Fiche de révision : Résolution des jeux et équilibre de Nash

📋 Plan du Cours

1. Rationalité et connaissance commune
2. Dominance stricte et stratégies dominantes
3. Dominance faible et enchères
4. Élimination itérative des stratégies
5. Notations et définitions formelles
6. Équilibre de Nash à deux joueurs
7. Jeux de conflit et coordination
8. Applications de l’équilibre de Nash
9. Équilibre de Nash à trois joueurs
10. Lien entre rationalité et équilibre
11. Synthèse des concepts fondamentaux

📖 1. Rationalité et connaissance commune

🔑 Notions clés & Définitions

• Rationalité : Choix d’une stratégie dans son propre intérêt afin de maximiser son gain compte tenu de ses croyances sur les actions des autres joueurs.
• Connaissance commune : La connaissance commune de la rationalité signifie que chaque joueur croit que les autres sont rationnels, que chacun sait cela, et ainsi de suite.

📝 Points essentiels

📌 Un joueur rationnel n’utilise jamais une stratégie strictement dominée par une autre stratégie, quel que soit le comportement des autres joueurs.

💡 Astuce mémo

Rationalité des joueurs → croyance en la rationalité des autres

📖 2. Dominance stricte et stratégies dominantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Dominance stricte : Stratégie dont le paiement est strictement supérieur à celui d’une autre stratégie pour chacune des stratégies des autres joueurs.
• Stratégie dominante : Stratégie qui domine strictement toutes les autres stratégies du joueur.

📝 Points essentiels

• Dans le jeu de Tosca, Poignarder domine strictement Consentir pour Tosca, tandis que Réelles domine strictement À blanc pour Scarpia.

• Dans le jeu des dépenses publicitaires, Dépenser 15 millions est une stratégie dominante pour Lucky Strike et Marlboro lorsque cette dépense est disponible.

💡 Astuce mémo

Dominée = jamais choisie ; dominante = toujours choisie

📖 3. Dominance faible et enchères

🔑 Notions clés & Définitions

• Dominance faible : Une stratégie s domine faiblement une stratégie s′ si son paiement est au moins aussi élevé pour toutes les stratégies des autres joueurs et strictement supérieur pour au moins une d’entre elles.
• Stratégie faiblement dominante : Stratégie qui domine faiblement toutes les autres stratégies du joueur.
• Enchère au premier prix : Système dans lequel le participant qui soumet l’offre la plus élevée remporte la vente et paie un prix égal à son propre montant enchéri.

★ À maîtriser

• Dans le jeu Google Ads au premier prix, Courir possède une stratégie faiblement dominante consistant à offrir 2 dollars, tandis qu’Asos conserve deux stratégies non faiblement dominées : 2 et 3 dollars.

Compléments

• Dans l’exemple Google Ads, Asos valorise l’espace publicitaire à 3 euros par 1000 vues, tandis que Courir le valorise à 2 euros par 1000 vues.

📌 Dans l’enchère au premier prix, une offre égale entre deux annonceurs donne à chacun une probabilité de 50 % de gagner et un paiement égal à 50 % de sa valorisation diminuée de son offre.

💡 Astuce mémo

Dominance stricte : toujours mieux ; dominance faible : jamais moins bien

📖 4. Élimination itérative des stratégies

★ À maîtriser

• La suppression itérative des stratégies strictement dominées consiste à retirer les stratégies strictement dominées, puis à rechercher et supprimer celles qui deviennent strictement dominées dans le sous-jeu obtenu, jusqu’à ce qu’aucune ne puisse être éliminée.

📌 La suppression itérative des stratégies strictement dominées est cohérente avec la rationalité et avec la connaissance commune de la rationalité.

Compléments

• Dans l’exemple de suppression itérative, le jeu initial est réduit au sous-jeu composé des lignes c et d et des colonnes w et z.

💡 Astuce mémo

Éliminer → réduire le jeu → éliminer à nouveau

📖 5. Notations et définitions formelles

📝 Points essentiels

• Dans un jeu à n joueurs, Si désigne l’ensemble des stratégies du joueur i et S−i l’ensemble des profils de stratégies des n−1 autres joueurs.

• Vi(si,s−i) désigne le paiement du joueur i lorsque i choisit si et que les autres joueurs choisissent le profil s−i.

📖 6. Équilibre de Nash à deux joueurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Équilibre de Nash : Profil de stratégies dans lequel la stratégie de chaque joueur maximise son paiement étant donné les stratégies jouées par les autres joueurs.
• Meilleure réponse : Stratégie qui maximise le paiement du joueur étant donné les stratégies des autres joueurs.

