Fiche de révision : Proportionnalité : méthodes et applications

📋 Plan du Cours

1. Proportionnalité et disciplines connexes
2. Proportion simple sans unité et quatrième proportionnelle
3. Problèmes de proportionnalité : spécificités et niveau CM1
4. Proportionnalité simple composée, comparaison et double
5. Méthode multiplicative de linéarité
6. Méthode additive de linéarité
7. Coefficient de proportionnalité et passage par l’unité
8. Autres méthodes au cycle 4
9. Difficultés des élèves en proportionnalité
10. Variables didactiques et choix des nombres
11. Agrandissement de figures géométriques et erreurs additives

📖 1. Proportionnalité et disciplines connexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportionnalité : La proportionnalité décrit une relation où deux grandeurs varient de façon régulière, avec un même facteur entre les valeurs correspondantes.
• Agrandissement réduction : L’agrandissement et la réduction sont des transformations qui conservent les rapports de longueurs, utiles pour appliquer la proportionnalité.
• Échelle de carte : L’échelle de carte est un rapport qui relie les distances réelles aux distances sur le plan, mobilisant la proportionnalité.
• Pourcentage : Le pourcentage exprime une part sur 100 et s’interprète comme un rapport, donc comme un cas de proportionnalité.

📝 Points essentiels

• La proportionnalité sert aussi en géographie (échelles de cartes/plans), en arts plastiques (agrandissements/réductions) et en sciences/technologie (vitesses, pourcentages).
• Les problèmes de proportionnalité sont des problèmes de proportion simple sans présence de l’unité.
• Dans un problème de proportion simple, on peut organiser les données en un tableau à quatre nombres : trois sont connus et deux grandeurs sont mises en correspondance.
• Un problème de « quatrième proportionnelle » correspond à une seule situation de proportionnalité : on cherche la valeur associée à un nouveau nombre de la première grandeur.
• Problème de multiplication : on passe de la première grandeur à la seconde par un produit (ex. 4 sacs et 5 billes par sac donnent 4×5=20).
• Problème de division-partition : on répartit une quantité totale en parts égales, donc on divise (ex. 20 billes réparties en 4 sacs donnent 20:4=5 par sac).

💡 Astuce mémo

Pense « 4 nombres dans un tableau » : 2 grandeurs × 2 valeurs, et le 4e se trouve par multiplication ou division selon le sens de la question.

📖 2. Proportion simple sans unité et quatrième proportionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion simple : Situation où deux grandeurs varient de façon multiplicative avec un même coefficient, sans nécessiter d’unité dans les données.
• Quatrième proportionnelle : Problème de proportion simple où, connaissant trois valeurs de deux grandeurs proportionnelles, on cherche la quatrième.
• Coefficient de proportionnalité : Nombre qui permet de passer d’une valeur de la première grandeur à la valeur correspondante de la seconde par multiplication.
• Propriété multiplicative de linéarité : En proportion, multiplier un facteur sur une grandeur revient à multiplier la grandeur correspondante par le même facteur.
• Propriété additive de linéarité : En proportion, additionner des quantités dans une grandeur correspond à additionner les quantités correspondantes dans l’autre grandeur.

📝 Points essentiels

• Dans une quatrième proportionnelle, on calcule d’abord le facteur entre les deux valeurs connues (par division), puis on l’applique à la valeur associée (par multiplication).
• La proportion simple sans unité se reconnaît quand les données sont des nombres sans indication d’unités et qu’on peut raisonner par rapports.
• Le schéma général est : 1re grandeur $a$ et $c$ ; 2de grandeur $b$ et $?$ avec $a$ correspondant à $b$ et $c$ correspondant à la valeur cherchée.
• On ne trouve pas la solution en un seul calcul : il faut au moins deux étapes (déterminer le coefficient ou le facteur, puis calculer la valeur manquante).
• Dans l’exemple des sacs de billes : $12:3=4$ puis $15\times 4=60$, car 12 sacs correspondent à 4 fois 3 sacs et donc 60 billes à 4 fois 15 billes.
• Pour résoudre une quatrième proportionnelle, on mobilise au minimum le coefficient de proportionnalité et les propriétés de linéarité (multiplicative et additive) pour justifier les calculs.

💡 Astuce mémo

Quatrième proportionnelle = « facteur puis produit » : d’abord on divise pour trouver le facteur, ensuite on multiplie pour obtenir la valeur manquante.

