Flashcards : Nombres complexes — 35 cartes

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1Question

Pourquoi introduit-on successivement de nouveaux ensembles de nombres ?

Réponse

Pour résoudre des équations que les ensembles précédents ne peuvent pas résoudre.

2Question

Pourquoi l’équation x2+1=0x^2+1=0 n’a-t-elle pas de solution réelle ?

Réponse

Parce qu’elle impose x2=−1x^2=-1, impossible dans les réels.

3Question

Quelle équation a conduit à l’introduction des nombres complexes ?

Réponse

L’équation x2+1=0x^2+1=0.

4Question

Quelles sont les racines de x2−10x+40=0x^2-10x+40=0 selon Cardan ?

Réponse

5+−155+\sqrt{-15} et 5−−155-\sqrt{-15}.

5Question

Qui a écrit l’expression historique des racines de x2−10x+40=0x^2-10x+40=0 ?

Réponse

Cardan au XVIe siècle.

6Question

Quelle lettre Euler a-t-il introduite en 1777 pour le nombre avec i2=−1i^2=-1 ?

Réponse

La lettre i.

7Question

Quel mathématicien a montré que les nombres imaginaires interviennent dans la racine réelle de x3−15x=4x^3-15x=4 ?

Réponse

Bombelli.

8Question

Quelle racine réelle est notable dans l'équation x3−15x=4x^3-15x=4 selon Bombelli ?

Réponse

4.

9Question

Qui ont donné une représentation mathématique des nombres imaginaires au XIXe siècle ?

Réponse

Gauss et Cauchy.

10Question

Comment Gauss et Cauchy représentent-ils les nombres imaginaires ?

Réponse

Par des points dans un plan avec un repère orthonormal.

11Question

Quelle formule donne i2pi^{2p} pour tout entier naturel p ?

Réponse

i2p=(−1)pi^{2p} = (-1)^p.

12Question

Quelle formule donne i2p+1i^{2p+1} pour tout entier naturel p ?

Réponse

i2p+1=i×(−1)pi^{2p+1} = i \times (-1)^p.

13Question

Comment s'écrit un nombre complexe de manière unique ?

Réponse

Un nombre complexe s'écrit z=a+ibz=a+ib avec aa et bb réels.

14Question

Quelle relation vérifie l'unité imaginaire ii ?

Réponse

i2=−1i^2 = -1.

15Question

Dans z=a+ibz=a+ib, que représente aa ?

Réponse

aa est la partie réelle Re(z)Re(z).

16Question

Dans z=a+ibz=a+ib, que représente bb ?

Réponse

bb est la partie imaginaire Im(z)Im(z).

17Question

Quand un nombre complexe est-il réel ?

Réponse

Quand sa partie imaginaire est nulle.

18Question

Quand un nombre complexe est-il imaginaire pur ?

Réponse

Quand sa partie réelle est nulle.

19Question

Un complexe non réel est-il positif ou négatif ?

Réponse

Il n'est ni positif ni négatif.

20Question

Comment calcule-t-on la somme de deux complexes zz et z′z' ?

Réponse

La somme est (a+a′)+i(b+b′)(a+a')+i(b+b') pour z=a+ibz=a+ib et z′=a′+ib′z'=a'+ib'.

21Question

Comment calcule-t-on le produit de deux complexes zz et z′z' ?

Réponse

Le produit vaut (aa′−bb′)+i(ab′+ba′)(aa'-bb')+i(ab'+ba') pour z=a+ibz=a+ib et z′=a′+ib′z'=a'+ib'.

22Question

Quelle est la formule de l'inverse d'un complexe non nul z=a+ibz=a+ib ?

Réponse

L'inverse est a−iba2+b2\frac{a-ib}{a^2+b^2}.

23Question

Quelle condition impose la division de deux complexes zz′\frac{z}{z'} ?

Réponse

On multiplie zz par l'inverse de z′z' lorsque z′≠0z'\neq0.

24Question

Comment s'exprime la division zz′\frac{z}{z'} en fonction du produit ?

Réponse

zz′=z×1z′\frac{z}{z'}=z\times\frac1{z'}.

25Question

Quelle formule donne le binôme de Newton pour (z1+z2)n(z_1+z_2)^n ?

Réponse

(z1+z2)n=∑k=0n(nk)z1n−kz2k(z_1+z_2)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}z_1^{n-k}z_2^k.

26Question

Quelle condition doit satisfaire deux nombres complexes pour être égaux ?

Réponse

Ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

27Question

Quand un nombre complexe z=a+ibz=a+ib est-il nul ?

Réponse

Quand a=0a=0 et b=0b=0.

28Question

Quel est le conjugué du nombre complexe z=a+ibz=a+ib ?

Réponse

Le conjugué est z‾=a−ib\overline{z}=a-ib.

29Question

Quelle est la somme de zz et de son conjugué z‾\overline{z} pour z=a+ibz=a+ib ?

Réponse

z+z‾=2az+\overline{z}=2a.

30Question

Quelle est la différence entre zz et z‾\overline{z} pour z=a+ibz=a+ib ?

Réponse

z−z‾=2biz-\overline{z}=2bi.

31Question

Quel est le produit de zz par son conjugué z‾\overline{z} pour z=a+ibz=a+ib ?

Réponse

zz‾=a2+b2z\overline{z}=a^2+b^2.

32Question

Quand un nombre complexe zz est-il réel en fonction de son conjugué ?

Réponse

Quand z‾=z\overline{z}=z.

33Question

Quand un nombre complexe zz est-il imaginaire pur selon son conjugué ?

Réponse

Quand z‾=−z\overline{z}=-z.

34Question

Que conserve la conjugaison pour deux complexes zz et z′z' ?

Réponse

Elle conserve les sommes et les produits.

35Question

Quelle est la relation entre zn‾\overline{z^n} et (z‾)n(\overline{z})^n pour un entier nn ?

Réponse

zn‾=(z‾)n\overline{z^n}=(\overline{z})^n.

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 17 questions sur Nombres complexes.

1. Pourquoi de nouveaux ensembles de nombres ont-ils été introduits au cours de l’histoire des mathématiques ?

2. Pourquoi l’équation x2+1=0x^2+1=0 ne possède-t-elle pas de solution réelle ?

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Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Nombres complexes.

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