Fiche de révision : Nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Origine des nombres complexes
2. Construction historique de C
3. Forme algébrique et vocabulaire
4. Opérations dans C
5. Égalité et résolution
6. Conjugué d’un complexe

📖 1. Origine des nombres complexes

★ À maîtriser

• L’introduction successive de nouveaux ensembles de nombres répond à l’insuffisance des précédents pour résoudre certaines équations.

• L’équation $x^2+1=0$ n’a pas de solution réelle car elle imposerait $x^2=-1$, ce qui conduit à introduire les nombres complexes.

Compléments

• L’équation $x^2-10x+40=0$ a pour racines $5+\sqrt{-15}$ et $5-\sqrt{-15}$ selon l’écriture historique de Cardan.

💡 Astuce mémo

Équations impossibles dans R → extension vers C

📖 2. Construction historique de C

★ À maîtriser

• Euler introduit en 1777 la lettre i pour désigner le nombre vérifiant $i^2=-1$. — Leonhard Euler

• Au XIX ième siècle, Gauss et Cauchy donnent une représentation mathématique des nombres imaginaires, notamment par les points d’un plan muni d’un repère orthonormal.

📐 Formule — Pour tout entier naturel p, on a $i^{2p}=(-1)^p$ et $i^{2p+1}=(-1)^p$.

Compléments

• Bombelli montre que des nombres imaginaires peuvent intervenir dans le calcul d’une racine réelle, notamment pour l’équation $x^3-15x=4$ dont 4 est une racine réelle.

💡 Astuce mémo

Cardan → Bombelli → Euler → Gauss et Cauchy

📖 3. Forme algébrique et vocabulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : s’écrit de manière unique $z=a+ib$ avec a et b réels, où i vérifie $i^2=-1$

★ À maîtriser

📌 Dans la forme algébrique $z=a+ib$, a est la partie réelle $Re(z)$ et b est la partie imaginaire $Im(z)$.

📌 Un complexe est réel si sa partie imaginaire est nulle et il est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle.

Compléments

📌 Il n’existe pas d’ordre compatible avec les opérations dans C : un complexe non réel n’est ni positif ni négatif.

💡 Astuce mémo

Re(z) est réel, Im(z) est le coefficient de i

📖 4. Opérations dans C

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$, la somme vaut $z+z'=(a+a')+i(b+b')$.

📐 Formule — Pour $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$, le produit vaut $zz'=(aa'-bb')+i(ab'+ba')$.

📐 Formule — Pour tout complexe non nul $z=a+ib$, son inverse est $\frac1z=\frac{a-ib}{a^2+b^2}$.

📌 Pour diviser deux complexes, on multiplie le premier par l’inverse du second : $\frac{z}{z'}=z\times\frac1{z'}$ lorsque $z'\ne0$.

Compléments

📐 Formule — Pour tous complexes $z_1,z_2$ et tout entier naturel n, le binôme de Newton donne $(z_1+z_2)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}z_1^{n-k}z_2^k$.

💡 Astuce mémo

Un calcul complexe se sépare en deux lignes : partie réelle et coefficient de i

📖 5. Égalité et résolution

📝 Points essentiels

📌 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

📌 Pour $z=a+ib$, on a $z=0$ si et seulement si $a=0$ et $b=0$.

💡 Astuce mémo

Deux complexes sont égaux si leurs parties réelles et imaginaires coïncident

📖 6. Conjugué d’un complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : le nombre complexe $z=a-ib$

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $z=a+ib$, on a $z+\overline z=2a$, $z-\overline z=2bi$ et $z\overline z=a^2+b^2$.

📌 Un complexe est réel si et seulement si $\overline z=z$, et il est imaginaire pur si et seulement si $\overline z=-z$.

Compléments

📌 La conjugaison conserve les sommes et les produits : $\overline{z+z'}=\overline z+\overline{z'}$ et $\overline{zz'}=\overline z\,\overline{z'}$.

📌 Pour tout entier n et tout complexe non nul z, on a $\overline{z^n}=(\overline z)^n$.

💡 Astuce mémo

Le conjugué reflète le point complexe de l’autre côté de l’axe réel

📊 Tableaux de synthèse

Types particuliers de complexes