📖 3. Problèmes de proportionnalité : spécificités et niveau CM1

🔑 Notions clés & Définitions

• Comparaison de proportions : Problèmes où l’on compare deux rapports entre deux grandeurs du problème pour déterminer lequel est le plus grand ou le plus avantageux.
• Problèmes de proportionnalité double : Problèmes où une grandeur dépend simultanément de deux autres grandeurs de façon proportionnelle.
• Proportionnalité : Relation où deux grandeurs varient de manière telle que l’un s’obtient en multipliant l’autre par un même coefficient.
• Coefficient multiplicatif : Nombre sans unité qui indique combien de fois on passe d’une valeur à une autre dans une situation de proportionnalité.

📝 Points essentiels

• Dans la comparaison de proportions, on compare deux rapports (deux quotients) correspondant aux deux situations du problème.
• La comparaison se fait en se ramenant à un même “repère” commun pour les deux situations (un multiple ou un sous-multiple des grandeurs).
• Pour les liquides sucrés, on peut choisir 12 verres d’eau car 12 est multiple de 3 et de 4, puis comparer le nombre de sucres obtenu.
• Une autre approche consiste à comparer des fractions (par exemple 2/3 et 3/4), mais elle est généralement moins adaptée aux élèves de l’école primaire.
• En proportionnalité double, la grandeur finale varie proportionnellement à la fois avec le nombre de jours et avec le nombre de personnes.
• On peut résoudre une proportionnalité double soit avec un tableau à double entrée, soit en plusieurs étapes (moitié de durée puis multiplication par le nombre de personnes).

💡 Astuce mémo

Comparaison : même “repère” commun (multiple) ; Double : deux leviers (jours × personnes)

📖 4. Proportionnalité simple composée, comparaison et double

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété multiplicative de linéarité : La propriété multiplicative de linéarité relie deux grandeurs proportionnelles via un coefficient multiplicatif sans unité appliqué aux valeurs.
• Coefficient multiplicatif sans unité : Le coefficient multiplicatif sans unité est un nombre qui exprime « n fois plus » ou « n fois moins » entre deux quantités d’une même grandeur.
• Passage par l’unité : Le passage par l’unité consiste à calculer la valeur pour 1 unité, puis à l’utiliser pour obtenir la valeur correspondant à la quantité demandée.
• Propriété additive de linéarité : La propriété additive de linéarité relie des valeurs de la première grandeur par une relation additive, puis la transfère à la seconde grandeur.

📝 Points essentiels

• Pour une proportionnalité, on peut passer de $a$ à $c$ en multipliant par un coefficient sans unité, puis appliquer le même coefficient à $b$ pour obtenir $?$ : $b\times\frac{c}{a}$.
• Méthode 1 : on compare multiplicativement sur la même grandeur (ex. « 12 sacs = 4 fois 3 sacs ») pour trouver le coefficient, puis on l’applique à l’autre grandeur.
• Méthode 1 (exemple sacs de billes) : de 3 sacs à 12 sacs, le coefficient est 4, donc $15\times 4=60$ billes.
• Méthode 2 : on utilise deux fois la multiplicativité, d’abord pour passer à l’unité (diviser par $a$), puis pour revenir à la quantité demandée (multiplier par $c$).
• Méthode 2 (exemple sacs de billes) : $15\div 3=5$ billes par sac, puis $5\times 12=60$ billes.
• Méthode 3 : on repère une relation additive entre trois nombres de la première grandeur, puis on l’applique aux deux nombres connus de la seconde pour trouver le troisième.

💡 Astuce mémo

Coefficient d’abord : multiplicatif = « fois plus/moins » ; unité ensuite : diviser puis multiplier ; additif = « plus » entre nombres.

📖 5. Méthode multiplicative de linéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété multiplicative de linéarité : La propriété multiplicative de linéarité exprime qu’un même facteur appliqué à la première grandeur entraîne un facteur identique sur la seconde grandeur.
• Facteur multiplicatif : Le facteur multiplicatif est le nombre par lequel on multiplie une quantité de la première grandeur pour obtenir la quantité correspondante de la seconde.
• Coefficient de proportionnalité : Le coefficient de proportionnalité est un multiplicateur (avec une unité) qui permet de passer d’une grandeur à l’autre dans une situation de proportionnalité.
• Unité du coefficient : L’unité du coefficient indique la relation entre les deux grandeurs, par exemple des billes par sac.

