Fiche de révision : Introduction aux systèmes et signaux en traitement d'images

📋 Plan du Cours

1. Dimensionnalité et séparabilité des signaux
2. Impulsions, peigne et fenêtre rectangulaire
3. Fonctions sinc et signaux périodiques
4. Systèmes linéaires et fonction d’étalement
5. Invariance par translation et convolution
6. Connexions de systèmes et stabilité
7. Transformée de Fourier et spectres
8. Fonction de transfert et transformée de Hankel

📖 1. Dimensionnalité et séparabilité des signaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Signal 1D : Un signal 1D est une fonction d’une seule variable, notée $f(t)$, décrite par un graphe d’une grandeur en fonction du temps.
• Signal 2D : Un signal 2D est une fonction de deux variables, notée $f(x,y)$, interprétée comme une image (ou un graphe en 3D).
• Signal 3D : Un signal 3D est une fonction de trois variables, notée $f(x,y,z)$, interprétée comme un volume (ou un graphe en 4D).
• Signal séparable : Un signal $f(x,y)$ est séparable s’il s’écrit comme un produit de deux signaux 1D, avec $f(x,y)=f_1(x)f_2(y)$.

📝 Points essentiels

• Une image 2D correspond à $f(x,y)$ et un volume 3D à $f(x,y,z)$, avec l’idée de collection de points sur un graphe d’ordre supérieur.
• La séparabilité signifie que les variations indépendantes en $x$ et en $y$ peuvent être modélisées séparément par deux signaux 1D.
• La séparabilité permet de réduire des opérations 2D à une cascade d’opérations 1D successives.

💡 Astuce mémo

Séparable = produit de deux “1D” : $f(x,y)=f_1(x)f_2(y)$.

📖 2. Impulsions, peigne et fenêtre rectangulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Impulsion ponctuelle : L’impulsion ponctuelle est modélisée par la fonction delta de Dirac et “échantillonne” la valeur du signal au point choisi.
• Impulsion de point décalée : Une delta translatée $\delta(x-\xi)$ agit comme une sélection à l’abscisse $x=\xi$ dans la relation d’échantillonnage.
• Impulsion de ligne : Une impulsion de ligne est une delta “le long d’une droite” $\delta_\ell(x,y)$, paramétrée par un angle $\theta$ et une distance $\ell$.
• Fonction peigne : Une fonction peigne est un réseau infini (ou une somme) d’impulsions ponctuelles disposées sur une grille de pas $(\Delta x,\Delta y)$.
• Fenêtre rectangulaire : Une fonction rectangulaire décrit une sélection finie d’un intervalle, adaptée ici à une fenêtre autour d’un point $(\xi,\eta)$ en 2D.

📝 Points essentiels

• En 1D, l’impulsion ponctuelle sert à “prendre la valeur” de $f(x)$ au point $x=\xi$ via l’intégrale $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\delta(x-\xi)\,dx=f(\xi)$.
• En 2D, le comportement de décalage de la PSF/impulsion est équivalent à la version 1D, avec sélection à $(\xi,\eta)$.
• Une impulsion de ligne peut s’écrire comme $\delta_\ell(x,y)=\delta\big(x\cos\theta+y\sin\theta-\ell\big)$.
• Le peigne de sampling est défini comme une suite d’impulsions placées en $(m\Delta x,n\Delta y)$ pour tous les entiers $m,n$.
• La fenêtre rectangulaire permet de sélectionner une portion finie (fenêtre) de $f(x,y)$ autour de $(\xi,\eta)$.

💡 Astuce mémo

Delta = sélection, peigne = sélection répétée en grille, rect = sélection finie.

📖 3. Fonctions sinc et signaux périodiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction sinc : La fonction sinc est une forme associée à des filtrages/fenêtrages où les oscillations et zéros contrôlent la sélection fréquentielle (présentée ici en 1D et 2D).
• Sinc séparable : La sinc en 2D se décompose en produits de sinc 1D, ce qui permet de traiter séparément $x$ et $y$.
• Signal périodique : Un signal est périodique s’il existe des périodes positives $X$ et $Y$ telles que le signal se répète selon les variables considérées.
• Fréquences fondamentales : Les constantes $u_0$ et $v_0$ sont les fréquences fondamentales associées à un signal périodique sinusoïdal en $x$ et $y$.

📝 Points essentiels

• Un signal $f(x,y)$ est périodique s’il existe des constantes positives $X$ et $Y$ telles que la structure se répète (cas présenté avec exemples sinusoïdaux et exponentielles complexes).
• Les signaux sinusoïdaux suivent une forme du type $\sin\big(2\pi u_0 x+2\pi v_0 y\big)$, et sont reliés à des exponentielles complexes $e^{\pm i2\pi(u_0x+v_0y)}$.
• La partie réelle et l’imaginaire des exponentielles complexes donnent respectivement des cosinus et sinus via la décomposition en fonctions trigonométriques.
• Les fréquences fondamentales d’un signal périodique sinusoïdal sont $u_0$ et $v_0$.

💡 Astuce mémo

Périodique sinusoïdal : $u_0$ pour $x$ et $v_0$ pour $y$ via $u_0x+v_0y$.