📝 Points essentiels

• Dans le jeu de la poule mouillée, les deux équilibres de Nash sont (Ne pas dévier, Dévier) et (Dévier, Ne pas dévier).

📌 Un jeu peut posséder un équilibre de Nash, plusieurs équilibres de Nash ou aucun équilibre de Nash en stratégies pures.

💡 Astuce mémo

Chaque joueur reste sur sa case car aucun ne gagne à changer seul

📖 7. Jeux de conflit et coordination

🔑 Notions clés & Définitions

• Jeu à somme nulle : Jeu dans lequel la somme des paiements est égale à zéro pour chaque profil de stratégies.
• Jeu de conflit pur : Un jeu à somme constante ou à somme nulle est un jeu de conflit pur, car l’amélioration de la situation d’un joueur se fait au détriment des autres joueurs.
• Jeu d’intérêt mutuel : Jeu dans lequel les objectifs des joueurs sont alignés et leurs gains ne sont pas en conflit.

📝 Points essentiels

• Le jeu Pierre-feuille-ciseaux est un jeu à somme nulle et à somme constante, tandis que le jeu de coordination routière est un jeu d’intérêt mutuel.

💡 Astuce mémo

Pierre-feuille-ciseaux : intérêts opposés ; coordination : intérêts alignés

📖 8. Applications de l’équilibre de Nash

★ À maîtriser

• Dans le dilemme du prisonnier, Témoigner est une stratégie strictement dominante pour chaque mafieux et l’unique équilibre de Nash est (Témoigner, Témoigner).

📌 Si tous les joueurs possèdent une stratégie strictement dominante, le jeu possède un unique équilibre de Nash dans lequel chacun joue cette stratégie.

• Dans le jeu Pierre-feuille-ciseaux, aucun profil de stratégies pures n’est un équilibre de Nash.

Compléments

• Dans le jeu de coordination routière, les deux profils (Conduire à gauche, Conduire à gauche) et (Conduire à droite, Conduire à droite) sont des équilibres de Nash.

• Dans le jeu du téléphone, les deux équilibres de Nash correspondent aux profils dans lesquels Angela appelle et Baptiste attend, ou Baptiste appelle et Angela attend.

📖 9. Équilibre de Nash à trois joueurs

★ À maîtriser

• Dans un jeu à trois joueurs, un équilibre de Nash exige que la stratégie de chacun des trois joueurs soit une meilleure réponse aux stratégies des deux autres.

• Pour déterminer un équilibre de Nash à trois joueurs, il faut vérifier, pour chaque profil, si aucun joueur ne peut augmenter son paiement en modifiant seul sa stratégie.

Compléments

• Dans le jeu de la manifestation, les stratégies des trois étudiants portent sur le choix entre leur tee-shirt à slogan et un tee-shirt de friperie.

📖 10. Lien entre rationalité et équilibre

📝 Points essentiels

• Tout équilibre de Nash est cohérent avec la rationalité et avec la connaissance commune de la rationalité.

• La suppression itérative des stratégies strictement dominées élimine les profils incompatibles avec la rationalité commune, tandis que l’équilibre de Nash exige en plus que chaque stratégie restante soit une meilleure réponse aux autres.

• Lorsqu’un joueur possède une stratégie strictement dominante, tout équilibre de Nash doit lui attribuer cette stratégie.

💡 Astuce mémo

Élimination des stratégies dominées → profils cohérents, mais pas forcément équilibres

📖 11. Synthèse des concepts fondamentaux

★ À maîtriser

📌 Une stratégie dominante est optimale contre toutes les stratégies adverses, tandis qu’une meilleure réponse est optimale seulement contre un profil donné des stratégies adverses.

📌 Une stratégie strictement dominée procure toujours un paiement inférieur à une autre stratégie, tandis qu’une stratégie faiblement dominée peut procurer le même paiement dans certains cas.

📐 Formule — Formellement, un profil $s^*=(s_1^*,\ldots,s_n^*)$ est un équilibre de Nash si, pour tout joueur i et toute stratégie si appartenant à Si, $V_i(s_i^*,s_{-i}^*)\geq V_i(s_i,s_{-i}^*)$.

Compléments

📐 Formule — Une stratégie s*i domine strictement si $V_i(s_i^*,s_{-i})>V_i(s_i,s_{-i})$ pour tout profil s−i des autres joueurs.

📊 Tableaux de synthèse

Types de dominance

Types de jeux