📝 Points essentiels

• On utilise la méthode multiplicative quand on peut passer de la première grandeur à une autre valeur en multipliant par un même facteur.
• Si les nombres de la première grandeur ne sont que deux, on peut créer un troisième nombre en utilisant une relation multiplicative pour ensuite exploiter une relation additive.
• Dans l’exemple 8 sacs → 12 sacs, 12 sacs correspond à 8 sacs et à la moitié de 8 sacs, donc on cherche d’abord la valeur pour 4 sacs.
• Le facteur recherché peut être obtenu en décomposant 12 en 8 + 4, puis en calculant la moitié de la quantité associée à 8 sacs.
• Le coefficient de proportionnalité se calcule en divisant la quantité de la seconde grandeur par la quantité de la première grandeur correspondante.
• Le coefficient de proportionnalité s’applique ensuite en multipliant par le nouveau nombre de la première grandeur pour obtenir la valeur recherchée.

💡 Astuce mémo

Idée-clé : multiplicatif d’abord (trouver le facteur), puis additif si besoin (additionner des parts).

📖 6. Méthode additive de linéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété multiplicative de linéarité : Propriété de proportionnalité où l’on multiplie une grandeur par un même facteur pour obtenir l’autre grandeur correspondante.
• Coefficient de proportionnalité : Nombre qui relie deux grandeurs proportionnelles en indiquant combien de la 2de grandeur correspond à 1 unité de la 1re grandeur.
• Quatrième proportionnelle : Problème de proportionnalité où l’on cherche une valeur manquante à partir de deux couples de grandeurs liées.
• Produit en croix : Procédure qui transforme une proportion en égalité de produits pour résoudre l’inconnue.
• Règle de trois : Procédure de proportionnalité qui enchaîne une multiplication puis une division, liée au passage par l’unité.

📝 Points essentiels

• En proportionnalité, on peut passer de la 1re grandeur à la 2de en utilisant un coefficient constant.
• Le coefficient de proportionnalité s’obtient en divisant la 2de grandeur par la 1re (exemple : 15 billes ÷ 3 sacs = 5 billes/sac).
• Pour appliquer le coefficient, on multiplie le nombre de la 2de grandeur par le coefficient (exemple : 12 sacs × 5 billes/sac = 60 billes).
• Pour distinguer coefficient de proportionnalité et propriété multiplicative de linéarité, on regarde si le facteur multiplicatif a une unité (coefficient) ou non (linéarité).
• La méthode additive de linéarité relève plutôt du CM2 car elle nécessite une multiplication par un nombre portant une unité pour obtenir la grandeur demandée.

💡 Astuce mémo

Unité dans le facteur = coefficient de proportionnalité ; pas d’unité = propriété multiplicative de linéarité.

📖 7. Coefficient de proportionnalité et passage par l’unité

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de proportionnalité : Le coefficient de proportionnalité est le facteur constant qui relie une quantité à une autre dans une situation proportionnelle.
• Passage par l’unité : La procédure de passage par l’unité consiste à calculer d’abord le prix ou la valeur pour 1 unité, puis à multiplier par le nombre d’unités.
• Règle de trois : La règle de trois est une procédure qui utilise deux grandeurs proportionnelles pour passer directement d’un nombre d’unités à un autre.
• Problème de proportionnalité : Un problème de proportionnalité relie deux grandeurs par un facteur constant, ce qui permet d’utiliser des propriétés de proportionnalité.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple, 3 cartes coûtent 2 € donc le prix pour 1 carte vaut 2/3 € puis 6 cartes coûtent (2/3)×6 = 4 €.
• Le passage par l’unité peut être bloquant si le prix unitaire n’est pas un nombre décimal simple (ex. 2/3 €), car les élèves peuvent arrondir et obtenir 3,96 € au lieu de 4 €.
• La règle de trois évite ce blocage en travaillant avec des fractions puis en simplifiant le calcul : 2×6/3 = 2×2 = 4 €.
• Deux problèmes proches peuvent ne pas être proportionnels : le prix de l’essence dépend proportionnellement du volume, alors que le tarif d’affranchissement ne dépend pas proportionnellement de la masse.
• En cycle 3, les élèves doivent choisir une procédure adaptée sans toujours pouvoir nommer les propriétés utilisées, et certaines procédures échouent selon les nombres en jeu.

💡 Astuce mémo

Idée-clé : passage par l’unité = trouver 1 (souvent fraction), règle de trois = garder le rapport puis simplifier.

📖 8. Autres méthodes au cycle 4

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle additif erroné : Erreur de raisonnement où l’élève applique une même addition (ex. +2) à toutes les grandeurs lors d’un changement d’échelle, au lieu d’une relation multiplicative.
• Proportionnalité : Situation où deux grandeurs varient de façon telle que le rapport reste constant quand on passe d’une valeur à une autre.
• Validation par le milieu : Méthode de vérification qui consiste à confirmer ou infirmer une réponse en observant le résultat avec du matériel (mesure, manipulation), pas seulement par calcul.
• Situation de référence : Problème connu et réutilisable en classe pour entraîner le repérage des cas de proportionnalité et éviter de se limiter à un seul contexte.

