣⃗ = ||𝑢⃗|| × ||𝑣⃗|| × cos(BAC). Il permet notamment de caractériser l’orthogonalité : 𝑢⃗.𝑣⃗ = 0 si et seulement si 𝑢⃗ est orthogonal à 𝑣⃗ (voir page 3).
• La propriété de symétrie du produit scalaire : 𝑢⃗.𝑣⃗ = 𝑣⃗.𝑢⃗ (voir page 2).
• La norme est une mesure de longueur indépendante de la direction du vecteur.
• La relation ||𝑢⃗||² = 𝑢⃗.𝑢⃗ est fondamentale pour calculer la norme à partir du produit scalaire.

💡 À retenir

La norme d’un vecteur est la longueur qu’il représente, et elle se calcule via le produit scalaire par la relation ||𝑢⃗||² = 𝑢⃗.𝑢⃗ ; cette relation est essentielle pour relier la longueur à la notion de produit scalaire.

📖 4. Orthogonalité vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Orthogonalité : Deux vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣⃗ sont orthogonaux si l’angle entre eux est de 90°, c’est-à-dire si ils sont perpendiculaires (voir définition de l’orthogonalité).
• Caractérisation par produit scalaire : Deux vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣⃗ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire 𝑢⃗.𝑣⃗ = 0 (voir propriété 8).
• Produit scalaire : Nombre réel défini par 𝑢⃗.𝑣⃗ = ||𝑢⃗|| × ||𝑣⃗|| × cos(BAC), où BAC est l’angle entre 𝑢⃗ et 𝑣⃗ (voir section 1).
• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣⃗ sont colinéaires si l’angle entre eux est 0° ou 180°, et leur produit scalaire est alors égal à ||𝑢⃗|| × ||𝑣⃗|| (voir propriété 1).
• Projection orthogonale : Point d’intersection H de la droite passant par M et perpendiculaire à une droite d (voir définition 4).

📝 Points essentiels

• La définition de l’orthogonalité repose sur le produit scalaire : 𝑢⃗ et 𝑣⃗ sont orthogonaux si 𝑢⃗.𝑣⃗ = 0 (propriété 8).
• La caractérisation par le produit scalaire permet de vérifier l’orthogonalité sans mesurer l’angle : si 𝑢⃗.𝑣⃗ = 0, alors les vecteurs sont perpendiculaires.
• La propriété 8 s’applique aussi dans le contexte de la projection orthogonale : si 𝑢⃗.𝑣⃗ = 0, alors les vecteurs sont orthogonaux, ce qui implique que le triangle formé par ces vecteurs est rectangle en M (voir propriété 12).
• La relation de Chasles et la propriété 9 montrent que le produit scalaire est lié à la projection orthogonale d’un point sur une droite, avec la condition que 𝑢⃗.𝑣⃗ = 0 lorsque les vecteurs sont orthogonaux.

💡 À retenir

L’orthogonalité entre deux vecteurs est caractérisée par leur produit scalaire nul, ce qui équivaut à un angle droit entre eux.

📖 5. Projection orthogonale

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection orthogonale : Opération consistant à faire tomber un point M sur une droite d en traçant la perpendiculaire à d passant par M, et en notant H le point d’intersection. (définition)

• Projeté orthogonal (H) : Point d’intersection entre la droite d et la perpendiculaire à d passant par M, représentant la "projection" de M sur d. (définition)

• Relation produit scalaire et projection : Si 𝑢⃗ = AB⃗ et 𝑣⃗ = AC⃗, avec H le projeté orthogonal de C sur (AB), alors 𝑢⃗.𝑣⃗ = AB⃗ .AC⃗ = AB⃗ .AH⃗. (relation)

📝 Points essentiels

• La projection orthogonale permet de représenter la "projection" d’un point C sur une droite (AB) en utilisant le produit scalaire. La relation 𝑢⃗.𝑣⃗ = AB⃗ .AC⃗ = AB⃗ .AH⃗ indique que le produit scalaire entre le vecteur du segment (AB) et celui du segment (AC) est égal au produit scalaire entre (AB) et la projection (AH). Cela implique que le produit scalaire est lié à la longueur du projeté orthogonal.

