Fiche de révision : Algèbre linéaire et modélisation des données

📋 Plan du Cours

1. Fondements de l’algèbre linéaire
2. Analyse multivariée et réduction dimensionnelle
3. Signaux et représentations fréquentielles
4. Signaux multi-capteurs
5. Imagerie cérébrale et systèmes linéaires
6. Connectivité et modèles de graphes
7. Applications et environnement informatique

📖 1. Fondements de l’algèbre linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Ensemble d’objets appelés vecteurs sur lesquels sont définies l’addition et la multiplication par un nombre appelé scalaire.
• Base : Ensemble d’éléments de cet espace tel que tout autre vecteur peut s’écrire comme une combinaison linéaire de ses vecteurs.

📝 Points essentiels

• Les notions fondamentales annoncées sont:

  • les espaces vectoriels
  • la norme
  • le produit scalaire
  • l’orthogonalité
  • la projection orthogonale
  • la dimension et les bases
  • les liens à la géométrie vectorielle

• L’algèbre linéaire généralise l’addition et la multiplication des nombres à des objets tels que les vecteurs, les matrices et les tenseurs.

💡 Astuce mémo

Addition et multiplication → vecteurs → espaces → bases

📖 2. Analyse multivariée et réduction dimensionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Analyse multivariée : Regroupe des méthodes visant à synthétiser l’information issue de plusieurs variables et les liens entre ces variables.

★ À maîtriser

• Un nuage de points relativement plat présente une variabilité plus faible dans la direction perpendiculaire au plateau et peut être approximé par un plan.

• La décomposition en valeurs singulières détermine les directions pertinentes d’un espace de données et leur attribue une mesure d’importance, ce qui permet de retenir un sous-espace et de réduire la dimension.

Compléments

• Avec 5000 mesures de trois variables, chaque mesure peut être représentée comme un point dans un espace tridimensionnel, formant un nuage de 5000 points.

• Dans un jeu de données EEG comportant 64 capteurs, la décomposition en valeurs singulières permet d’évaluer l’importance des 64 dimensions et de ne conserver que les premières réellement significatives.

💡 Astuce mémo

Directions pertinentes → sous-espace → information synthétisée

📖 3. Signaux et représentations fréquentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Signal numérique : Ensemble de mesures d’une variable dont les valeurs sont naturellement ordonnées, par exemple dans le temps ou sur une échelle d’énergie.
• Représentation de Fourier : Décompose les signaux en sommes de sinusoïdes.

📝 Points essentiels

• Les signaux peuvent représenter:

  • des mesures dépendant du temps
  • des spectres sur une échelle d’énergie
  • des grandeurs liées à la fréquence
  • des grandeurs liées à la longueur d’onde

• Le traitement du signal comprend notamment:

  • l’analyse et l’extraction d’information
  • la transformation
  • la restauration
  • la reconnaissance
  • le codage

💡 Astuce mémo

Signal temporel contre représentation spectrale

📖 4. Signaux multi-capteurs

★ À maîtriser

• Les signaux multi-capteurs enregistrent plusieurs signaux en parallèle, comme les deux canaux d’un enregistrement stéréo ou les dizaines à centaines de capteurs d’un EEG ou d’un MEG.

• La moyenne de 64 signaux EEG peut simplifier les données mais aussi gommer des caractéristiques pertinentes permettant de distinguer deux situations.

📌 L’analyse de signaux multi-capteurs doit résumer l’information contenue dans les données sans la simplifier excessivement et fait appel au traitement du signal ainsi qu’à l’analyse multivariée.

Compléments

• Le système audio 5.1 surround utilise 6 canaux dans le home cinéma.

💡 Astuce mémo

Moyenne simplificatrice contre analyse multivariée

📖 5. Imagerie cérébrale et systèmes linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Problème direct : Décrit la propagation de l’activité cérébrale vers des capteurs extérieurs au moyen d’un système d’équations linéaires.
• Problème inverse : Consiste à reconstruire l’activité cérébrale à partir de mesures extérieures et constitue un problème difficile et largement ouvert.

★ À maîtriser

📌 La reconstruction du problème inverse est très mal déterminée et les algorithmes proposés reposent généralement sur des hypothèses difficiles à vérifier ou à quantifier.

Compléments

• Les dispositifs EEG, MEG et IRM permettent d’imager ou de représenter l’activité cérébrale au moyen de mesures réalisées par des capteurs situés à l’extérieur du crâne, sauf dans les techniques invasives.

💡 Astuce mémo

Problème direct bien résolu contre problème inverse mal déterminé

📖 6. Connectivité et modèles de graphes

🔑 Notions clés & Définitions

• Graphe : Constitué de sommets et d’arêtes, ces dernières connectant certains sommets.

★ À maîtriser

📌 Un signal est structuré par une suite ordonnée de mesures, tandis qu’un graphe est structuré par des relations représentées par des liens entre certaines mesures ou certains sommets.

Compléments

• Les graphes sont utilisés dans de nombreux domaines applicatifs, notamment pour identifier la connectivité cérébrale.

💡 Astuce mémo

Des sommets reliés par des arêtes remplacent l’ordre temporel

📖 7. Applications et environnement informatique

★ À maîtriser

• Les autres thèmes annoncés comprennent:
  • la diagonalisation des matrices carrées
  • la décomposition en valeurs singulières
  • l’optimisation
  • les gradients
  • les formes quadratiques
  • les modèles de données structurées

Compléments

• Les travaux pratiques du cours utilisent le logiciel R dans l’environnement RStudio.

• Les travaux pratiques portent sur des données synthétiques et des données réelles.

• Les études de cas concernent notamment:

  • l’analyse de signaux de parole
  • l’analyse de signaux EEG
  • les interfaces cerveau-machine
  • la neuroimagerie électromagnétique

📊 Tableaux de synthèse

Problèmes direct et inverse