Fiche de révision : Introduction aux méthodes statistiques et analytiques

📋 Plan du Cours

1. Corrélation linéaire de Pearson
2. Régression linéaire simple
3. Corrélation des rangs de Spearman
4. Dépendance entre variables qualitatives
5. Variable qualitative et variable quantitative
6. Séries chronologiques
7. Trend et moyennes mobiles
8. Variations saisonnières
9. Indices simples et budgétaires
10. Indices synthétiques

📖 1. Corrélation linéaire de Pearson

🔑 Notions clés & Définitions

• Covariance : La covariance mesure dans quelle direction et avec quelle intensité deux variables quantitatives $X$ et $Y$ varient ensemble.
• Coefficient de corrélation de Pearson : Le coefficient de corrélation linéaire de Pearson $r$ quantifie l’intensité et le sens de la liaison linéaire entre deux variables quantitatives via la covariance et les écarts-types.

📝 Points essentiels

• Le coefficient de corrélation de Pearson s’écrit $r_{X,Y}=\dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$ et $r_{X,Y}=r_{Y,X}$.
• On a toujours $-1\le r_{X,Y}\le 1$ et $r_{X,X}=1$.
• Si $r$ est proche de $0$, il n’y a pas de corrélation linéaire ; si $r$ est proche de $1$, la corrélation linéaire est positive ; si $r$ est proche de $-1$, elle est négative.
• Avant toute interprétation, on teste la significativité de $r$ au seuil de 5% en vérifiant une condition liant $r$ et la taille $n$ de l’échantillon, avec une règle du type $r^2>\dfrac{2,6}{n-1}$.
• Dans l’exemple revenu–consommation (10 ménages), on obtient $r\approx 0,92$ et la liaison linéaire est jugée forte et statistiquement significative.

📖 2. Régression linéaire simple

🔑 Notions clés & Définitions

• Régression linéaire simple : La régression linéaire simple est un modèle qui décrit une relation approximativement en ligne droite entre une variable expliquée Y et une variable explicative X.
• Résidu : Le résidu est la différence entre la valeur observée de Y et la valeur ajustée Y\hat{} donnée par le modèle $\hat{y}=aX+b$ pour un même individu.
• Méthode des moindres carrés ordinaires MCO : La méthode MCO choisit les paramètres $a$ et $b$ pour minimiser la somme des carrés des erreurs, afin d’obtenir la meilleure droite d’ajustement.
• Méthode de Mayer : La méthode de Mayer estime la droite de régression en découpant les données en deux groupes, puis en traçant la droite passant par les deux points moyens.

📝 Points essentiels

• Dans le modèle de régression linéaire simple, on écrit $y_i=a x_i+b+\varepsilon_i$, où $\varepsilon_i$ représente le terme d’erreur pour l’individu $i$.
• Le paramètre $a$ correspond à la variation moyenne de $Y$ quand $X$ augmente d’une unité, c’est donc la pente de la droite.
• Le paramètre $b$ est la valeur de $Y$ quand $X=0$, c’est l’ordonnée à l’origine.
• Avec la méthode de Mayer, on ordonne par $X$, on forme deux groupes égaux, on calcule deux points moyens $P_1(x̄_1,ȳ_1)$ et $P_2(x̄_2,ȳ_2)$, puis on prend la droite $a=\frac{ȳ_2-ȳ_1}{x̄_2-x̄_1}$ et $b=ȳ_1-a x̄_1$.
• La méthode MCO minimise $S=\sum_{i=1}^n( y_i-\hat{y_i})^2$ en rendant nulles les dérivées partielles de $S$ par rapport à $a$ et $b$, ce qui mène au système d’équations normales.
• Les paramètres $a$ et $b$ se déduisent du système d’équations normales, donnant notamment $a=\frac{XY-X\bar{Y}}{X^2-(\bar{X})^2}$ (forme équivalente à partir des sommes) et $b=\bar{Y}-a\bar{X}$.

💡 Astuce mémo

Mayer = « 2 groupes → 2 moyennes → 1 droite » ; MCO = « minimiser les carrés des erreurs ».

