Fiche de révision : Les ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Nombres naturels et relatifs
2. Nombres décimaux et rationnels
3. Nombres irrationnels et réels
4. Nombres algébriques et transcendants
5. Nombres complexes
6. Inclusions et extensions numériques

📖 1. Nombres naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Nombres utilisés pour compter, auxquels appartient également zéro, et l'ensemble des entiers naturels se note N.
• Entiers relatifs : Regroupent les entiers positifs et les entiers négatifs, comme −5, −200 et −14, et leur ensemble se note Z.

💡 Astuce mémo

Naturels : compter ; relatifs : compter aussi en dessous de zéro

📖 2. Nombres décimaux et rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Nombres dont l'écriture décimale s'arrête, comme 1,5, et leur ensemble se note D.
• Nombres rationnels : Nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'un quotient $\frac{a}{b}$, où a et b sont des entiers relatifs et b est non nul, et leur ensemble se note Q.

📝 Points essentiels

• Le quotient $\frac{1}{3}$ est rationnel et possède une écriture décimale infinie périodique : 0,333… .

💡 Astuce mémo

Partage fini → décimal ; partage périodique → rationnel

📖 3. Nombres irrationnels et réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres irrationnels : Nombres réels dont l'écriture décimale est infinie et non périodique, comme √2.
• Nombres réels : Regroupent les nombres rationnels et les nombres irrationnels, et leur ensemble se note R.

📝 Points essentiels

• Le nombre √2 est irrationnel car il est solution de l'équation $x^2=2$ et son écriture décimale commence par 1,4142135… sans s'arrêter ni présenter de période.

💡 Astuce mémo

Rationnel : décimales répétées ; irrationnel : décimales sans répétition

📖 4. Nombres algébriques et transcendants

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres transcendants : Nombres qui ne sont pas algébriques et qui ne sont solutions d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers.

★ À maîtriser

• π est un nombre transcendant car aucune équation polynomiale à coefficients entiers n'a π pour solution.

Compléments

• √2 est un nombre algébrique car il est solution de l'équation polynomiale $x^2=2$.

💡 Astuce mémo

Algébrique : équation polynomiale ; transcendant : aucune

📖 5. Nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres complexes : Nombres de la forme $a+ib$, où a et b sont des nombres réels, et leur ensemble se note C.
• Unité imaginaire : Solution complexe de l'équation $x^2=-1$, qui n'a pas de solution réelle.

📝 Points essentiels

📌 Dans les nombres réels, le carré d'un nombre ne peut pas être négatif, car le produit de deux nombres de même signe est positif.

💡 Astuce mémo

Le nombre i ouvre un axe imaginaire perpendiculaire aux réels

📖 6. Inclusions et extensions numériques

★ À maîtriser

📌 Les ensembles de nombres suivent les inclusions $N\subset Z\subset D\subset Q\subset R\subset C$.

Compléments

• Le nombre 1 appartient simultanément à N, Z, D, Q, R et C, car il peut s'écrire comme 1,0 et comme $\frac{1}{1}$.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

📊 Tableaux de synthèse

Principales familles de nombres