• La propriété de projection montre que le produit scalaire entre deux vecteurs peut être exprimé en utilisant la projection orthogonale d’un point sur une droite, en particulier u.v = u.AH où H est le projeté de C sur (AB). La relation est valable dans deux configurations : lorsque AB⃗ et AH⃗ ont le même sens ou non.

• La relation de Chasles est utilisée pour démontrer que OA⃗ .OB⃗ = OA⃗ .OH⃗ + OA⃗ .HB⃗, et que OA⃗ .HB⃗ = 0 car ces vecteurs sont orthogonaux, ce qui justifie que OA⃗ .OB⃗ = OA⃗ .OH⃗.

• La propriété 9 relie le produit scalaire de deux vecteurs non nuls à leurs projections orthogonales, permettant de calculer le produit scalaire en utilisant la projection.

💡 À retenir

La projection orthogonale d’un point sur une droite permet d’établir une relation directe entre le produit scalaire de deux vecteurs et la longueur du projeté, facilitant ainsi le calcul et l’analyse géométrique dans le plan.

📖 6. Formule d’Al-Kashi

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule d’Al-Kashi : Al-Kashi (date inconnue) a généralisé le théorème de Pythagore en établissant que dans un triangle $ABC$, la longueur du côté $BC$ vérifie :
  $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(BAC)$
  Cette formule permet de calculer une longueur inconnue ou un angle en utilisant les longueurs des côtés et le cosinus de l’angle intérieur.

• Généralisation du théorème de Pythagore : La formule d’Al-Kashi devient le théorème de Pythagore lorsque l’angle $BAC$ est droit (90°), car alors $\cos(BAC) = 0$, ce qui donne :
  $BC^2 = AB^2 + AC^2$

• Relation entre longueur et angle : La formule relie directement la longueur d’un côté au carré avec celles des autres côtés et le cosinus de l’angle formé, permettant ainsi de résoudre des triangles non rectangles.

📝 Points essentiels

• La formule d’Al-Kashi est une relation fondamentale en géométrie pour calculer une longueur ou un angle dans un triangle quelconque.
• Elle se présente comme une généralisation du théorème de Pythagore : si le triangle est rectangle en $A$, alors $\cos(BAC) = 0$, et la formule réduit à la formule classique $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
• La formule peut être permutée pour exprimer d’autres côtés, en remplaçant $BC$ par $CA$ ou $AB$, et en adaptant l’angle correspondant (voir permutations circulaires).
• Elle est essentielle pour le calcul d’angles à partir des longueurs (voir section 7) et pour la résolution de triangles obliques.

💡 À retenir

La formule d’Al-Kashi permet de relier longueur et angle dans un triangle quelconque, étant une extension du théorème de Pythagore, et constitue un outil clé pour la résolution de triangles en géométrie.

📖 7. Calcul d’angles en géométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Nombre réel défini par ****(source : définitions)**, pour deux vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣⃗, 𝑢⃗.𝑣⃗ = ||𝑢⃗|| × ||𝑣⃗|| × cos(BAC), où BAC est l’angle entre 𝑢⃗ et 𝑣⃗.
• Calcul d’angle à partir du produit scalaire : Si 𝑢⃗ et 𝑣⃗ sont deux vecteurs non nuls, alors l’angle θ entre eux est donné par :
  $\cos \theta = \frac{𝑢⃗.𝑣⃗}{||𝑢⃗|| \times ||𝑣⃗||}$
• Formule d’Al-Kashi : Pour un triangle ABC, la longueur du côté BC est reliée aux autres côtés et à l’angle BAC par :
  $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos BAC$
• Utilisation de la formule d’Al-Kashi : Permet de déterminer un angle dans un triangle en connaissant les longueurs des côtés. La formule généralise le théorème de Pythagore (voir section 6).
• Notion de cercle de diamètre [AB] : Ensemble des points M tels que MA.MB = 0, caractérisé par le fait que le triangle ABM est rectangle en M (voir section 8).

