Quelle condition définit la divisibilité de b par a ?
Il existe un entier k tel qu'a = kb.
Que divise a si a divise b et c ?
a divise toute combinaison linéaire kb + k′c avec k, k′ entiers.
Qu'est-ce que la division euclidienne d'un entier a par b>0 ?
L'écriture unique avec .
Quels sont les restes possibles d'une division euclidienne par b ?
Les entiers de 0 à .
Qu'est-ce que le PGCD de deux entiers naturels non nuls a et b ?
Le plus grand diviseur commun de a et b.
Quelle égalité relie PGCD(a;b) et PGCD(b;r) si a = bq + r avec r non nul ?
PGCD(a;b) = PGCD(b;r).
Quelle opération répète l'algorithme d'Euclide pour trouver le PGCD ?
Des divisions successives en remplaçant dividende et diviseur par les termes précédents.
Quand l'algorithme d'Euclide s'arrête-t-il ?
Lorsqu'on obtient un reste nul.
Quand deux entiers sont-ils premiers entre eux ?
Quand leur PGCD est égal à 1.
Quelle formule relie PGCD(ka,kb) à PGCD(a,b) ?
.
Qu'est-ce que signifie a ≡ b [n] en congruence ?
a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
Que signifie qu'a − b est un multiple de n en congruence ?
Cela équivaut à a ≡ b [n].
Que peut-on dire de a + c si a ≡ b [n] et c ≡ d [n] ?
a + c ≡ b + d [n].
Que peut-on dire de ac si a ≡ b [n] et c ≡ d [n] ?
ac ≡ bd [n].
Que peut-on dire de a^p si a ≡ b [n] ?
a^p ≡ b^p [n] pour tout entier naturel p.
Quelle est la première étape pour calculer une puissance modulo un entier ?
Réduire la base.
Que cherche-t-on après avoir réduit la base dans un calcul de puissance modulo ?
Une puissance périodique congrue à 1.
Quelle opération fait-on sur l'exposant dans le calcul d'une puissance modulo ?
On réduit l'exposant selon la période.
Quelle est la dernière étape du calcul d'une puissance modulo un entier ?
Calculer le reste final.
Qu'est-ce qu'un nombre premier en mathématiques ?
Un entier naturel avec exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Quelle condition doit vérifier un diviseur premier p d'un entier n > 2 non premier ?
Il doit satisfaire 2 ≤ p ≤ √n.
Quelle propriété fondamentale possède l'ensemble des nombres premiers ?
Il existe une infinité de nombres premiers.
Qu'est-ce que le PPCM de deux entiers naturels ?
Le plus petit multiple strictement positif commun.
Comment le PGCD est-il déterminé dans une décomposition en facteurs premiers ?
Par les facteurs communs avec leurs plus petits exposants.
Comment le PPCM est-il déterminé dans une décomposition en facteurs premiers ?
Par tous les facteurs avec leurs plus grands exposants.
Quelle formule relie le produit de deux entiers au PGCD et au PPCM ?
.
Quelle relation existe entre a, b, u, v et leur PGCD d ?
Il existe u et v entiers relatifs tels que .
Quelle condition caractérise deux entiers a et b premiers entre eux ?
Il existe u et v entiers relatifs tels que .
Quand l'équation admet-elle des solutions entières ?
Si et seulement si c est un multiple de PGCD(a,b).
Quelle condition implique qu'a divise c si a divise bc ?
Si a est premier avec b.
Que signifie qu'un nombre premier p divise ab ?
p divise a ou p divise b.
Qu'est-ce qu'une équation diophantienne linéaire ?
Une équation linéaire à coefficients entiers cherchant des solutions entières.
Quelle condition vérifie-t-on d'abord pour résoudre une équation diophantienne ?
La divisibilité de c par le PGCD de a et b.
Comment exprime-t-on toutes les solutions d'une équation diophantienne après une solution particulière ?
On les paramètre avec un entier k.
Quelle congruence donne le petit théorème de Fermat si p est premier et a non divisible par p ?
Quelle congruence est vraie pour tout entier a et tout nombre premier p ?
Quel entier divise tout entier a ?
L'entier 1 divise tout entier a.
Quel entier divise zéro pour tout entier non nul ?
Tout entier non nul divise zéro.
Pourquoi la somme de trois entiers consécutifs est-elle divisible par 3 ?
Parce que leur somme vaut 3n pour un entier n.
Quel est le quotient de la division euclidienne de 38367 par 251 ?
152.
Quel est le reste de la division euclidienne de 38367 par 251 ?
215.
Comment s'écrit 38367 en fonction de 251, 152 et 215 ?
.
Comment déterminer le reste de dans la division par ?
On écrit .
Quel est le reste de la division euclidienne de par quand ?
4.
Quel est le résultat de PGCD(1636;1128) selon l'algorithme d'Euclide ?
4.
Que permet d'écrire si d = PGCD(a;b) ?
Il existe des entiers k et k′ premiers entre eux tels qu'a = dk et b = dk′.
Pourquoi la congruence modulo n est-elle une relation d'équivalence ?
Parce qu'elle est réflexive, symétrique et transitive.
Quelle congruence utilise-t-on pour 23³ modulo 7 ?
23³ ≡ 1 [7].
Comment calcule-t-on 23¹³⁷ modulo 7 avec 137 = 45 × 3 + 2 ?
On obtient 23¹³⁷ ≡ 4 [7].
Que divise bc si b et c sont premiers entre eux et divisent a ?
bc divise a.
Quelles sont les solutions entières de l'équation 17x − 33y = 1 ?
(x,y) = (33k + 2, 17k + 1) pour k entier.
Que donne le petit théorème de Fermat pour 3 et 7 ?
Qui a formulé le petit théorème de Fermat en 1640 ?
Pierre de Fermat
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1. Quelle condition caractérise le fait qu’un entier divise un entier ?
2. Si un entier divise et , que peut-on conclure pour des entiers relatifs et ?
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