📖 3. Corrélation des rangs de Spearman

🔑 Notions clés & Définitions

• Rang d’une observation : Un rang est la position d’une valeur après ordonnancement des observations, dans l’ordre décroissant, notée rg(xi).
• Coefficient de Spearman : Le coefficient ρ de Spearman mesure l’intensité d’une relation monotone en calculant la corrélation entre les rangs de X et de Y.

📝 Points essentiels

• Le coefficient de Spearman ρ est défini par ρ=1−(6∑di^2)/(n(n^2−1)) avec di=rg(xi)−rg(yi).
• Lorsque le calcul doit tenir compte d’ex-aequo, on utilise ρ=(n∑di^2−∑Tx−∑Ty)/(n(n^2−1)) avec des termes de répétition Tx et Ty.
• Spearman est la corrélation de Pearson appliquée aux rangs des deux variables, et donc cible les relations monotones plutôt que la seule linéarité.
• Exemple fourni : pour le tableau Xi=30,31,...,38 et Yi=50,55,...,150, on obtient ρ=0,94.
• Exemple fourni : pour le tableau avec répétitions (Xi=30 apparaît deux fois, etc.), le calcul corrigé donne ρ≈0,5091.

💡 Astuce mémo

Spearman = Pearson sur les classements : ρ = 1 − (6×désaccords de rangs)/(n×(n²−1)).

📖 4. Dépendance entre variables qualitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Test du khi deux : Le test du khi-deux mesure si les écarts entre effectifs observés et effectifs théoriques sont suffisamment grands pour conclure à une relation entre deux variables qualitatives.
• Effectif théorique : Un effectif théorique est l’effectif attendu d’une cellule du tableau si les deux variables étaient indépendantes.
• Tableau de contingence : Le tableau de contingence croise les modalités de deux variables qualitatives et donne les effectifs observés $n_{ij}$ dans chaque cellule.
• Coefficient de contingence : Le coefficient de contingence $C$ quantifie l’intensité d’une relation entre deux variables qualitatives à partir des valeurs du khi-deux.

📝 Points essentiels

• L’indépendance entre deux variables qualitatives impose l’égalité des effectifs observés et des effectifs théoriques dans chaque cellule du tableau de contingence.
• Le khi-deux se calcule par ^2=\sum\frac{(n_{ij}-n^*_{ij})^2}{n^*_{ij}} puis se compare à la valeur lue dans la table pour conclure à une relation si ^2_{calc} est supérieur.
• Les degrés de liberté du khi-deux valent $ddl=(m_1-1)(m_2-1)$ où $m_1$ et $m_2$ sont les nombres de modalités des deux variables qualitatives.
• Le niveau de risque courant est =5\% (et 1- donne le niveau de confiance) et la décision est basée sur la comparaison à ^2_{table}.
• Le test du khi-deux devient peu interprétable si des effectifs observés sont $<10$ ou des effectifs théoriques sont $<5$, et on emploie alors la correction de Yates.
• Le coefficient de contingence se calcule par $C=\frac{\u0004^2}{\u0004^2+n}$ et permet d’interpréter l’intensité : $C=1$ parfait, $C>0,8$ très forte, $0,5\le C\le0,8$ forte, $0,2\le C\le0,5$ moyenne, $0\le C<0,2$ faible, et $C=0$ nul.

📖 5. Variable qualitative et variable quantitative

🔑 Notions clés & Définitions

• ANOVA à un facteur : L’analyse de variance à un facteur est un test qui compare les moyennes de Y entre K groupes correspondant aux modalités d’une variable qualitative X.
• Variance intra-classe : La variance intra-classe mesure la dispersion moyenne de Y à l’intérieur de chaque groupe, puis moyenne sur les K groupes.
• Variance inter-classe : La variance inter-classe mesure la dispersion des moyennes de Y entre les K groupes à partir de la moyenne globale.
• Statistique de Fisher F : La statistique de Fisher compare la variance expliquée par la séparation en groupes à la variance due au hasard en calculant un ratio de variances.

