Le sens de variation de la fonction
Explication
Le signe de la dérivée première indique si la fonction est croissante ou décroissante sur l’intervalle étudié. La concavité dépend au contraire de la dérivée seconde.
On regarde la dérivée seconde pour distinguer maximum et minimum
Explication
Un point où la dérivée première est nulle est un candidat à l’extrémum, puis la dérivée seconde permet de trancher : négative pour un maximum, positive pour un minimum.
Le taux marginal de substitution est égal au rapport des prix
Explication
À l’optimum, la tangence entre courbe d’indifférence et droite de budget impose l’égalité entre le TMS et le rapport des prix. C’est la condition d’équilibre du consommateur.
L’utilité plus un multiplicateur fois l’écart au budget
Explication
Le lagrangien s’écrit comme la fonction à maximiser plus un multiplicateur de Lagrange fois la contrainte réécrite. Cela permet d’obtenir les conditions du premier ordre sur les choix optimaux.
L’équation admet deux solutions réelles distinctes
Explication
Pour une équation du second degré, un discriminant positif implique deux racines réelles distinctes. Un discriminant nul donne une racine double, et un discriminant négatif aucune solution réelle.
La dérivée de la primitive redonne la fonction intégrée
Explication
Une primitive F d’une fonction f vérifie F' = f, et l’intégrale définie se calcule par F(b) - F(a). Cela relie directement dérivation et intégration.
L’agrégation des utilités individuelles en un indicateur unique
Explication
Une fonction de bien-être social combine les utilités individuelles pour comparer des répartitions alternatives. Elle sert à évaluer laquelle est la plus favorable socialement.
L’égalité des revenus entre les deux personnes
Explication
Quand la somme des revenus est contrainte et qu’il n’y a pas de coût de redistribution, la meilleure répartition atteignable est l’égalité des revenus. Le bien-être social est alors maximisé au point symétrique.
Le compromis optimal entre les deux biens en maintenant l’utilité constante
Explication
Le TMS mesure combien d’unités d’un bien le consommateur est prêt à céder pour obtenir une unité de l’autre tout en gardant la même utilité. Il décrit donc le compromis de substitution.
Le TMS est égal au rapport des prix
Explication
À l’optimum, la courbe d’indifférence est tangente à la droite de budget, ce qui impose TMS = p1/p2. Les courbes d’indifférence ne se coupent pas dans ce cadre.
La variation de la demande due au changement des prix relatifs, à pouvoir d’achat constant
Explication
L’effet de substitution isole l’effet du changement des prix relatifs en compensant le consommateur pour maintenir son pouvoir d’achat. L’effet de revenu, lui, concerne la variation liée au changement de pouvoir d’achat réel.
L’effet de substitution pousse vers le bien devenu relativement moins cher, tandis que l’effet de revenu modifie le pouvoir d’achat
Explication
Une hausse de prix modifie à la fois les prix relatifs et le pouvoir d’achat réel. La substitution pousse vers le bien relativement moins cher, tandis que l’effet de revenu traduit l’appauvrissement ou l’enrichissement réel.
Le consommateur préfère les paniers mixtes aux paniers extrêmes
Explication
La convexité des préférences signifie que les combinaisons intermédiaires sont préférées aux extrêmes. C’est une propriété qui traduit l’attrait pour le compromis.
Le TMS diminue quand on augmente le bien 1 et qu’on réduit le bien 2
Explication
Avec des préférences convexes, on observe un TMS décroissant le long de la courbe d’indifférence. Cela signifie qu’on accepte de moins en moins de bien 2 pour obtenir une unité supplémentaire de bien 1.
L’égalité des revenus entre les deux personnes
Explication
Quand la somme des revenus est fixée et que la redistribution est sans coût, le maximum de bien-être social est atteint à l’égalité des revenus. Le point initial importe peu tant que la contrainte globale reste la même.
Agrèger les utilités individuelles en un indicateur unique pour comparer des répartitions
Explication
La fonction de bien-être social combine les utilités individuelles en une seule grandeur permettant de comparer des allocations. Elle sert donc à évaluer différentes répartitions à l’aide d’un critère collectif.
L’égalité entre le TMS et le rapport des prix
Explication
À l’optimum, la pente de la courbe d’indifférence doit égaler celle de la droite de budget en valeur absolue, ce qui donne TMS = p1/p2. C’est la condition de compromis optimal entre les biens.
Faire apparaître la contrainte dans une fonction unique afin d’écrire les conditions d’optimalité
Explication
Le lagrangien combine la fonction objectif et la contrainte dans une seule expression, ce qui permet d’écrire les conditions du premier ordre. Il rend le problème de maximisation tractable sans supprimer la contrainte.
Chaque individu fait face à un prix personnalisé reflétant sa contribution au bien collectif
Explication
L’équilibre de Lindahl repose sur des prix personnalisés, de sorte que chacun paie une part correspondant à sa contribution au bien collectif. Cette allocation est associée à un optimum de Pareto.
Parce que certains individus sous-contribuent en espérant bénéficier du bien sans payer leur part
Explication
Le passager clandestin profite du bien collectif sans contribuer à hauteur de son bénéfice, ce qui conduit à une sous-production par rapport à l’optimum social. C’est précisément l’une des difficultés de la coordination collective.
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Fonction croissante — définition ?
Dérivée positive ou nulle sur l’intervalle.
Fonction convexe — définition ?
Dérivée seconde positive ou nulle sur l’intervalle.
Extremum — rôle ?
Point où la fonction atteint un maximum ou minimum.
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