QCM : Nombres complexes — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pourquoi de nouveaux ensembles de nombres ont-ils été introduits au cours de l’histoire des mathématiques ?

Pour résoudre des équations que les ensembles précédents ne permettaient pas de traiter
Pour simplifier les opérations qui ne comportent aucune équation
Pour représenter graphiquement toutes les fonctions sous forme de droites
Pour remplacer les nombres entiers dans les calculs de proportions

Pour résoudre des équations que les ensembles précédents ne permettaient pas de traiter

Explication

L’introduction successive de nouveaux ensembles répond à l’insuffisance des ensembles précédents face à certaines équations. Les nombres complexes prolongent les réels, tandis que les rationnels ne suffisent pas à résoudre toutes les équations réelles.

2. Pourquoi l’équation x2+1=0x^2+1=0 ne possède-t-elle pas de solution réelle ?

Elle imposerait x2=1x^2=1, qui possède pourtant deux solutions réelles
Elle contiendrait le terme x2x^2, qui n’admet aucune valeur réelle
Elle imposerait x2=−1x^2=-1, ce qui est impossible pour un réel
Elle conduirait à x=−1x=-1, valeur exclue dans les nombres réels

Elle imposerait $$x^2=-1$$, ce qui est impossible pour un réel

Explication

Cette équation équivaut à x2=−1x^2=-1, alors que le carré d’un nombre réel est positif ou nul. Cette impossibilité motive l’introduction des nombres complexes.

3. Quelle notation Euler a-t-il introduite en 1777 pour désigner un nombre dont le carré vaut −1-1 ?

La lettre rr
La lettre jj
La lettre ii
La lettre cc

La lettre $$i$$

Explication

Euler a introduit la lettre ii pour désigner le nombre vérifiant i2=−1i^2=-1. Il faut distinguer le nombre ii de son carré, qui vaut −1-1.

4. Comment Gauss et Cauchy ont-ils représenté mathématiquement les nombres complexes au XIXe siècle ?

Par des intervalles ordonnés sur l’axe des nombres réels
Par des points d’un plan muni d’un repère orthonormal
Par des tableaux de valeurs dépourvus de représentation géométrique
Par des points d’une droite graduée sans seconde direction

Par des points d’un plan muni d’un repère orthonormal

Explication

Gauss et Cauchy ont notamment représenté les nombres complexes comme des points d’un plan muni d’un repère orthonormal. Une droite graduée convient à la représentation des nombres réels, mais pas à celle des complexes non réels.

5. Pour un entier naturel pp, quelle expression donne correctement i2pi^{2p} ?

p2−1p^2-1
(−1)2p+1(-1)^{2p+1}
(−1)p(-1)^p
(−1)p+1(-1)^{p+1}

$$(-1)^p$$

Explication

La règle des puissances de ii donne i2p=(−1)pi^{2p}=(-1)^p. L’expression (−1)p+1(-1)^{p+1} correspondrait à l’opposé de cette valeur et ne convient donc pas en général.

6. Quelle est la forme algébrique unique d’un nombre complexe ?

z=ab+iz=ab+i, avec aa et bb réels et i2=1i^2=1
z=a+ibz=a+ib, avec aa et bb réels et i2=−1i^2=-1
z=a−b+iz=a-b+i, avec aa et bb imaginaires et i2=−1i^2=-1
z=a+bi2z=a+bi^2, avec aa et bb entiers et i2=1i^2=1

$$z=a+ib$$, avec $$a$$ et $$b$$ réels et $$i^2=-1$$

Explication

Tout nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme z=a+ibz=a+ib, où aa et bb sont réels et où i2=−1i^2=-1. Cette unicité distingue cette écriture d’une décomposition choisie arbitrairement.

7. Dans la forme algébrique z=a+ibz=a+ib, que représentent aa et bb ?

a=Re(z)a=Re(z) et b=Im(z)b=Im(z)
a=Im(z)a=Im(z) et b=Re(z)b=Re(z)
a=Re(z)a=Re(z) et b=ibb=ib
a=iba=ib et b=Im(z)b=Im(z)

$$a=Re(z)$$ et $$b=Im(z)$$

Explication

Dans z=a+ibz=a+ib, le réel aa est la partie réelle et le réel bb est la partie imaginaire. La partie imaginaire est donc le coefficient bb, et non le nombre ibib.

8. Quelle condition caractérise un nombre complexe qui est imaginaire pur ?

Ses deux parties sont égales à zéro
Sa partie réelle est nulle
Sa partie imaginaire est nulle
Ses deux parties sont strictement positives

Sa partie réelle est nulle

Explication

Un complexe est imaginaire pur lorsque sa partie réelle est nulle, ce qui lui donne la forme ibib. Lorsque sa partie imaginaire est nulle, il est réel, ce qui correspond à une autre catégorie.

9. Si z=3+2iz=3+2i et z′=5−7iz'=5-7i, quelle est la valeur de z+z′z+z' ?

8+9i8+9i
15−14i15-14i
8−5i8-5i
−2+9i-2+9i

$$8-5i$$

Explication

La somme s’obtient en additionnant séparément les parties réelles et les parties imaginaires. La réponse −2+9i-2+9i résulterait d’une soustraction croisée, qui ne correspond pas à la règle d’addition des complexes.