📝 Points essentiels

• On partitionne l’échantillon en K sous-échantillons, K étant le nombre de modalités de X, puis on calcule pour chaque groupe k : sa taille n_k, sa moyenne Y_k et sa variance V_k.
• On définit la variance intra-classe $V_{intra}=\sum_{k=1}^{K} V_k\,\frac{n_k}{n}$ et la variance inter-classe $V_{inter}=\sum_{k=1}^{K}(Y_k-\bar Y)^2\,\frac{n_k}{n}$ avec $\bar Y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i$.
• On a toujours $V_{inter}=V_{intra}+V$ où $V$ est la variance totale de Y, ce qui relie variances intra, inter et totale.
• La statistique de Fisher s’écrit $F=\frac{V_{inter}}{V_{intra}}=\frac{\left(\frac{1}{K-1}V_{inter}\right)}{\left(\frac{1}{n-K}V_{intra}\right)}$ et suit une loi de Fisher à $K-1$ et $n-K$ degrés de liberté.
• Au seuil de 5%, si $F$ est supérieure à la valeur lue dans la table de Fisher, on conclut que Y dépend de X, sinon on dit que Y et X sont indépendants.

💡 Astuce mémo

Intra = bruit dans les groupes ; inter = écart entre moyennes : grand F = groupes très différents donc dépendance.

📖 6. Séries chronologiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Trend : Le trend est la composante de la série qui décrit l’évolution générale, croissante, décroissante ou stationnaire, au cours du temps.
• Moyenne échelonnée : La moyenne échelonnée est une méthode de calcul de tendances où l’on remplace les valeurs par des moyennes arithmétiques glissantes de taille $m$.
• Moyenne mobile : La moyenne mobile d’ordre $p$ est la moyenne arithmétique de $p$ valeurs consécutives, utilisée pour amortir mouvements cycliques, saisonniers et accidentels.
• Variations saisonnières : Les variations saisonnières sont des fluctuations périodiques de court terme qui se répètent selon une période (hebdomadaire, mensuelle, trimestrielle, semestrielle).
• Coefficients saisonniers : Les coefficients saisonniers mesurent l’effet de la saison à chaque position de la période, afin de construire une série corrigée des variations saisonnières.

📝 Points essentiels

• La moyenne échelonnée avec taille $m$ consiste à calculer les moyennes arithmétiques de $2$ à $2$, puis de $3$ à $3$, etc., pour estimer une tendance.
• La moyenne mobile d’ordre $p$ à la date $t$ est calculée sur $p$ valeurs consécutives, avec une formule qui utilise une pondération de $0{,}5$ lorsque $p$ est pair.
• L’ordre de la moyenne mobile doit être égal à la période de la série chronologique (mensuelle $ightarrow 12$, trimestrielle $ightarrow 4$) pour estimer le trend.
• La méthode des moyennes mobiles réduit la taille de l’échantillon de $m$ observations avec $m=p$ si $p$ est pair et $m=p-1$ si $p$ est impair.
• Dans le modèle multiplicatif, la série est $X_t=T_tS_t$ et l’on vise une moyenne des coefficients saisonniers égale à $1$ (au lieu de $0$ dans le modèle additif).
• La série CVS s’obtient en corrigeant chaque observation par ses coefficients saisonniers : soustraction en modèle additif et division en modèle multiplicatif.

💡 Astuce mémo

Moyenne mobile = période : si la saison est mensuelle, $p=12$ ; si trimestrielle, $p=4$.

📖 7. Trend et moyennes mobiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyennes mobiles : Les moyennes mobiles sont des valeurs p calculées en faisant glisser une moyenne sur la série, afin de lisser les variations et estimer des composantes comme le trend ou la saisonnalité.
• Série brute : La série brute correspond aux valeurs observées telles qu’elles sont avant correction des mouvements (tendance et variations saisonnières).
• Modèle multiplicatif : Le modèle multiplicatif décompose la série en un produit du trend et d’un facteur saisonnier S, ce qui rend les variations proportionnelles au niveau.
• Modèle additif : Le modèle additif décompose la série en une somme du trend et d’une composante saisonnière S, ce qui rend les variations indépendantes du niveau.