📖 4. Systèmes linéaires et fonction d’étalement

🔑 Notions clés & Définitions

• Système continu : Un système continu transforme un signal d’entrée continu $f(x,y)$ en un signal de sortie continu $g(x,y)$.
• Système linéaire : Un système est linéaire si la transformation respecte la superposition (la réponse à une combinaison d’entrées est la combinaison des réponses).
• Réponse impulsionnelle : La réponse impulsionnelle est la sortie obtenue quand on injecte une impulsion (ici la PSF) dans le système.
• Fonction d’étalement : La fonction d’étalement est la réponse du système à une impulsion ponctuelle et correspond à la PSF (ou impulse response) notée $h(x,y;\xi,\eta)$.

📝 Points essentiels

• La relation entrée-sortie d’un système continu est écrite sous la forme $g(x,y)=\mathcal{S}[f(x,y)]$.
• Une atténuation linéaire $\mu(x,y)$ (rayons X) peut jouer le rôle d’entrée, tandis que l’image $g(x,y)$ (sortie) est obtenue après transformation du système.
• La linéarité permet d’utiliser une superposition (intégrale de superposition) pour construire la sortie à partir d’impulsions élémentaires.
• La PSF est définie comme la sortie lorsque l’entrée vaut $\delta(x-\xi,y-\eta)$ et se note $h(x,y;\xi,\eta)$.
• Dans l’énoncé, la PSF dépend en général de 4 variables indépendantes $(x,y;\xi,\eta)$.

💡 Astuce mémo

PSF = “sortie de la delta” : $h(x,y;\xi,\eta)=\mathcal{S}[\delta(x-\xi,y-\eta)]$.

📖 5. Invariance par translation et convolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Invariance par translation : Un système est invariant par translation si une translation de l’entrée entraîne une translation identique de la sortie.
• Système linéaire invariant (LSI) : Un système LSI est à la fois linéaire et invariant par translation, ce qui simplifie la relation entrée-sortie via une convolution.
• Intégrale de convolution : L’intégrale de convolution exprime la sortie d’un système LSI comme une somme pondérée de l’entrée par la PSF $h$.
• Équation de convolution : L’équation de convolution est l’écriture abrégée de la relation LSI où la superposition devient une convolution.

📝 Points essentiels

• L’invariance par translation impose que pour toute translation $(x_0,y_0)$, la réponse se translate de la même façon en sortie.
• Dans un système LSI, la PSF devient la même partout dans le champ de vue et s’exprime sous forme plus “homogène”.
• Pour un système LSI, l’équation entrée-sortie se simplifie en intégrale de convolution plutôt qu’en superposition intégrale à 4 variables.
• Le système LSI relie explicitement la PSF à l’opération de convolution à travers $g=h*f$.

💡 Astuce mémo

LSI = linéaire + translation ⇒ superposition → convolution.

📖 6. Connexions de systèmes et stabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Connexion en cascade : Une connexion en cascade relie deux systèmes linéaires invariants en appliquant d’abord le premier puis le second.
• Connexion en parallèle : Une connexion en parallèle combine les sorties de plusieurs systèmes appliqués à la même entrée.
• Stabilité BIBO : La stabilité BIBO signifie que toute entrée bornée produit une sortie bornée.
• PSF absolument intégrable : Condition de stabilité BIBO pour un système LSI, où la PSF doit être absolument intégrable.

📝 Points essentiels

• La cascade/connexion en série consiste à faire suivre un système par un autre avant d’obtenir la sortie finale.
• La connexion en parallèle consiste à appliquer plusieurs systèmes à la même entrée et à combiner leurs contributions au niveau de la sortie.
• Les propriétés d’algèbre mentionnées pour ces connexions incluent associativité, commutativité et distributivité.
• La stabilité BIBO demande que toute entrée bornée conduise à une sortie bornée, formulée via un critère sur la PSF en LSI.
• Un système LSI est BIBO stable si et seulement si sa PSF est absolument intégrable.

💡 Astuce mémo

BIBO stable ⇔ PSF absolument intégrable.

📖 7. Transformée de Fourier et spectres

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformée de Fourier 2D : La transformée de Fourier 2D passe d’un signal spatial $f(x,y)$ à son spectre fréquentiel $F(u,v)$.
• Spectre de magnitude : Le spectre de magnitude est donné par $|F(u,v)|$ et décrit l’amplitude des composantes fréquentielles.
• Spectre de phase : Le spectre de phase correspond à la partie angulaire de $F(u,v)$ et code l’information de décalage/alignement fréquentiel.
• Puissance spectrale : La puissance spectrale est représentée par $|F(u,v)|^2$ dans la présentation du cours.

📝 Points essentiels

• Si $f(x,y)$ est continue (ou a un nombre fini de discontinuités) et absolument intégrable, la transformée de Fourier permet une alternative à la convolution.
• $F(u,v)$ est le spectre fréquentiel de $f(x,y)$ et l’énoncé relie sa valeur à $|F(u,v)|$ et à la phase.
• Les signaux à variations lentes se concentrent vers les basses fréquences, tandis que les signaux à variations rapides se concentrent vers les hautes fréquences.
• La puissance spectrale est $|F(u,v)|^2$ et sert de densité de force fréquentielle dans l’analyse présentée.
• Une corrélation illustrée pour l’imagerie IRM met en relation $\log(1+|F(u,v)|)$ avec l’apparence spectrale (échelle utilisée sur la figure).