📝 Points essentiels

• Le produit scalaire permet de calculer l’angle entre deux vecteurs en utilisant la formule :
  $\theta = \arccos \left( \frac{𝑢⃗.𝑣⃗}{||𝑢⃗|| \times ||𝑣⃗||} \right)$
  où 𝑢⃗ et 𝑣⃗ sont deux vecteurs non nuls.
• La formule d’Al-Kashi est une relation fondamentale pour calculer un angle dans un triangle à partir des longueurs de ses côtés :
  $\cos BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \times AB \times AC}$
• Elle permet aussi de vérifier si un triangle est rectangle (si le carré du côté opposé à l’angle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés).
• La propriété du cercle de diamètre [AB] indique que si MA.MB = 0, alors M appartient au cercle de diamètre [AB], et le triangle ABM est rectangle en M (voir section 8).
• La relation MA.MB = 0 caractérise aussi l’orthogonalité des vecteurs MA et MB, ce qui est essentiel pour déterminer si un triangle est rectangle en M.

💡 À retenir

Le calcul d’angles en géométrie repose principalement sur le produit scalaire et la formule d’Al-Kashi, qui permettent de déterminer précisément un angle à partir des longueurs ou des coordonnées, en utilisant la relation entre vecteurs, longueurs et cosinus.

📖 8. Cercle de diamètre [AB]

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des points M tels que MA.MB = 0 : Correspond à l'ensemble des points M situés sur le cercle de diamètre [AB].
• Caractérisation du triangle rectangle par le cercle de diamètre : (voir propriété 12), un triangle $ABM$ est rectangle en M si et seulement si M appartient au cercle de diamètre [AB].

📝 Points essentiels

• La propriété fondamentale stipule que l'ensemble des points M vérifiant $MA \times MB = 0$ forme le cercle de diamètre [AB]. Autrement dit, pour tout point M, si $MA \times MB = 0$, alors M appartient à ce cercle.
• La caractérisation du triangle rectangle indique que si M appartient au cercle de diamètre [AB], alors le triangle $ABM$ est rectangle en M. Cette propriété est une conséquence directe du théorème de Thalès appliqué au cercle : M appartient au cercle de diamètre [AB] ⇔ triangle $ABM$ rectangle en M.
• La démonstration de cette propriété repose sur le fait que $MA$ et $MB$ sont orthogonaux si et seulement si M appartient au cercle de diamètre [AB], ce qui implique que le triangle $ABM$ est rectangle en M.

💡 À retenir

L'ensemble des points M vérifiant $MA \times MB = 0$ forme le cercle de diamètre [AB], et ce cercle caractérise précisément les triangles rectangles en M lorsque M appartient à ce cercle.

📖 9. Identités remarquables scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• (u+v)² : Expression du carré du vecteur somme, défini par Propriété 5.1 :
  $(u+v)^2 = ||u||^2 + 2 u.v + ||v||^2$
  C'est une identité remarquable reliant la norme et le produit scalaire.

• (u−v)² : Expression du carré du vecteur différence, donnée par Propriété 5.2 :
  $(u−v)^2 = ||u||^2 - 2 u.v + ||v||^2$
  Elle permet d'établir une relation entre la norme et le produit scalaire.

• (u+v)(u−v) : Produit scalaire du vecteur somme par le vecteur différence, selon Propriété 5.3 :
  $(u+v)(u−v) = ||u||^2 - ||v||^2$
  identité remarquable illustrant la différence des carrés des vecteurs.

• Formules reliant norme et produit scalaire :

  • Propriété 6.1 : $u.v = \frac{1}{2} (||u||^2 + ||v||^2 - ||u−v||^2)$
  • Propriété 6.2 : $u.v = \frac{1}{2} (||u+v||^2 - ||u||^2 - ||v||^2)$
    Ces formules permettent de calculer le produit scalaire à partir des normes.

📝 Points essentiels

• Les expressions $(u+v)^2$, $(u−v)^2$, et $(u+v)(u−v)$ sont des identités remarquables du produit scalaire, dérivées de la bilinéarité et de la symétrie du produit scalaire (voir Propriété 5).
• La formule $(u+v)^2 = ||u||^2 + 2 u.v + ||v||^2$ est une version scalaire de l'identité remarquable du carré de la somme dans l'algèbre classique.
• La relation $(u+v)(u−v) = ||u||^2 - ||v||^2$ est une différence de carrés, illustrant la factorisation du produit scalaire.
• Les formules reliant norme et produit scalaire (Propriétés 6.1 et 6.2) sont essentielles pour calculer le produit scalaire sans connaître l'angle, en utilisant uniquement les normes.

💡 À retenir

Les identités remarquables du produit scalaire relient de façon simple et efficace la norme et le produit scalaire, permettant de manipuler et de calculer facilement ces quantités dans le plan ou l'espace.