📝 Points essentiels

• On retient p valeurs de moyennes mobiles, où p est l’ordre choisi, pour calculer les coefficients saisonniers S en moyennant mois par mois sur l’ensemble des n années.
• Dans le modèle multiplicatif, la moyenne des coefficients saisonniers doit être égale à 1, et dans le modèle additif elle doit être égale à 0.
• Si les arrondis font légèrement dévier la somme ou la moyenne, on corrige les coefficients saisonniers en calculant un coefficient correcteur lié à la moyenne sur l’année puis en ajustant S en S'.
• La série désaisonnalisée CVS s’obtient en divisant la série brute par S' dans le modèle multiplicatif, et en soustrayant S' dans le modèle additif.
• Les données corrigées (CVS) sont obtenues pour travailler ensuite avec une série moins affectée par le mouvement saisonnier.

💡 Astuce mémo

Fenêtre glissante : p moyennes mobiles → S, puis correction S' → CVS (division si multiplicatif, soustraction si additif).

📖 8. Variations saisonnières

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode des rapports au trend : La méthode des rapports au trend désaisonnalise la série en comparant chaque valeur observée à sa valeur ajustée par la tendance via des rapports.
• Moyennes simples saisonnières : Les moyennes simples saisonnières déterminent les coefficients en faisant la moyenne des valeurs (ou des écarts) correspondant à une même saison, sans pondération.

📝 Points essentiels

• Pour obtenir des variations saisonnières trimestrielles, on calcule d’abord les moyennes mobiles puis on détermine les coefficients saisonniers trimestriels par la méthode des moyennes simples.
• Après calcul de la tendance annuelle (ajustée par les moindres carrés), on peut prévoir des nombres moyens trimestriels pour les années 2007 et 2008.
• La désaisonnalisation par rapports au trend utilise des rapports à la tendance et le cours précise de choisir les coefficients saisonniers avec les médianes.
• Les rapports au trend sont calculés avec précision au centième et les valeurs corrigées des variations saisonnières avec une précision au dixième.

💡 Astuce mémo

Saison = moyenne simple sur la même saison ; Désaisonnaliser = Observé / Trend (et médiane pour stabiliser).

📖 9. Indices simples et budgétaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice de Laspeyres : Un indice simple construit pour comparer l’évolution d’un prix (ou d’une quantité) en gardant les pondérations du panier de l’année de base.
• Indice de Paasche : Un indice simple construit pour comparer l’évolution d’un prix (ou d’une quantité) en utilisant les pondérations du panier de l’année courante.
• Indice de Fisher : Un indice synthétique obtenu à partir de deux indices simples complémentaires, pour mesurer l’évolution d’un prix (ou d’une quantité) entre deux dates.
• Coefficient budgétaire alpha : Une part de budget allouée à un produit qui sert de pondération pour agréger des indices élémentaires de prix et de quantités.

📝 Points essentiels

• Pour l’exercice d’indices des prix et quantités, on demande de calculer Laspeyres en 2011 avec 2009 comme année de base, puis Paasche en 2012 avec la même base.
• Pour l’agrégation budgétaire, les données fournissent les coefficients budgétaires α et les indices élémentaires $I(P)$ et $I(Q)$ afin de construire des indices de type Laspeyres, Paasche et Fisher.
• L’exercice demande aussi l’«indice des valeurs», construit à partir des indices de prix et de quantités et des coefficients budgétaires fournis.
• Dans un exercice de comparaison, il est demandé de calculer des indices de Laspeyres et Paasche (prix et quantités) de 1960 à 1980, puis d’indiquer lequel est le plus utilisé et pourquoi.

📖 10. Indices synthétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice des valeurs : Un indice synthétique reliant l’évolution des dépenses (valeurs) à partir des indices de prix et de quantités et des pondérations budgétaires.
• Coefficients budgétaires : Des parts de budget (notées souvent α) utilisées comme pondérations pour agréger les indices élémentaires des prix et des quantités.
• Indices élémentaires des prix : Des ratios notés $I(P)$ reliant le prix d’un produit à l’année courante et à l’année de base.

