QCM : Analyse complète d'une parabole du second degré — 9 questions

Explication

Un polynôme de degré 2 est une expression de la forme $ax^2 + bx + c$ avec $a eq 0$, ce qui garantit que le terme en $x^2$ domine et que la courbe représentative est une parabole.

Explication

La forme canonique $f(x) = a(x - ext{α})^2 + ext{β}$ met en évidence le sommet de la parabole, qui correspond à l’extremum (minimum ou maximum), ce qui est son avantage principal. Elle permet d’étudier facilement ses variations et de connaître ses propriétés graphiques.

Explication

Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ indique le nombre et la nature des racines réelles du polynôme : deux racines distinctes si $\Delta > 0$, une racine double si $\Delta = 0$, et aucune racine réelle si $\Delta < 0$.

Explication

La forme canonique a été formellement établie ou prouvée au 17ème siècle, notamment avec la généralisation de la méthode de complétion du carré par Descartes, qui a permis d’écrire tout polynôme du second degré sous cette forme, mettant en évidence le sommet de la parabole.

Explication

La variation d'une parabole dépend du signe de son coefficient $a$ : si $a > 0$, elle est croissante après le sommet et décroissante avant, tandis que si $a < 0$, elle est décroissante après le sommet et croissante avant. Ainsi, deux paraboles ont la même nature de variation (montée ou descente) si leurs coefficients $a$ ont le même signe, ce qui signifie qu'elles ont la même concavité.

Explication

La formule $ ext{abscisse du sommet} = -rac{b}{2a} $ est attribuée à François Viète, qui a travaillé sur la résolution d'équations quadratiques et a introduit cette relation dans le contexte de la formule du sommet d'une parabole.

Explication

La symétrie de la parabole par rapport à son axe de symétrie est causée par la forme canonique, qui montre que la parabole est symétrique par rapport à la droite passant par le sommet. La forme canonique exprime la parabole sous la forme $f(x) = a(x - ext{α})^2 + ext{β}$, où $x = ext{α}$ est l'axe de symétrie, ce qui explique la propriété de symétrie.

Explication

La méthode consiste à compléter le carré en isolant $a$ et en réécrivant le polynôme sous la forme $a(x - rac{b}{2a})^2 + c - rac{b^2}{4a}$. Cela permet d’obtenir la forme canonique $a(x - rac{b}{2a})^2 + eta$, où $eta = c - rac{b^2}{4a}$. La réponse 0 décrit précisément cette démarche, qui est la procédure standard pour passer de la forme développée à la forme canonique.

Explication

La preuve d'unicité de la forme canonique repose sur la méthode de complétion du carré, qui conduit à une expression unique du polynôme sous la forme $a(x - rac{-b}{2a})^2 + f(rac{-b}{2a})$, et sur la formule du sommet, qui est également unique pour un polynôme donné.