📝 Points essentiels

• Un modèle additif conduit à des réponses fausses quand l’agrandissement doit être multiplicatif (ex. +2 cm appliqué à 10 cm et 14 cm).
• Pour tester une procédure, on peut comparer les prévisions de calcul avec ce que donne réellement le matériel (mesure ou manipulation).
• Les élèves doivent rencontrer plusieurs problèmes de proportionnalité dans des contextes variés, pas seulement l’achat d’objets très familier.
• Les recettes à adapter au nombre de convives sont un exemple de situation de proportionnalité à traiter par calcul puis vérification.
• Une validation par le milieu peut être utilisée quand le matériel permet de mesurer directement la grandeur concernée (ex. hauteur d’eau).
• La hauteur d’eau dans des récipients de formes différentes sert à opposer une situation proportionnelle et une situation non proportionnelle.

💡 Astuce mémo

Additif = même “+” partout ; Proportionnalité = même “×” (rapport constant).

📖 9. Difficultés des élèves en proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Situation de proportionnalité : Une situation de proportionnalité relie deux grandeurs de façon que multiplier l’une entraîne le même facteur sur l’autre.
• Vase cylindrique : Un vase cylindrique a une hauteur d’eau qui varie proportionnellement au volume versé, donc au nombre de verres.
• Vase conique : Un vase conique ne donne pas une hauteur d’eau proportionnelle au volume versé, donc au nombre de verres.
• Passage par l’unité : Le passage par l’unité consiste à déterminer la valeur pour 1 verre, puis à multiplier par le nombre de verres.
• Coefficient de proportionnalité : Le coefficient de proportionnalité est le facteur constant qui transforme la première grandeur en seconde grandeur.

📝 Points essentiels

• Dans l’activité, les élèves comparent deux vases (cylindrique vs conique) avec le même nombre de verres pour mesurer des hauteurs différentes.
• Avec le vase cylindrique, on peut prévoir la hauteur pour 15 verres à partir de 5 verres, car la relation est proportionnelle.
• Avec le vase conique, la hauteur ne suit pas une règle multiplicative simple, donc la prévision par calcul à partir de 5 verres n’est pas fiable.
• Les mesures réelles (à 1 ou 2 mm près) imposent à l’enseignant de donner les hauteurs attendues pour éviter les erreurs dues aux imprécisions.
• Après compréhension, l’enseignant modifie les nombres pour favoriser ou empêcher certaines procédures de résolution.
• Situation 1 : de 5 à 15 verres, on utilise la propriété multiplicative (facteur 3) pour obtenir une hauteur multipliée par 3.

💡 Astuce mémo

Cylindre = facteur constant (ça “multiplie”), Cône = ça casse la proportion (ça “ne suit pas”).

📖 10. Variables didactiques et choix des nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable didactique : Une variable didactique est un élément d’un énoncé qui influence les procédures de résolution possibles.
• Proportionnalité : La proportionnalité est un cadre où des grandeurs varient selon un rapport constant entre les nombres de l’énoncé.
• Commensuration : La commensuration consiste à rechercher des longueurs identiques en comparant des objets de longueurs différentes.
• Agrandissement de figures : L’agrandissement de figures est une transformation géométrique qui modifie les dimensions selon un facteur, pas par simple ajout uniforme.

📝 Points essentiels

• Les rapports entre les nombres donnés dans l’énoncé peuvent agir comme variable didactique en proportionnalité.
• Quand on choisit des nombres adaptés, on peut favoriser une procédure basée sur la linéarité additive plutôt que sur un coefficient.
• Dans l’exemple verres→hauteur, 6 verres et 3 verres correspondent à 9 verres, ce qui permet d’additionner les hauteurs (4 cm + 2 cm).
• Le passage par l’unité ou par le coefficient de proportionnalité peut devenir inadapté si le résultat attendu conduit à un nombre rationnel non décimal (ex. 2/3).
• On peut aussi inverser la question : calculer le nombre de verres pour obtenir une hauteur donnée (ex. 5 verres → 6 cm, puis ? verres → 18 cm).
• Le tableau de données n’implique pas automatiquement la proportionnalité : le lier systématiquement peut faire croire aux élèves qu’un tableau « signifie » proportionnalité.

💡 Astuce mémo

Variable didactique = « ce que tu changes dans les nombres pour changer la méthode ».