10. Pour z=a+ibz=a+ib et z′=a′+ib′z'=a'+ib', quelle expression représente leur produit ?

(aa′−bb′)+i(ab′+ba′)(aa'-bb')+i(ab'+ba')
(aa′+bb′)+i(ab′−ba′)(aa'+bb')+i(ab'-ba')
(a+a′)+i(b+b′)(a+a')+i(b+b')
(aa′+bb′)+i(ab′+ba′)(aa'+bb')+i(ab'+ba')

$$(aa'-bb')+i(ab'+ba')$$

Explication

Le développement distributif donne une partie réelle aa′−bb′aa'-bb' et une partie imaginaire ab′+ba′ab'+ba'. L’expression avec aa′+bb′aa'+bb' dans la partie réelle oublie que i2=−1i^2=-1.

11. Quelle expression donne l’inverse de z=a+ibz=a+ib lorsque z≠0z\ne0 ?

a−iba2−b2\frac{a-ib}{a^2-b^2}
a+iba2+b2\frac{a+ib}{a^2+b^2}
a−iba2+b2\frac{a-ib}{a^2+b^2}
a+iba2−b2\frac{a+ib}{a^2-b^2}

$$\frac{a-ib}{a^2+b^2}$$

Explication

L’inverse s’obtient en plaçant le conjugué a−iba-ib au numérateur et a2+b2a^2+b^2 au dénominateur. Utiliser a+iba+ib au numérateur ne permet pas d’obtenir directement l’inverse recherché.

12. Pour calculer zz′\frac{z}{z'} avec z′≠0z'\ne0, quelle transformation est correcte ?

1z×z′\frac{1}{z}\times z'
z×z′z\times z'
z×1z′z\times\frac{1}{z'}
z+1z′z+\frac{1}{z'}

$$z\times\frac{1}{z'}$$

Explication

La division par un complexe non nul revient à multiplier le numérateur par l’inverse du dénominateur. Le produit z×z′z\times z' correspond à une multiplication et non à une division.

13. Dans quelles conditions deux nombres complexes a+iba+ib et a′+ib′a'+ib' sont-ils égaux ?

Lorsque leurs modules sont égaux
Lorsque leurs parties réelles sont égales et leurs modules différents
Lorsque leurs parties réelles et imaginaires sont respectivement égales
Lorsque leurs parties imaginaires sont opposées

Lorsque leurs parties réelles et imaginaires sont respectivement égales

Explication

Deux complexes sont égaux lorsque leurs deux composantes correspondantes coïncident : a=a′a=a' et b=b′b=b'. L’égalité des modules ne suffit pas, car des complexes distincts peuvent avoir le même module.

14. Pour que z=a+ibz=a+ib soit égal à zéro, quelle condition doit être satisfaite ?

a2+b2=1a^2+b^2=1
a=ba=b
a=0a=0 et b=0b=0
a=0a=0 ou b=0b=0

$$a=0$$ et $$b=0$$

Explication

Le complexe nul possède une partie réelle nulle et une partie imaginaire nulle, donc a=0a=0 et b=0b=0. La condition a=0a=0 ou b=0b=0 autoriserait des complexes non nuls comme 3i3i ou 22.

15. Quel est le conjugué de z=4−3iz=4-3i ?

3−4i3-4i
−4+3i-4+3i
−4−3i-4-3i
4+3i4+3i

$$4+3i$$

Explication

La conjugaison conserve la partie réelle et change le signe de la partie imaginaire, donc le conjugué de 4−3i4-3i est 4+3i4+3i. Changer aussi le signe de la partie réelle correspondrait à une autre transformation.

16. Pour z=a+ibz=a+ib, quelle égalité décrit correctement le produit de zz par son conjugué ?

zz‾=2biz\overline z=2bi
zz‾=a2+b2z\overline z=a^2+b^2
zz‾=a2−b2z\overline z=a^2-b^2
zz‾=2az\overline z=2a

$$z\overline z=a^2+b^2$$

Explication

Le produit zz‾=(a+ib)(a−ib)z\overline z=(a+ib)(a-ib) est réel et vaut a2+b2a^2+b^2. L’expression 2bi2bi correspond à la différence z−z‾z-\overline z, pas à leur produit.

17. Quelle caractérisation est correcte pour un complexe zz ?

zz est réel si z‾=z\overline z=z et imaginaire pur si z‾=−z\overline z=-z
zz est réel si z‾=−z\overline z=-z et imaginaire pur si z‾=z\overline z=z
zz est réel si zz‾=0z\overline z=0 et imaginaire pur si z+z‾=0z+\overline z=0
zz est réel si z−z‾=0z-\overline z=0 et imaginaire pur si zz‾=1z\overline z=1

$$z$$ est réel si $$\overline z=z$$ et imaginaire pur si $$\overline z=-z$$

Explication

Un complexe est réel lorsque sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à z‾=z\overline z=z. Il est imaginaire pur lorsque sa partie réelle est nulle, ce qui équivaut à z‾=−z\overline z=-z.

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Pourquoi introduit-on successivement de nouveaux ensembles de nombres ?

Pour résoudre des équations que les ensembles précédents ne peuvent pas résoudre.

Pourquoi l’équation x2+1=0x^2+1=0 n’a-t-elle pas de solution réelle ?

Parce qu’elle impose x2=−1x^2=-1, impossible dans les réels.

Quelle équation a conduit à l’introduction des nombres complexes ?

L’équation x2+1=0x^2+1=0.

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