📖 10. Produit scalaire dans repère orthonormé

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression du produit scalaire dans un repère orthonormé :
  Si 𝑢⃗ = (x, y) et 𝑣⃗ = (x’, y’), alors le produit scalaire est défini par :
  u.v = xx’ + yy’
  (Propriété 10, démonstration basée sur la norme et la somme de vecteurs dans un repère orthonormé).

• Calcul du produit scalaire à partir des coordonnées :
  Dans un repère orthonormé (O ; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗), pour deux vecteurs 𝑢⃗ (x/y) et 𝑣⃗ (x’/y’), on a :
  𝑢⃗.𝑣⃗ = xx’ + yy’ (Propriété 10).

• Notion de vecteur dans un repère orthonormé :
  Un vecteur 𝑢⃗ dans ce repère s’écrit en coordonnées (x, y), où x et y sont les projections sur 𝑖⃗ et 𝑗⃗.

📝 Points essentiels

• La formule u.v = xx’ + yy’ est valable pour tout vecteur 𝑢⃗ = (x, y) et 𝑣⃗ = (x’, y’) dans un repère orthonormé, ce qui facilite le calcul du produit scalaire à partir des coordonnées.

• La démonstration de cette formule repose sur la propriété du produit scalaire appliquée à la somme de vecteurs :
  𝑢⃗ + 𝑣⃗ = (x + x’, y + y’), et la norme dans un repère orthonormé étant donnée par ||𝑢⃗|| = √(x² + y²).

• La formule permet également de retrouver la norme d’un vecteur :
  ||𝑢⃗||² = 𝑢⃗ . 𝑢⃗ = x² + y².

• La propriété du produit scalaire dans un repère orthonormé est cohérente avec la définition géométrique :
  𝑢⃗ . 𝑣⃗ = ||𝑢⃗|| × ||𝑣⃗|| × cos(angle entre 𝑢⃗ et 𝑣⃗).

• Exemple d’application : pour 𝑢⃗ (5, -3) et 𝑣⃗ (-3, 7), le produit scalaire est :
  𝑢⃗ . 𝑣⃗ = 5 × (-3) + (-3) × 7 = -15 - 21 = -36.

💡 À retenir

Le produit scalaire dans un repère orthonormé se calcule facilement à partir des coordonnées en utilisant la formule u.v = xx’ + yy’, ce qui relie directement la géométrie à l’algèbre dans le plan.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre produit scalaire et produit vectoriel (qui n’est pas défini ici).
2. Oublier que $u \cdot v$ est un nombre réel, pas un vecteur.
3. Confondre la norme $||u||$ avec la longueur du vecteur, surtout dans le contexte géométrique.
4. Mauvaise utilisation de la formule $u \cdot v = ||u|| \times ||v|| \times \cos(\theta)$ en cas de vecteurs colinéaires ou orthogonaux.
5. Confusion entre orthogonalité ($u \perp v$) et colinéarité.
6. Erreur dans le signe du produit scalaire pour vecteurs de sens contraire.
7. Négliger la propriété de symétrie du produit scalaire dans certains calculs.

✅ Checklist Examen

• Connaître la définition du produit scalaire selon la formule $u \cdot v = ||u|| \times ||v|| \times \cos(\theta)$.
• Savoir que $u \cdot v$ appartient à $\mathbb{R}$ et non à un vecteur.
• Maîtriser la propriété de symétrie : $u \cdot v = v \cdot u$.
• Savoir que $u^2 = u \cdot u = ||u||^2$.
• Connaître la linéarité du produit scalaire : $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$.
• Savoir que $||u|| = \sqrt{u \cdot u}$.
• Savoir caractériser l’orthogonalité par $u \cdot v = 0$.
• Comprendre la formule de l’angle : $\cos(\theta) = \frac{u \cdot v}{||u|| \times ||v||}$.
• Maîtriser la formule de la projection orthogonale d’un vecteur sur une droite.
• Connaître la formule d’Al-Kashi pour calculer un angle dans un triangle.
• Savoir calculer un angle en utilisant le produit scalaire.
• Savoir utiliser le cercle de diamètre [AB] pour déterminer si un point est sur le cercle.
• Maîtriser les identités remarquables scalaires : $(u + v)^2 = ||u||^2 + 2 u \cdot v + ||v||^2$.