💡 Astuce mémo

Fréquences lentes → basses ; variations rapides → hautes.

📖 8. Fonction de transfert et transformée de Hankel

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert : La fonction de transfert $H(u,v)$ décrit la réponse en fréquence d’un système LSI aux exponentielles complexes.
• OTF (Optical Transfer Function) : L’OTF est le nom donné à $H(u,v)$ dans ce cours, interprétée comme réponse fréquentielle du système.
• Transformée de Hankel : La transformée de Hankel relie une fonction circulairement symétrique $f(r)$ à sa représentation fréquentielle $F(q)$ via une relation en fonctions de Bessel.
• Fonction de Bessel $J_0$ : La relation de Hankel en ordre 0 fait intervenir la fonction de Bessel de première espèce $J_0$.

📝 Points essentiels

• Pour un système LSI, la réponse à $e^{i2\pi(ux+vy)}$ donne une multiplication en fréquence et définit la fonction de transfert $H(u,v)$.
• La convolution dans l’espace se transforme en une multiplication dans le domaine fréquentiel : $G(u,v)=H(u,v)F(u,v)$.
• La PSF $h(x,y)$ et $H(u,v)$ sont reliées par transformée de Fourier dans le cadre présenté (OTF déterminée par la PSF et réciproquement).
• Pour les fonctions circulairement symétriques, $f(x,y)=f(r)$ avec $r=\sqrt{x^2+y^2}$ donne $F(u,v)=F(q)$ avec $q=\sqrt{u^2+v^2}$.
• La transformée de Hankel d’ordre 0 est donnée sous la forme $F(q)=2\pi\int_0^\infty f(r)\,J_0(2\pi q r)\,r\,dr$ et l’inverse utilise la même structure.

💡 Astuce mémo

Hankel = Fourier 2D réduit (symétrie circulaire) : ordre 0 avec $J_0$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre dimension et séparabilité : un signal peut être 2D sans être séparable en produit $f_1(x)f_2(y)$.
2. Penser qu’un pic de fréquence implique une sinc en espace : la sinc est présentée, mais la relation exacte “sinc ↔ rectangle ↔ fréquence” n’est pas détaillée ici.
3. Mélanger impulsion ponctuelle et impulsion de ligne : la première utilise $\delta(x-\xi)$, la seconde suit une droite via $\delta(x\cos\theta+y\sin\theta-\ell)$.
4. Croire que la PSF dépend toujours de 4 variables : pour un système LSI, la présentation indique que la PSF devient homogène dans le champ de vue.
5. Utiliser la convolution pour un système non invariant par translation : la simplification “superposition → convolution” est réservée au cadre LSI.
6. Interpréter $|F(u,v)|$ comme une phase : $|F|$ donne la magnitude, tandis que la phase correspond à l’argument de $F$.
7. Oublier que la stabilité BIBO concerne borné entrée → borné sortie et pas seulement une propriété de continuité de $f$.

✅ Checklist Examen

1. Distinguer et nommer les représentations 1D, 2D et 3D des signaux $f(t)$, $f(x,y)$ et $f(x,y,z)$.
2. Donner la condition de séparabilité d’un signal 2D : $f(x,y)=f_1(x)f_2(y)$.
3. Écrire l’idée d’échantillonnage de la delta de Dirac en 1D : $\delta(x-\xi)$ sélectionne $f(\xi)$.
4. Donner la forme de l’impulsion de ligne $\delta_\ell(x,y)$ en fonction de $\theta$ et $\ell$.
5. Reconnaître le rôle du peigne de sampling comme série d’impulsions sur $(m\Delta x,n\Delta y)$.
6. Expliquer ce qu’apporte la fenêtre rectangulaire : sélection finie autour de $(\xi,\eta)$.
7. Énoncer la condition de périodicité pour $f(x,y)$ via l’existence de $X$ et $Y$.
8. Relier les périodiques sinusoïdaux à leurs exponentielles complexes et identifier les fréquences fondamentales $u_0$ et $v_0$.
9. Définir un système continu comme $g(x,y)=\mathcal{S}[f(x,y)]$ et préciser la linéarité via la superposition (sans nouveaux détails).
10. Définir la PSF/impulse response comme sortie pour une entrée delta $\delta(x-\xi,y-\eta)$.
11. Donner la signification de l’invariance par translation et déduire que le cadre LSI permet d’utiliser la convolution intégrale.
12. Relier stabilité BIBO à la condition “PSF absolument intégrable” pour les systèmes LSI.
13. Passer de convolution à multiplication via Fourier : $G(u,v)=H(u,v)F(u,v)$.
14. Identifier $H(u,v)$ comme OTF et décrire le cas circulairement symétrique avec Hankel d’ordre 0 utilisant $J_0$.