📝 Points essentiels

• Pour calculer des indices synthétiques, le tableau donne les coefficients budgétaires α et les indices élémentaires de prix $I(P)$ et de quantités $I(Q)$ pour agréger les produits.
• Avec l’année de base choisie (ex. 2010 ou 2009), on calcule l’indice de Laspeyres et l’indice de Paasche à partir des informations du tableau des produits.
• Dans les exercices, l’indice synthétique de Fisher est demandé en complément de Laspeyres et Paasche.
• Les indices synthétiques sont appliqués à des comparaisons de prix (ex. indice de prix en 2011) et de quantités (ex. indices de quantité en 2012) via les données par produit.
• Quand l’exercice demande « indice des valeurs », il impose de produire aussi cet indice en utilisant les mêmes données de prix, quantités et pondérations.

📊 Tableaux de synthèse

Corrélation et détection de dépendance selon le type de variables

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre corrélation linéaire (Pearson) et corrélation monotone (Spearman) : Spearman utilise des rangs, pas les valeurs brutes.
2. Interpréter r sans test de validité : le cours impose une condition du type r^2>2,6/(n-1) au seuil 5%.
3. Prendre Y comme variable explicative dans la régression : dans le cours, on écrit Y expliquée par X (écritures aX+b), ce qui change a,b.
4. Oublier le rôle des ex-aequo dans Spearman : sans correction Tx,Ty on se trompe (formule simple vs formule corrigée).
5. Faire un khi-deux sans vérifier les effectifs : si observés <10 ou théoriques <5, l’interprétation devient peu fiable (correction de Yates mentionnée).
6. Se tromper de modèle de séries chronologiques : additif (CVS = X−S’) vs multiplicatif (CVS = X/S’) et moyenne des coefficients saisonniers (0 vs 1).
7. Mélanger Laspeyres et Paasche : Laspeyres est moyenne “avec base” (coefficients de base), Paasche utilise les coefficients de l’année courante (et moyenne harmonique).

✅ Checklist Examen

1. Given deux variables quantitatives, dessiner le nuage de points et justifier l’usage de Pearson ou Spearman selon la forme attendue (linéaire vs monotone).
2. Calculer r de Pearson via Cov(X,Y)/(σXσY), vérifier -1≤r≤1, puis tester sa significativité au seuil 5% avec la règle r^2>2,6/(n-1).
3. Écrire le modèle de régression linéaire simple yi=a xi+b+εi, interpréter a comme variation moyenne de Y pour +1 en X et b comme valeur de Y quand X=0.
4. Construire la droite de régression par méthode analytique MCO (système d’équations normales) et en donner l’équation ŷ=aX+b.
5. Déterminer Spearman : calculer les rangs rg(xi), former di=rg(xi)−rg(yi), utiliser la formule avec correction Tx,Ty si ex-aequo.
6. Pour deux variables qualitatives, construire un tableau de contingence, calculer les effectifs théoriques, le khi-deux, les ddl=(m1−1)(m2−1), puis conclure par comparaison à la valeur lue.
7. Pour une qualitative et une quantitative, faire l’ANOVA à un facteur : calculer variances intra/inter, F=Vinter/Vintra, ddl=K−1 et n−K, puis conclure au seuil 5%.
8. Définir les composantes d’une série chronologique (trend/season/cyclique/résiduel) et distinguer modèle additif vs multiplicatif (forme des variations).
9. Déterminer le trend par régression (Tt=at+b) ou par moyennes mobiles / moyennes échelonnées, et rappeler l’ordre de la moyenne mobile égal à la période (mensuelle 12, trimestrielle 4).
10. Déterminer les variations saisonnières : rapports/différence au trend (coefficients saisonniers) ou méthode des moyennes mobiles, puis calculer la série CVS (division en multiplicatif, soustraction en additif).
11. Calculer les indices simples (I= (Xt/X0)*100), relier indice et taux de variation, puis calculer les coefficients budgétaires α et composer indices synthétiques Laspeyres, Paasche, Fisher et l’indice des valeurs.