📖 11. Agrandissement de figures géométriques et erreurs additives

🔑 Notions clés & Définitions

• Agrandissement de figure : Opération qui transforme une figure en une version identique mais de taille différente, en conservant les proportions entre longueurs correspondantes.
• Puzzle de polygones : Assemblage de plusieurs polygones dont chaque pièce doit être agrandie pour reconstituer un ensemble identique à l’original, mais plus grand.
• Coefficient d’agrandissement : Facteur multiplicatif reliant une longueur du petit puzzle à la longueur correspondante du grand puzzle.
• Erreur additive : Procédure incorrecte qui consiste à ajouter la même quantité (par exemple 2 cm) à toutes les longueurs au lieu de multiplier par un facteur.

📝 Points essentiels

• L’agrandissement ne se fait pas en ajoutant une même longueur à toutes les longueurs : on doit respecter les correspondances entre longueurs du petit et du grand puzzle.
• La situation d’agrandissement par puzzle n’est adaptée qu’après la mise en place de procédures de résolution en proportionnalité.
• Chaque élève agrandit sa pièce avec sa méthode, puis le groupe valide ou corrige en reconstituant le puzzle agrandi.
• Si la reconstitution échoue, les élèves doivent analyser les procédures de chacun et s’accorder sur une procédure commune avant de refaire certaines pièces.
• La pièce A produit un carré de 6 cm de côté quelle que soit la procédure, ce qui sert de repère de validité.

💡 Astuce mémo

Erreur additive : « +2 partout » ne conserve pas les proportions ; l’agrandissement se fait par « × facteur ».

📊 Tableaux de synthèse

Catégories de problèmes multiplicatifs (proportion simple)

Méthodes de résolution de la quatrième proportionnelle

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre proportionnalité et modèle additif : ajouter “+2” quand il faut multiplier par un facteur constant.
2. Croire qu’une quatrième proportionnelle se résout en un seul calcul : la solution nécessite au moins deux étapes (facteur puis application).
3. Mélanger coefficient de proportionnalité et propriété multiplicative : le premier a une unité, la seconde n’en a pas.
4. Se tromper de sens entre multiplication et division : partition (division) n’est pas quotition (division avec un autre rôle des nombres).
5. Utiliser la propriété additive de linéarité quand les nombres ne permettent pas une relation additive pertinente (ex. situations où le passage par l’unité devient non décimal).
6. Choisir une procédure inadaptée au contexte : par exemple tenter le passage par l’unité quand le prix unitaire n’est pas un nombre décimal simple (2/3 €).
7. Penser que “tableau de données” implique automatiquement proportionnalité : le tableau ne suffit pas à garantir le cadre proportionnel.

✅ Checklist Examen

1. Identifier que les problèmes de proportionnalité sont des problèmes de proportion simple sans présence de l’unité dans les données.
2. Classer un énoncé parmi multiplication, division-partition, division-quotition, ou quatrième proportionnelle à partir du rôle des nombres.
3. Pour une multiplication, écrire le produit correspondant (ex. 4×5=20) et interpréter le résultat.
4. Pour une division-partition, reconnaître qu’on répartit une quantité totale en parts égales et calculer par division (ex. 20:4=5).
5. Pour une division-quotition, reconnaître qu’on cherche le nombre de sacs (ou groupes) et calculer par division (ex. 20:5=4).
6. Pour une quatrième proportionnelle, calculer d’abord le facteur entre deux valeurs de la 1re grandeur par division, puis appliquer ce facteur à la 2de par multiplication.
7. Justifier une résolution de quatrième proportionnelle par la propriété multiplicative de linéarité : “n fois plus/moins” sur une grandeur puis même facteur sur l’autre.
8. Résoudre une quatrième proportionnelle par passage par l’unité : calculer la valeur pour 1 unité puis multiplier par le nombre demandé.
9. Résoudre une quatrième proportionnelle par propriété additive de linéarité : repérer une relation additive sur la 1re grandeur (ex. 3+7=10) puis l’appliquer à la 2de.
10. Distinguer coefficient de proportionnalité (avec unité, b/a) et propriété multiplicative de linéarité (sans unité) et choisir la méthode associée.
11. En CM2/au cycle 4, connaître des procédures possibles pour la quatrième proportionnelle : produit en croix, rapports égaux, règle de trois, représentations graphiques, fonctions linéaires.
12. Utiliser la validation par le milieu et repérer les erreurs additives en agrandissement (agrandir ≠ ajouter la même longueur partout) via le puzzle et les vases cylindrique/cône.