Nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Origine des nombres complexes
2. Construction historique de C
3. Forme algébrique et vocabulaire
4. Opérations dans C
5. Égalité et résolution
6. Conjugué d’un complexe

📖 1. Origine des nombres complexes

★ À maîtriser

• L’introduction successive de nouveaux ensembles de nombres répond à l’insuffisance des précédents pour résoudre certaines équations.

• L’équation $x^2+1=0$ n’a pas de solution réelle car elle imposerait $x^2=-1$, ce qui conduit à introduire les nombres complexes.

Compléments

• L’équation $x^2-10x+40=0$ a pour racines $5+\sqrt{-15}$ et $5-\sqrt{-15}$ selon l’écriture historique de Cardan.

💡 Astuce mémo

Équations impossibles dans R → extension vers C

📖 2. Construction historique de C

★ À maîtriser

• Euler introduit en 1777 la lettre i pour désigner le nombre vérifiant $i^2=-1$. — Leonhard Euler

• Au XIX ième siècle, Gauss et Cauchy donnent une représentation mathématique des nombres imaginaires, notamment par les points d’un plan muni d’un repère orthonormal.

📐 Formule — Pour tout entier naturel p, on a $i^{2p}=(-1)^p$ et $i^{2p+1}=(-1)^p$.

Compléments