Fiche de révision : Ajustement affine à deux variables

📋 Plan du Cours

1. Étude de deux variables quantitatives
2. Nuage de points et point moyen
3. Interpolation et extrapolation
4. Droite de Mayer
5. Régression par moindres carrés
6. Corrélation et détermination
7. Analyse des résidus

📖 1. Étude de deux variables quantitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Étude de deux variables quantitatives : cherche à analyser une relation éventuelle entre elles afin de prévoir une valeur lorsque l’autre est inconnue
• Fonction affine : L’un des liens les plus simples entre deux variables, dont la représentation graphique est une droite

📝 Points essentiels

• Pour le modèle du nombre de clients donné par y = 1370x + 730, l’estimation pour 2025 est de 10 320 clients si la tendance se poursuit.

💡 Astuce mémo

Corrélation entre deux variables → prévision d’une valeur inconnue

📖 2. Nuage de points et point moyen

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Ensemble des points Mᵢ de coordonnées (xᵢ ; yᵢ) associé à une série statistique à deux variables
• Point moyen : Point dont les coordonnées sont (x̄ ; ȳ), où x̄ et ȳ sont les moyennes respectives des xᵢ et des yᵢ

📝 Points essentiels

• Pour les données d’Echerichia coli, le point moyen du nuage est G(12,5 ; 42,5).

• Dans l’exemple de l’eau de baignade, la limite de 100 bactéries est atteinte au bout du 38ᵉ jour.

💡 Astuce mémo

Un nuage de points autour de son point moyen G

📖 3. Interpolation et extrapolation

★ À maîtriser

📌 L’interpolation estime une valeur à l’intérieur du domaine d’étude, tandis que l’extrapolation prévoit une valeur au-delà de ce domaine.

Compléments

• Estimer le nombre d’Echerichia coli au bout de 12 jours constitue une interpolation, tandis que prévoir une valeur à 30 ou 35 jours constitue une extrapolation.

💡 Astuce mémo

Interpolation dans le domaine étudié, extrapolation au-delà

📖 4. Droite de Mayer

★ À maîtriser

• La méthode de Mayer consiste à ordonner les points selon x croissant, séparer la distribution en deux groupes égaux si possible, calculer les points moyens G1 et G2 de ces groupes, puis établir la droite passant par G1 et G2.

📐 Formule — Le coefficient directeur de la droite de Mayer passant par G1 et G2 est $a = \frac{y_{G2}-y_{G1}}{x_{G2}-x_{G1}}$.

Compléments

📐 Formule — L’ordonnée à l’origine b se détermine en remplaçant les coordonnées de G1 ou G2 dans $y = ax+b$.

📌 La droite de Mayer est facile à comprendre et visualiser, mais elle est sensible aux valeurs extrêmes et moins précise que la méthode des moindres carrés.

💡 Astuce mémo

Ordonner → séparer → moyenner → tracer

📖 5. Régression par moindres carrés

★ À maîtriser

• Pour une régression par moindres carrés, on détermine à la calculatrice les coefficients a et b, puis on utilise l’équation de la droite d’ajustement $\hat y = ax+b$ pour estimer une valeur.

Compléments

• Pour la série xᵢ = 6, 11, 14, 21, 25, 32, 35, 40 et yᵢ = 14, 25, 33, 46, 50, 68, 75, 93, la droite d’ajustement est y = 2,2x + 0,2 et l’estimation pour x = 46 est 101,4.

• Dans l’étude de la production de blé, la droite de Mayer obtenue est y = 0,022x + 0,825 et la production estimée pour 175 kg d’engrais est 4,675 tonnes.

📖 6. Corrélation et détermination

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de corrélation linéaire : Le coefficient de corrélation linéaire r entre X et Y vérifie $r = \frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$ et appartient à l’intervalle [-1 ; 1].
• Coefficient de détermination : Carré de r représentant la proportion de la variabilité totale de Y expliquée par l’ajustement affine

★ À maîtriser

📌 Lorsque r² est proche de 1, ou r proche de 1 ou de -1, l’ajustement affine est normalement justifié ; lorsque r² ou r est proche de 0, il ne l’est pas et un changement de variable doit être envisagé.

Compléments

📐 Formule — Le coefficient de détermination vérifie $r^2 = \frac{\operatorname{cov}(X,Y)^2}{\sigma_X^2\sigma_Y^2}$ et appartient à l’intervalle [0 ; 1].

• Un coefficient de détermination égal à 0,9 signifie que 90 % de la variabilité de Y est expliquée par l’ajustement affine.

💡 Astuce mémo

r mesure le lien linéaire, r² mesure la variabilité expliquée

📖 7. Analyse des résidus

🔑 Notions clés & Définitions

• Résidu : Écart entre une valeur observée yᵢ et la valeur estimée ŷᵢ par la droite d’ajustement, selon $e_i = y_i - \hat y_i$

★ À maîtriser

• 🔄 L’analyse des résidus suit trois étapes:
  1. Calculer chaque valeur estimée
  2. Calculer chaque résidu
  3. Représenter les couples (xᵢ ; eᵢ) dans un diagramme

📌 Un modèle affine est validé lorsque le diagramme des résidus ne présente pas de tendance et que les résidus sont convenablement répartis de part et d’autre de l’axe des abscisses.

Compléments

• Des résidus positifs aux extrémités et négatifs au milieu révèlent une tendance et conduisent à rejeter le modèle affine.

💡 Astuce mémo

Résidus sans tendance : modèle acceptable ; résidus avec tendance : modèle rejeté

📊 Tableaux de synthèse

Critères de qualité de l’ajustement